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Função quadrática: a função geral de 2º grau

Função quadrática: a função geral de 2º grau. Onde se usa equações do 2º Grau ?. Na engenharia. Na medição de áreas. Na medição de áreas. Áreas de retângulos A = b . H, então teríamos: (x + 3) * (x -1) Neste caso seria aplicada um distributiva. Na medição de áreas.

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Função quadrática: a função geral de 2º grau

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Presentation Transcript

  1. Função quadrática:a função geral de 2º grau

  2. Onde se usa equações do 2º Grau ?

  3. Na engenharia ...

  4. Na medição de áreas....

  5. Na medição de áreas.... Áreas de retângulos A = b . H, então teríamos: (x + 3) * (x -1) Neste caso seria aplicada um distributiva

  6. Na medição de áreas.... Neste caso seria aplicada uma distributiva: A = (x + 3) * (x - 1) x*x + x*(-1) + 3*x + 3*(-1)

  7. Na medição de áreas.... Resolvendo... x*x + x*(-1) + 3*x + 3*(-1) x² - x + 3x - 3 = 0

  8. Na medição de áreas.... Reduzindo a equação teremos: x² - x + 3x - 3 = 0 x² + 2x - 3 = 0

  9. Temos a equação ponta Definimos os termos A, B e C. x² + 2x - 3 = 0 A = 1 b = 2 c = -3

  10. Resolvendo com a formula de Bhaskara

  11. Curiosidade: Formula de Bhaskara Só no Brasil esta formula é conhecida como formula de Bhaskara, nos demais países esta formula é conhecida como formula para resolução de equações do Segundo grau.

  12. Substituindo na formula então teremos: A = 1 B = 2 C = -3

  13. Resolvendo....A = 1 B = 2 C = -3

  14. Resolvendo....A = 1 B = 2 C = -3

  15. Resolvendo....A = 1 B = 2 C = -3

  16. Encontrando as raízes da equaçãoA = 1 B = 2 C = -3

  17. Encontrando as raízes da equaçãoA = 1 B = 2 C = -3

  18. O gráfico...Ponto a ser colocado no eixo y:A = 1 Pontos a serem colocados no eixo x: x’ = 1 x’’ = -3

  19. Uma quadra esportiva tem a forma retangular, com 40 m de comprimento e 20 m de largura. O clube pretende ampliá-la. Para isso, vai construir em volta dela uma faixa de largura constante.

  20. Obter a expressão que permite calcular a Área da quadra esportiva? x 40 m 20 m x x x A = (40 + 2x).(20+2x) ⇒ A = 800 + 80x + 40x + 4x2 ⇒ A = f(x) = 4x2 + 120x + 800

  21. Função quadrática ou função de 2º grau é toda função do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c Sendo a,b e c são constantes reais, com a ≠ 0. O Domínio de toda função quadrática é IR.

  22. Exemplos • y = f(x) = x2 + 3x – 1 é uma função quadrática com a = 1 e b = 3 e c = –1. • y = f(x) = –x2 + 5 é uma função quadrática com a = –1 e b = 0 e c = 5. • y = f(x) = –2x2 + 4x é uma função quadrática com a = –2 e b = 4 e c = 0. • y = f(x) = x2 é uma função quadrática com a = 1 e b = 0 e c = 0.

  23. Funções quadráticas elementares. • Nas duas funções, b = c = 0. Na primeira a = 1; na segunda a = –1. • Domínio é o conjuntos dos números reais (R). y = x2 e y = –x2

  24. Veja seus gráficos y • y = x2. 5 y = x2 x y = x2 4 3 –2 4 2 –1 1 1 0 0 x –1 0 –4 –3 –2 –5 1 2 5 4 3 1 1 –1 2 4 –2 Im = [0, +∞[ Mínimo = 0

  25. Veja seus gráficos y • y = – x2. x y = – x2 x 0 –2 – 4 –1 –4 –3 –2 –5 1 2 5 4 3 –1 –1 – 1 –2 0 0 –3 1 – 1 –4 y = – x2 2 – 4 Im = ]– ∞, 0] Máximo = 0

  26. A análise das duas últimas figuras nos sugere um caso geral em relação a todas as funções quadráticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c. • Os gráficos de funções quadráticas são curvas chamadas parábolas. • O ponto mais alto ou mais baixo da parábola é chamado de vértice. • A reta vertical que passa pelo vértice é chamada de eixo da parábola. • Se a > 0 a concavidade da parábola é voltada para cima. • Se a < 0 a concavidade da parábola é voltada para baixo.

  27. Veja um resumo. eixo da parábola eixo da parábola V V a > 0 a < 0

  28. Eixo de simetria. eixo de simetria da parábola V A A1 r1 B1 B r2 C1 C r3 D1 D r4

  29. Funções quadráticasem que b = c = 0.(y = ax2)

  30. 1 • y = x2 2 1º. Caso: a > 0 y • y = x2 Mínimo = 0 • y = 2x2 ⇓ x Im = [0, +∞[ 0 • Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y. • O vértice das três parábolas é a origem do plano.

  31. y = x2 –1 2 2º. Caso: a < 0 y • y = –x2 x 0 Máximo = 0 • y = –2x2 ⇓ Im = ]–∞, 0] • Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y. • O vértice das três parábolas é a origem do plano.

  32. Funções quadráticasem que b = 0 c ≠ 0(y = ax2 + c)

  33. Os gráficos das funções do tipo y = ax2 + c, com a ≠ 0 e c ≠ 0, são obtidos a partir do gráfico de y = ax2. Desloca-se esse último para cima ou para baixo, conforme o coeficiente c seja positivo ou negativo, respectivamente.

  34. 1º. Caso: a > 0 y Im = [0, +∞[ • y = x2 Im = [2, +∞[ • y = x2 + 2 2 Im = [–1, +∞[ • y = x2 – 1 x 0 –1 • Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y. • O vértice das três parábolas são os pontos V (0, 0), V(0, 2) e V(0, –1).

  35. 2º. Caso: a < 0 y 1 Im = ]–∞, 0] • y = –x2 x 0 Im = ]–∞, 1] • y = –x2+ 1 –2 Im = ]–∞, –2] • y = –x2 – 2 • Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y. • O vértice das três parábolas são os pontos V (0, 0), V(0, 1) e V(0, –2).

  36. Funções quadráticasem que b ≠ 0 (caso geral)

  37. Vamos analisar, agora, o caso mais geral da função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c. É o caso em que o coeficiente b é diferente de 0.Para b ≠ 0, o vértice não fica mais sobre o eixo y das ordenadas.

  38. –b xV = 2a Caso geral: b ≠ 0 Vamos obter o valor de k, abscissa de Q. y ⇒ f(x) = a.x2 + b.x + c = c f(x) = c ⇒ a.x2 + b.x = 0 (0, c)P Q(k, c) ⇒ x(a.x + b) = 0 yv V ⇒ x = 0 ou a.x + b = 0 x xv 0 k ⇒ x = 0 ou x = – b/a x = 0 é a abscissa de P, logo k = –b/a. ⇒ Devido à simetria da parábola, xV = k/2

  39. – yV = 4a Ordenada do vértice • A ordenada do vértice pode ser obtida calculando-se f(xV), ou seja, a imagem da abscissa do vértice da função. Veja f(x) = ax2 +bx +c f(xV) = a(xV)2 +bxV +c = a(–b/2a)2 +b(–b/2a) +c f(xV) = a(b2/4a2) – b2/2a +c = b2/4a – b2/2a +c f(xV) = (b2 – 2b2 +4ac)/4a = (– b2 +4ac)/4a f(xV) = –(b2 – 4ac)/4a f(xV) = yV = – /4a

  40. No caso, essa ordenada é • O mínimo da função (a > 0) • O máximo da função (a < 0) y y V yV yV V x x ⇒ Im = [yV, +∞[ ⇒ Im = ]–∞, yV]

  41. –b xV = 2a Exemplos • Para a função quadrática y = f(x) = 2x2 – 8x + 5 de R em R, obter o vértice, o máximo ou mínimo e o conjunto imagem. Os coeficientes são: a = 2; b = – 8 e c = 5 Como a > 0, a parábola tem concavidade para cima e a função admite um valor mínimo. –(–8) = = 2 A abscissa do vértice é: 2.2 O mínimo da função ocorre para x = 2. = –3 y = f(2) = 2 . 22 – 8 . 2 + 5 V (2, –3) Im = [–3, +∞[

  42. Veja o gráfico da função Eixo y y = 2x2 – 8x + 5 5 x 1 2 0 3 4 –1 Im = [–3, ∞[ –3 V

  43. –b xV = 2a Exemplos • Para a função quadrática y = f(x) = –x2 + 3x + 1 de R em R, obter o vértice, o máximo ou mínimo e o conjunto imagem. Os coeficientes são: a = – 1; b = 3 e c = 1 Como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo e a função admite um valor máximo. –(3) = = 3/2 A abscissa do vértice é: 2.(–1) O mínimo da função ocorre para x = 3/2. = 13/4 y = f(3/2) = –1 . (3/2)2 + 3 . 3/2 + 1 V (3/2, 13/4) Im = ]–∞, 13/4]

  44. Veja o gráfico da função Eixo y y = –x2 + 3x + 1 V 13/4 3 1 x 2 0 1 3/2 3 Im = ]–∞, 13/4]

  45. Exemplo • Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = 80 + 30t – 5t2. Obter: A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima; B) a altura máxima que ele atinge; C) o instante em que ele atinge o solo. A função h(t) = –5t2 + 30t + 80 é quadrática, com a = –5, b = 30 e c = 80. Como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo e a função admite um valor máximo.

  46. Exemplo • Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = 80 + 30t – 5t2. Obter: A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima; B) a altura máxima que ele atinge; C) o instante em que ele atinge o solo. A) O instante em que o objeto atinge a altura máxima é a abscissa do vértice: –(30) –b t = = = 3 s 2.(–5) 2a

  47. Exemplo • Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = 80 + 30t – 5t2. Obter: A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima; B) a altura máxima que ele atinge; C) o instante em que ele atinge o solo. B) A altura máxima é o valor da função em t = 3 s. h(3) = –5.32 + 30.3 + 80 = 125 m

  48. Exemplo • Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = 80 + 30t – 5t2. Obter: A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima; B) a altura máxima que ele atinge; C) o instante em que ele atinge o solo. C) No instante em que o objeto atinge o solo, deve ser h(t) = 0. ⇒ –5t2 + 30t + 80 = 0 ⇒ t2 + 6t – 16 = 0 h(t) = 0 ⇒ t = –2 ou t = 8 ⇒ t = 8 s

  49. Veja o gráfico da função h(t) = –5t2 – 30t + 80 h (m) 125 80 0 3 8 t (s)

  50. Raízes da função quadrática

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