PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C

1. PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C PRO-1027

2. Les erreurs sur les calculs par ordinateur • Représentation des nombres réels • Types d’erreurs • Epsilon de la machine et nombre de chiffres significatifs d’une représentation • Propagation des erreurs • Approximation de fonctions par série de Taylor • Travail pratique no. 1

3. Représentation des nombres réels • Représentation des réels courts (32 bits) selon la norme de l’IEEE Mantisse Caractéristique S 31 30 23 22 0

4. Représentation des nombres réels • Représentation des réels longs (64 bits) selon la norme de l’IEEE Mantisse Caractéristique S 63 62 52 51 0

5. Représentation des nombres réels • Un réel court en virgule flottante (S,C,M) a sa valeur décimale N donnée par • S: bit de signe • C: caractéristique • M: mantisse

6. Représentation des nombres réels • Représentation sous forme d’un réel court du nombre 87,125 • Après normalisation

7. Représentation des nombres réels • Représentation sous forme d’un réel court du nombre 87,125 Mantisse avec le 1 implicite Exposant Mantisse entreposée Caractéristique

8. Représentation des nombres réels • Représentation sous forme d’un réel court du nombre 87,125 01011100100000000000000 0 100000101

9. Types d’erreurs • Erreur absolue et erreur relative • Supposons que nous approximons un nombre x par x’ • Les erreurs absolue et relative sont données par

10. Types d’erreurs • Erreur absolue et erreur relative • Supposons que nous approximons  par ’=3.1416 • Si la valeur de =3.14159265, les erreurs absolue et relative sont données par • L’approximation est précise • à 4 décimales près • Avec 5 chiffres significatifs

11. Types d’erreurs • Erreur d’arrondi • Ce type d’erreur survient lorsque nous emmagasi-nons des nombres dans un espace physique (mé-moire) de dimension finie • Ce type d’erreur fait donc référence à la représenta-tion des nombres dans l’ordinateur

12. Types d’erreurs • Erreur d’arrondi • Considérons l’addition de 2 réels chacun avec 15 bits significatifs

13. Types d’erreurs • Erreur d’arrondi • Alignement de b

14. Types d’erreurs • Erreur d’arrondi • Arrondissement du résultat

15. Types d’erreurs • Erreur de troncature • Ce type d’erreur survient quand par exemple nous utilisons un nombre de termes finis pour faire l’approximation d’une série infinie (ex: série de Taylor) • L’utilisation d ’un algorithme avec un nombre d’itérations discrets peut aussi causer ce type d’erreur

16. Epsilon de la machine et nombre de chiffres significatifs d’une représentation • Lorsque nous effectuons l’addition de 2 nombres réels le plus petit des 2 est décalé ce qui occasionne une perte de précision • Dans des cas extrêmes il peut arriver que le plus petit nombre n’ai aucune signifiance dans le calcul, ayant été décalé complètement vers la droite • Le nombre de décalages maximum que peut subir un nombre avant qu’il n’ai plus de signifiance corres-pond au nombre de chiffres significatifs de la repré-sentation

17. Epsilon de la machine et nombre de chiffres significatifs d’une représentation • Le plus petit nombre signifiant d’une représenta-tion est appelé epsilon de la machine • Ce nombre représente la plus petite valeur de x pour laquelle 1+x>1

18. Epsilon de la machine et nombre de chiffres significatifs d’une représentation • Algorithme qui trouve le epsilon de la machine et le nombre de chiffres significatifs (cas binaire) eps=1 n=0 TTQ 1+eps>1 FAIRE eps = eps/2 n++ FIN TTQ eps = eps * 2 n = n-1 imprimer eps et n

19. Propagation des erreurs • Lorsque une opération telle que l’addition est répétée il peut survenir un phénomène de propaga-tion des erreurs d’arrondis • Alors la sommation suivante peut dans certain cas ne pas donner 1

20. Propagation des erreurs • De plus, l’ordre des sommations a aussi une influence sur la propagation des erreurs • Par conséquent les 2 sommations suivantes devraient donner la même valeur mais ce n’est pas le cas quand N est le moindrement grand

21. Propagation des erreurs • Algorithme de sommation successive saut = 1/N somme = 0 POUR i = 1 à N FAIRE somme = somme + saut FIN POUR imprimer somme et erreur (1-somme)

22. Propagation des erreurs • Algorithme de sommation ascendant somme = 0 POUR i = 1 à N par saut de 1 FAIRE somme = somme + 1/in FIN POUR imprimer somme

23. Propagation des erreurs • Algorithme de sommation descendant somme = 0 POUR i = N à 1 par saut de -1 FAIRE somme = somme + 1/in FIN POUR imprimer somme

24. Approximation de fonction par série de Taylor • Le développement en série de Taylor premet de faire l’approximation de fonctions suffisamment différentiables • Nous pouvons évaluer la valeur d’une fonction dans le voisinage d’un point de référence par

25. Approximation de fonction par série de Taylor • L’erreur de troncature découlant du développe-ment en série de Taylor avec n termes dérivés est donnée avec sa borne supérieure par

26. Approximation de fonction par série de Taylor • Pour la fonction cosinus avec a = 0 et un intervalle des valeurs de h [0,/2] et n=4

27. Approximation de fonction par série de Taylor • Pour la fonction cosinus, l’erreur de troncature est bornée par le premier terme de la série omis, cette erreur de troncature est bornée par (n=4)