数学　－－－＞　抽象化、一般化

数学　－－－＞　抽象化、一般化 より複雑な関係ー＞解析学一次関数ｙ＝ａｘ＋ｂより多くの要素ー＞線形代数要素　　　　　　　関係　　　　　　　要素ｙｘｆ（ｘ）ｙ1 ｘ1 ｙ2 ｘ2 線形・・・・ｙm ｘn

連立１次方程式 要素　　　　　　　関係　　　　　　　要素ｙｘｆ（ｘ）ｙ1 ｘ1 ｙ2 ｘ2 線形・・・・ｙm ｘn ｂｘＡｘ

基本変形 2x+3y=8 (Ⅰ) x+2y=5 -y= -2 ①＋②×(-2) (Ⅱ) x+2y=5 -y= -2 (Ⅲ) x=1 ②＋①×2 x=1 (Ⅳ) ①と②を入れ替えた -y= -2 x=1 (Ⅴ) y= 2 ②×(-1)

基本変形 連立１次方程式の基本変形（１）１つの式を何倍か（≠０倍）する。（２）２つの式を入れ替える。（３）１つの式に他の式の何倍かを加える。・基本変形は可逆的である。・基本変形を行って得られる連立１次方程式　は全て同等である。

掃き出し法 基本変形を行って連立１次方程式を解く方法係数行列を単純な形（単位行列）にする。行列の（行）基本変形（１）１つの行を何倍か（≠０倍）する。（２）２つの行を入れ替える。（３）１つの行に他の行の何倍かを加える。

2x+3y=8 2 3 8 (Ⅰ) 1 2 5 x+2y=5 -y= -2 ①＋②×(-2) 0 -1 -2 (Ⅱ) x+2y=5 1 2 5 -y= -2 0 -1 -2 (Ⅲ) x=1 ②＋①×2 1 0 1 x=1 1 0 1 (Ⅳ) ①と②を入れ替えた -y= -2 0 -1 -2 x=1 1 0 1 (Ⅴ) y= 2 ②×(-1) 0 1 2

　　　簡約な行列　　　　　一般的な連立方程式を解くために、拡大係数行列を扱いやすい行列に変形する。行列の零ベクトルでない行ベクトルの０でない最初の成分－＞その行の主成分　　簡約な行列（１）行ベクトルのうち零ベクトルがあれば、それは零ベクトルでないものよりも下にある。（２）零ベクトルでない行ベクトルの主成分は１である。（３）第ｉ行の主成分をａiji とすると、ｊ1＜ｊ2＜ｊ3＜・・・となる。　　　すなわち各行の主成分は、下の行ほど右にある。（４）各行の主成分を含む列の他の成分は全て０である。すなわち、　　第ｉ行の主成分がａijiならば、第ｊi 列のａiji以外の成分は全て０である。

　簡約な行列の例 主成分：各行の最初の１ 0 1 3 0 2 1 0 1 4 0 -1 0 0 0 1 1 0 1 7 -4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 0 0 2 3 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 0 3 0 0 0 0 0 0 1 2 8 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 2 -3 -2 1 0 0 0 2 3 2 ③×(1/2) 0 0 0 1 3/2 1 0 3 6 -9 -4 7 ② 0 2 4 -6 -4 2 0 0 0 0 2 4 0 2 4 -6 -4 2 0 1 2 0 5/2 4 ①と③を入替 ①＋②×3 0 3 6 -9 -4 7 0 0 0 1 3/2 1 0 0 0 2 3 2 0 0 0 0 2 4 0 1 2 -3 -2 1 ①×(1/2) 0 1 2 0 5/2 4 0 3 6 -9 -4 7 0 0 0 2 3 2 0 0 0 1 3/2 1 ③×(1/2) 0 0 0 0 1 2 0 1 2 -3 -2 1 ①＋③×(-5/2) ②＋①×(-3) 0 0 0 0 2 4 0 1 2 0 0 -1 0 0 0 2 3 2 ② ＋③×(-3/2) 0 0 0 1 0 -2 0 0 0 0 1 2

　　行列の簡約化 行列Aに基本変形を繰り返して簡約な行列Bを得る　ー＞行列Aを簡約化する。　　行列B：行列Aの簡約化定理２.２.１　任意の行列は、基本変形を繰り返すことにより簡約化できる。また、与えられた行列の簡約化は唯一通り定まる。　　行列の階数行列Ａの階数：rank(Ａ) rank(Ａ)＝Ｂの零ベクトルでない行の個数 rank(Ａ)＝Ｂの行の主成分を含む列の個数Ｂ：行列Aの簡約化定理２.２.２　Ａがｍ×ｎ行列ならば rank(Ａ)≦ｍ，　　rank(Ａ)≦ｎ

連立１次方程式を解く rank［Ａ：ｂ］＝rank(Ａ)　または　 rank(Ａ)＋１ rank［Ａ：ｂ］＝rank(Ａ)＋１　の場合 1 0 0 0 1 ＊ 0 ・ 0 1 ・ ……. 0 1 0 0 ………… 0 1 0 ………… 0 0 ・・・・・・ 0 ………… 0 0 0x1+0x2+ ･････ +0xn = 1 　ー＞Ａｘ＝ｂは解をもたない

定理２.３.１ 　連立１次方程式Ａｘ＝ｂが解をもつ必要十分条件は rank［Ａ：ｂ］＝rank(Ａ)　　である。定理２.３.２　ｎ変数の連立１次方程式Ａｘ＝ｂに解が唯一つ存在する必要十分条件は rank(Ａ) ＝rank［Ａ：ｂ］＝ｎ．

同次形の連立１次方程式 　　　　　Ａｘ＝０　　　　－＞　同次形の連立１次方程式ｘ＝０　　　　－＞　自明な解Ａｘ＝ｂ　　において　　ｂ＝０　のとき定理２.３.３（１）同次形の連立１次方程式Ａｘ＝０　　　　　（Ａ：ｍ×ｎ行列）　　の解が自明なものに限る必要十分条件は rank(Ａ) ＝ｎ．（２）ｍ＜ｎ　ならば　Ａｘ＝０　は自明でない解をもつ．

正則行列 逆行列ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅn　　　　Ａ：ｎ次正方行列　　　　－＞　　Ｂ：Ａの逆行列・Ａが逆行列を持つとき、Aの逆行列はただ１つ決まる．・正方行列Ａは逆行列をもつとき正則であるという．　　　　Ａ－１：Ａの逆行列定理２.４.１　Ａ，Ｂはｎ次の正方行列で　ＡＢ＝Ｅ　ならばＢはＡの逆行列である．

定理２.４.２ 　　Ａがｎ次正方行列のとき、次の（１）～（５）は同値である。（１）　ｒａｎｋ（Ａ）＝ｎ．（２）　Ａの簡約化はＥnである．（３）　Ａｘ＝ｂは任意のｎ次の列ベクトルｂに対し　　　唯一つの解を持つ．（４）　Ａｘ＝０　の解は自明な解ｘ＝０に限る．（５）　Ａは正則行列である．

1 0 ･･･ 0 0 1 ･･･ 0 0 0 ･･･ 1 e1 = , e2 = , ・・・ , en = Ax=e1 , Ax=e2 , ・・・ ,Ax=en 解を各々ciとする Ac1=e1 , Ac2=e2 , ・・・ ,Acn=en C = [c1 c2・・・ cn] とする AC = A [c1 c2・・・ cn] = [Ac1 Ac2・・・ Acn] = [e1 e2・・・ en] = En C はAの逆行列である：Ａ-1= C [ A E ] ー> [ E A -1 ] （簡約化）

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