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資料結構. 第 6 章 樹狀結構. 6-1  認識樹 . 樹 (tree) 是由一或多個節點 所組成的有限集合,其特質如下: 有一個特殊節點,稱為樹根 。 其餘節點可以分為 n 個互斥集合 T 1 、 T 2 、 … 、 T n (n ≥ 0) ,而且每個集合也都是一棵樹 。. 6-1-1  樹的相關名詞 . 分支度 (degree) 終端節點 (terminal node) 非終端節點 (nonterminal node) 階度 (level) 父節點 (parent) 子節點 (child) 兄弟 (sibling)

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Presentation Transcript
slide1

資料結構

第6章 樹狀結構

slide2
6-1 認識樹
  • 樹 (tree) 是由一或多個節點 所組成的有限集合,其特質如下:
    • 有一個特殊節點,稱為樹根 。
    • 其餘節點可以分為n個互斥集合T1、T2、…、Tn (n ≥ 0),而且每個集合也都是一棵樹 。
6 1 1
6-1-1 樹的相關名詞
  • 分支度 (degree)
  • 終端節點 (terminal node)
  • 非終端節點 (nonterminal node)
  • 階度 (level)
  • 父節點 (parent)
  • 子節點 (child)
  • 兄弟 (sibling)
  • 祖先 (ancestor)
  • 子孫 (descendant)
  • 高度 (height) 或深度 (depth)
  • 樹林 (forest)
6 1 2
6-1-2 樹的表示方式
  • 我們可以使用串列表示樹,例如右圖的樹可以表示成(A(B(E, F(K)), C(G, H(L, M(N)), I), D(J)))
  • 至於每個節點在記憶體的儲存方式,我們可以使用如下的結構 :
slide5
6-2 二元樹
  • 二元樹(binary tree) 是每個節點最多有兩個子節點的樹,節點的左邊稱為左子樹 ,節點的右邊稱為右子樹 。
slide6
範例6.2:證明二元樹第i階的最多節點個數為2i-1,i ≥ 1。
  • 解答:
  • 當i = 1時,第1階最多只有樹根一個節點,故2i-1 = 21-1 = 20 = 1成立。
  • 假設當1 ≤ i < k時,第i階的最多節點個數為2i-1成立,故第k - 1階的最多節點個數為2k-2。
  • 證明當i = k時,第i階的最多節點個數為2i-1亦成立。由於第k - 1階的最多節點個數為2k-2,而二元樹的每個節點最多有兩個子節點,故第k階的最多節點個數為2k-2x 2 = 2k-1。
slide7
範例6.3:證明高度為h之二元樹的最多節點個數為2h - 1,h ≥ 1。
  • 解答:由於二元樹第i階的最多節點個數為2i-1,因此,對高度為h的二元樹來說,全部存滿的話,總共有20 + 21 + … + 2h-1 = 2h - 1個節點。
6 2 1 v s
6-2-1 完滿二元樹V.S. 完整二元樹
  • 完滿二元樹 (full binary tree)
  • 完整二元樹 (complete binary tree)
slide9
假設完整二元樹的節點個數為n且節點依照0 ~ n - 1的順序編號,則其任意節點i (0 ≤ i ≤ n - 1) 具有下列特質:
    • 若i = 0,表示節點i為樹根,否則節點i的父節點為 (i - 1)/2 。
    • 若2i + 1 ≥ n,表示節點i沒有左子節點,否則節點i的左子節點為2i + 1。
    • 若2i + 2 ≥ n,表示節點i沒有右子節點,否則節點i的右子節點為2i + 2。
6 2 2
6-2-2 二元樹的表示方式
  • 使用陣列實作二元樹
slide12
使用鏈結串列實作二元樹

typedef struct node{

struct node *lchild;

char data;

struct node *rchild;

}tree_node;

typedef tree_node *tree_pointer;

6 2 3
6-2-3 將一般樹轉換為二元樹
  • 範例6.7:將下面的一般樹轉換為二元樹。
slide14
6-3 二元樹的走訪

6-3-1 中序走訪

inorder(tree_pointer root)

{

if (root){

inorder(root->lchild);

printf("%d ", root->data);

inorder(root->rchild);

}

}

右圖的中序走訪的結果為DBGEHACFI。

slide15
6-3-2 前序走訪

preorder(tree_pointer root)

{

if (root){

printf("%d ", root->data);

preorder(root->lchild);

preorder(root->rchild);

}

}

右圖的前序走訪的結果為ABDEGHCFI。

slide16
6-3-3 後序走訪

postorder(tree_pointer root)

{

if (root){

postorder(root->lchild);

postorder(root->rchild);

printf("%d", root->data);

}

}

右圖的後序走訪的結果為DGHEBIFCA。

6 3 4
6-3-4 決定唯一的二元樹
  • 範例6.11:[決定唯一的二元樹] 假設二元樹的中序與前序走訪分別為DBEACGFH、ABDECFGH,試據此推算出該二元樹。
slide18
6-4 二元樹的其它運算

6-4-1 複製二元樹

範例6.13:撰寫一個函數實作複製二元樹運算。

tree_pointer copy(tree_pointer source)

{

tree_pointer destination;

if (source){

destination = (tree_pointer)malloc(sizeof(tree_node));

destination->lchild = copy(source->lchild);

destination->rchild = copy(source->rchild);

destination->data = source->data;

return destination;

}

return NULL;

}

6 4 2
6-4-2 比較二元樹

範例6.14:撰寫一個函數實作比較二元樹運算。

int equal(tree_pointer source, tree_pointer destination)

{

if ((!source && !destination) ||

(source && destination && (source->data == destination->data) &&

equal(source->lchild, destination->lchild) &&

equal(source->rchild, destination->rchild))

return 1;

else

return 0;

}

slide20
6-5 運算式樹
  • 運算式樹 (expression tree) 指的是滿足下列條件的二元樹:
    • 終端節點為運算元 (operand),而非終端節點為運算子 (operator)。
    • 子樹為子運算式且其樹根為運算子。
slide21
6-6 引線二元樹
  • 引線二元樹 (threaded binary tree) 的左引線 (left thread) 指向節點本身的中序前行者 (inorder predecessor),右引線 (left thread) 指向節點本身的中序後繼者 (inorder successor) 。
6 6 1
6-6-1 節點結構

#define THRAED 1

#define POINTER 0

typedef struct thnode{

int lthread;

struct threaded_node *lchild;

char data;

struct threaded_node *rchild;

int rthread;

}threaded_node;

typedef threaded_node *threaded_pointer;

slide23

空的引線二元樹 (只有包含首節點)

加入首節點的引線二元樹

6 6 2
6-6-2 中序走訪
  • 範例6.15:撰寫一個函數在引線二元樹中找出任意節點的中序後繼者。

threaded_pointer inorder_successor(threaded_pointer ptr)

{

threaded_pointer tmp;

tmp = ptr->rchild;

if (tmp == POINTER)

while(tmp->lchild == POINTER)

tmp = tmp->lchild;

return tmp;

}

slide25
範例6.16:利用範例6.15所撰寫的inorder_successor() 函數完成引線二元樹的中序走訪。

threaded_inorder (threaded_pointer head)

{

threaded_pointer tmp;

for(;;){

tmp = inorder_successor(tmp);

if (tmp == head) break;

printf("%d ", tmp->data);

}

}

6 6 3
6-6-3 插入節點
  • 情況一:
    • 將新節點T插入節點S的右兒子且新節點T是樹葉
slide27

threaded_pointer tmp;

T->rthread = S->rthread;

T->rchild = S->rchild;

T->lthread = THREAD;

T->lchild = S;

S->rthread = POINTER;

S-rchild = T;

if (T->rthread == POINTER){

tmp = T->rchild;

while(tmp->lchild == POINTER)

tmp = tmp->lchild;

tmp->lchild = T;

}

(1)

(2)

(3)

(4)

  • 將新節點T插入節點S的右兒子且新節點T不是樹葉
slide28
情況二:
    • 將新節點T插入節點S的左兒子且新節點T是樹葉
slide29

T->lthread = S->lthread;

T->lchild = S->lchild;

T->rthread = THREAD;

T->rchild = S;

S->lthread = POINTER;

S-lchild = T;

if (T->lthread == POINTER){

tmp = T->lchild;

while(tmp->rchild == POINTER)

tmp = tmp->rchild;

tmp->rchild = T;

}

(1)

(2)

(3)

(4)

  • 將新節點T插入節點S的左兒子且新節點T不是樹葉
slide30
6-7 二元搜尋樹
  • 二元搜尋樹是滿足下列條件的二元樹:
    • 每個節點包含唯一的鍵值 (key)。
    • 左右子樹亦為二元搜尋樹。
    • 左子樹的鍵值必須小於其樹根的鍵值
    • 右子樹的鍵值必須大於其樹根的鍵值。
6 7 1
6-7-1 搜尋節點
  • 先和樹根做比較,若指定的鍵值小於樹根,就以同樣的方式搜尋樹根的左子樹,若指定的鍵值大於樹根,就以同樣的方式搜尋樹根的右子樹,左右子樹均據此定義遞迴地搜尋下去。
  • 寫出在右圖的二元搜尋樹搜尋70和35兩個鍵值的過程。
slide32
範例6.20:以遞迴的方式撰寫一個函數在二元搜尋樹搜尋節點。範例6.20:以遞迴的方式撰寫一個函數在二元搜尋樹搜尋節點。

tree_pointer search2(tree_pointer root, int key)

{

if (!root) return NULL;

if (key == root->data) return root;

if (key < root->data)

return search2(root->lchild, key);

else

return search2(root->rchild, key);

}

6 7 2
6-7-2 插入節點
  • 先和樹根做比較,若新節點小於樹根,就以同樣的方式移往樹根的左子樹,若新節點大於樹根,就以同樣的方式移往樹根的右子樹,直到抵達子樹的尾端,再將新節點加入子樹的尾端。
slide34
範例6.21:[建構二元搜尋樹] 將數字串列 (25, 30, 24, 58, 45, 26, 12, 14) 建構為二元搜尋樹。
slide35
假設將數字串列 (25, 30, 24, 58, 45, 26, 12, 14) 變更為 (25, 30, 24, 58, 45, 26, 14, 12),後面兩個資料的順序交換,則建構出來的二元搜尋樹如下:
slide36
假設將數字串列 (25, 30, 24, 58, 45, 26, 12, 14) 變更為 (12, 14, 24, 25, 26, 30, 45, 58),資料由小到大排序,則建構出來的二元搜尋樹如下:
6 7 3
6-7-3 刪除節點
  • 情況一:當欲刪除的節點是樹葉時,直接刪除該節點即可。
slide40
6-8 霍夫曼樹
  • 範例6.23:[建構霍夫曼樹] 假設A、B、C、D、E、F等六個符號的出現頻率為0.2、0.15、0.3、0.18、0.05、0.12,試據此建構霍夫曼樹並寫出各個符號的編碼。
slide41
範例6.24:[霍夫曼碼解碼] 根據範例6.23所設計的霍夫曼碼,將111110010000110進行解碼。
  • 解答:由於A、B、C、D、E、F等六個符號分別被編碼為01、110、10、00、1110、1111,故將111110010000110解碼後會得到FCADDB。
slide42
6-9 樹林
  • 樹林 (forest) 是由n棵互斥樹所組成的集合 (n ≥ 0),適合用來表示互斥集合 (disjoin set)。

樹去掉樹根後就會得到樹林

slide44
6-10 集合
  • 集合 (set) 是一群相同類型、沒有順序之分的元素,而互斥集合 (disjoin set) 是沒有相同元素的集合 。
slide45
互斥集合常見的運算有下列兩種:
    • 聯集 (union)
    • 搜尋 (find)

(a) S1 U S2 (b) S2 U S1

slide47
互斥集合的聯集運算函數

set_union(int i, int j)

{

parent[i] = j;

}

  • 呼叫聯集運算函數建立S1、S2、S3等三個集合和S1∪S2集合:

set_union(0, 2);

set_union(1, 2);

set_union(3, 4);

set_union(5, 8);

set_union(6, 8);

set_union(7, 8);

set_union(4, 2);

slide48
互斥集合的搜尋運算函數

int find(int i)

{

while(parent[i] > 0

i = parent[i];

return i;

}