МНОГОСТЕН. ПРИЗМА

1. МНОГОСТЕН. ПРИЗМА • Определение: Множество от краен брой многоъгълници, ограничаващи част от пространството така, че всяка страна на кой да е многоъгълник е страна на точно един друг многоъгълник, се нарича многостен. • Основни елементи на един многоъгълник са неговите върхове, ръбове и стени. На фиг.1 са построени няколко различни многостена.

2. МНОГОСТЕН. ПРИЗМА • Определение: Лице на повърхнина на многостен е сборът от лицата на стените му. • Понятието обем ще дефинираме за конкретни многостени. • Определение: Многостен, на който две от стените са еднакви n ъгълници, лежащи в успоредни равнини, а останалите му стени са успоредници, се нарича n ъгълна призма. Двата многоъгълника, лежащи в успоредните равнини, се наричат основи на призмата, а останалите стени се наричат околни стени на призмата. Страните на двете основи на призма наричаме нейни основни ръбове. Останалите ръбове на призмата се наричат околни ръбове. Околните ръбове на всяка призма са равни и успоредни отсечки. Всяка отсечка с краища два от върховете на призмата, нележащи в коя да е стена, наричаме диагонал на призмата.

3. МНОГОСТЕН. ПРИЗМА • Пример: За дадената на фиг. триъгълна призма да се запишат основните и околните и ръбове, основите и околните и стени и диагоналите и. • Решение: Основните ръбове на призмата са отсечките и Околните ръбове на призмата са отсечките и . Основи на призмата са триъгълниците и , а околните и стени са успоредниците и . Триъгълната призма няма диагонали, понеже всяка отсечка с краища два от върховете и лежи в някоя от стените на призмата.

4. МНОГОСТЕН. ПРИЗМА • Определение: Призма, в която околен ръб е перпендикулярен на основа, се нарича права. • Определение: Призма, на която околните ръбове не са перпендикулярни на равнината на основата, се нарича наклонена. • Определение: Права призма, на която основите са правилни многоъгълници, наричаме правилна. • Определение: Сборът от лицата на околните стени на призма наричаме лице на околната и повърхнина.

5. МНОГОСТЕН. ПРИЗМА • За лицето на околната повърхнина S на една призма е вярно равенството S = P.h, където P е периметъра на основата и, а е h височината на призмата, тоест разстоянието между успоредните равнини, в които лежат двете и основи. • Обемът на призма можем да намерим по формулата S = B.h, където B е лицето на основата, а h е височината на призмата.

6. МНОГОСТЕН. ПРИЗМА • Определение: Ако равнина е перпендикулярна на околен ръб на призма и пресича всички околни ръбове на призмата, то общите точки на тази равнина и околните ръбове на призмата са върхове на многоъгълник, който се нарича перпендикулярно сечение на призмата. • Триъгълникът MNP на фиг. 3. е едно перпендикулярно сечение на триъгълната призма

7. МНОГОСТЕН. ПРИЗМА • Лицето S на околната повърхнина на призма може да бъде пресметнато по формулатаS = l. p, където pе околния ръб, а е периметърът на перпендикулярно сечение на призмата. • ОбемътV на призма може да се намери по формулатаV=l.Sp , къдетоl е околния ръб, а Spе лицето на перпендикулярно сечение на призмата.

8. ПАРАЛЕЛЕПИПЕД • Определение: Призма, на която основите са успоредници, се нарича паралелепипед. • Паралелепипед, на който околен ръб е перпендикулярен на основа, се нарича прав паралелепипед. • Прав паралелепипед, основите на който са правоъгълници, се нарича правоъгълен паралелепипед. • Пример: За правоъгълен паралелепипед с основни ръбове и околен ръб да се намерят диагоналите, лицето на околната повърхнина, лицето на повърхнината и обемът.

9. Правоъгълен паралелепипед

10. Куб

11. ПАРАЛЕЛЕПИПЕД • Пример: За правоъгълен паралелепипед с основни ръбове и околен ръб да се намерят диагоналите, лицето на околната повърхнина, лицето на повърхнината и обемът. • Решение: Нека е правоъгълен паралелепипед, в който и . Паралелепипедът (както и всяка четириъгълна призма) има четири диагонала – отсечките и . От еднаквостта на правоъгълните триъгълници и следва равенството на диагоналите на паралелепипеда.

12. ПАРАЛЕЛЕПИПЕД • Дължината на кой да е от тях можем да намерим с Питагоровата теорема от кой да е от разгледаните триъгълници. Ще получим, че диагоналите на паралелепипеда са равни на . По-нататък, лицето S на околната повърхнина е равно на S = 2ac + 2bc , а лицето на повърхнината получаваме, като към S добавим лицата на двете основи. • Следователно лицето S1 на повърхнината на паралелепипеда е S1 = 2[ab+bc+ac] а обемът V има стойност V = a.b.c.

13. ПАРАЛЕЛЕПИПЕД • Пример: Диагоналът AC1 на правоъгълния паралелепипед ABCDA1B1C1D1 сключва със стените на паралелепипеда, съдържащи точката A , ъгли съответнои . Да се докаже, че . • Решение: Нека диагоналът AC1 сключва със стената ABCD ъгъл ; от правоъгълния триъгълник ACC1 имаме тогава, че . Или, ако запазим означенията от предишния пример, . Аналогично, ако , то . По същия начин получаваме, че , откъдето следва