Комбинаторика

1. Комбинаторика • .

2. Комбинаторика – раздел математики, посвященный подсчету количеств разных комбинаций элементов некоторого, обычно конечного, множества.

3. Факториал Для сокращения записи 12 3 … nбыло введено обозначение n! (читается «nфакториал»). 0! = 1

4. Задача. Вычислите значения следующих выражений: а) 1!, б) 3!, в)

5. Решение:

6. Элементы теории множеств Примеры множеств: • множество всех стульев в комнате, • множество всех рыб в океане, • множество всех точек на данной окружности и т.д. Все они объединены некоторым общим признаком.

7. Предметы, составляющие данное множество, называются его элементами. Для того, чтобы указать, что данное множество А состоит из элементов x, y,…, z, пишут А = {x, y, …, z}. Например, множество дней недели состоит из элементов {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье}.

8. Если известно свойство P, которое связывает элементы данного множества А, то это множество записывают в виде А = {x|xобладает свойством P}.

9. Например, B ={xN| x/2} – множество всех четных натуральных чисел.

10. Множество, не имеющее ни одного элемента, называется пустыми обозначается .

11. Примеры числовых множеств. N ={1, 2, 3, …}– множество всех натуральных чисел; Z ={…, - n, …,-2, -1, 0, 1, 2, …, n, …}– множество всех целых чисел; Q ={ | m  Z, n N}– множество всех рациональных чисел;

12. R – множество всех вещественных (действительных) чисел; C - множество всех комплексных чисел; {xR| -1x 2}-множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству -1x 2.

13. Множество называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов. В противном случае, множество называется бесконечным. Примеры конечных множеств: , {}, {0, 1}, {4, 7, 12, 8, 1}.

14. Множество Bназывается подмножествомA, если всякий элемент множества Bявляется и элементом множества A. B A(или A B) N ZQR

15. Два множестваравны, если они состоят из одних и тех же элементов. A Bи BA, то A= B

16. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

17. Объединением двух множеств Aи B(обозначение A B) называется множество C, элементы которого принадлежат множеству Aили множеству B, т.е. A B= {x| xAили xB} A B Круги Эйлера

18. Пересечением двух множеств Aи B(обозначение A B) называется множество C, элементы которого принадлежат как множеству A,так и множеству B, т.е. A B= {x| xAи xB} A B

19. Разностью множеств Aи B(обозначение A \B) называется множество C, состоящее только из тех элементов множества A, которые не содержатся в B, т.е. A \B= {x| xA,xB} A B В общем случае A \ B ≠ B \ A

20. Дополнением (до U)множества Aназывается множество A всех элементов, не принадлежащих A, но принадлежащих универсальному множеству U, т.е. A = U \ A. U – универсальное множество такое, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами. A A U

21. Основные правила комбинаторики. • Правило сложения: Если объект а можно выбрать n различными способами, а объект b – kразличными способами, которые отличаются nспособов, то выбор «или а,илиb» (а + b) можно осуществить n + kразличными способами.

22. Задача. Имеется 15 билетов в цирк и 6 билетов в кинотеатр. Сколькими способами можно выбрать один билет? Решение. Т.к. нам нужно выбрать 1 билет, который был бы или билетом в цирк, или билетом в кинотеатр (все билеты разные), то по правилу суммы получаем: 15 + 6 = 21 способом.

23. Правило произведения: Если объект а можно выбрать nразличными способами, а объект b – kразличными способами, то выбор пары «а иb» (а b;одновременно или одно за другим) можно осуществить nkразличными способами. Правило применяется когда каждый способ одного действия комбинируется с каждым способом другого действия.

24. Задача. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из букв слова «учебник»? Решение. Гласную можно выбрать тремя способами (у, е, и), а согласную – четырьмя способами (ч, б, н, к). Т.к. нужно выбрать гласную и согласную буквы, то число способов равно 3  4 = 12.

25. Размещения, перестановки и сочетания. • Если из множества, содержащего nэлементов, каким-то способом отобраны mэлементов (mn), то говорят, что из этого множества произведена выборка объемаm.

26. Если порядокрасположения элементов выборки принимают во внимание, то выборки называют упорядоченными. Таким образом, две упорядоченные выборки считаются различными, если они отличаются либо составом элементов, либо их расположением.

27. В том случае, когда порядокрасположения элементов не учитывают, выборки называют неупорядоченными. Следовательно, две неупорядоченные выборки считаются различными, если в одной из них есть хотя бы один элемент, которого нет в другой.

28. Например, для множества, состоящего из трех элементов a, b, c, существуют три различные неупорядоченные выборки объема 2 (ab, bc, ac) и шесть различных упорядоченных выборок того же объема (ab, bc, ac, ba, cb, ca).

29. Опр.Размещением из n элементов по k элементов называется любое упорядоченное подмножество из элементов множества n, состоящее из k различных элементов. Число размещений из n по k вычисляется по формуле Читается: «а из n по k».

30. Задача: В соревновании участвуют 12 команд, сколькими способами они могут занять призовые места? Т.к. из 12-элементного множества выбирают группы по 3 элемента с учетом порядка, то число способов выбора равно Важен порядок!

31. Опр.Перестановками из n различных элементов называется любое упорядоченное множество, в которое входят по одному разу все n различные элементы данного множества. Количество перестановок множества из n по k вычисляется по формуле

32.  - 1 перестановка = 0! = 1 кол-во элементов • {a} – 1 перестановка = 1! • {a, b}, {b, a} – 2 перестановки = 12 = 2! • {a, b, c}, {a, c, b}, {c, b, a}, {b, a, c}, {c, a, b}, {b, c, a} – 6 перестановок = 123 = 3! • {a, b, c, d} – 24 = 4! ……….

33. Задача. В команде 6 человек. Сколькими способами можно осуществить построение? Т.к. 6-элементное множество меняет порядок элементов, то количество способов равно

34. Опр.Сочетанием из n элементов по k элементов называется любое неупорядоченное подмножество из k различных элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из n различных элементов. Число сочетаний множества из n по k вычисляется по формуле Читается: «це из n по k».

35. Задача. Сколькими способами из 33 человек студенческой группы можно выбрать 5 человек для награждения медалями. Т.к. из множества, содержащего 33 элемента, составляют подмножества по 5 элементов, то число способов равно Порядок не важен!

36. Свойства числа сочетаний: число всех подмножеств n–элементного множества.

37. Бином Ньютона биноминальные коэффициенты.

38. Треугольник Паскаля 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 По краям каждой строки стоят единицы, а каждое из остальных чисел равно сумме двух стоящих над ним чисел предыдущей строки. Сумма всех чисел, стоящих на n-ой строке треугольника равна 2n.

39. Теория вероятностей

40. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

41. Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности массовых случайных событий.

42. Случайным называется событие, наступление которого нельзя гарантировать. К случайным событиям относятся: выпадение того или иного числа при бросании игральной кости, выигрыш в лотереи и т.п.

43. Случайным событиям (явлениям) присущи свои закономерности, но они проявляются лишь при большом количестве испытаний. Испытанием (опытом)называется совокупность условий, при которых может произойти данное случайное событие.

44. Событие называется случайным по отношению к данному опыту, если при осуществлении этого опыта оно может наступить или не наступить. События обозначается:

45. Например, завтра днем ожидается дождь. В этом примере наступление дня является испытанием, а выпадение дождя – случайное событие.

46. Достоверное событие – это событие, которое в результате испытания непременно должно произойти.Например, получение студентом положительной или отрицательной оценки на экзамене есть событие достоверное, если экзамен протекает согласно обычным правилам.

47. Невозможное событие – это событие, которое в результате испытания не может произойти. Например, если в урне находятся лишь цветные (не белые) шары, то извлечение из этой урны белого шара есть событие невозможное.

48. События называются несовместными, если в результате данного опыта появление одного из них исключает появление другого. Например, при бросании монеты выпадение одновременно орла и решки есть события несовместные.

49. События называются совместными, если в результате данного опыта появление одного из них не исключает появление другого. Например, при игре в карты появление валета и масти пик - события совместные.

50. События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них происходит чаще, чем другое. Например, выпадение любой грани игрального кубика есть равновозможные события.