slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Логика в информатике. Введение в математическую логику PowerPoint Presentation
Download Presentation
Логика в информатике. Введение в математическую логику

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 47

Логика в информатике. Введение в математическую логику - PowerPoint PPT Presentation


  • 178 Views
  • Uploaded on

Логика в информатике. Введение в математическую логику. Логика (от др.греческого λογος — мысль) — наука о законах человеческого мышления.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

Логика в информатике. Введение в математическую логику


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

Логика в информатике. Введение в математическую логику

slide2
Логика (от др.греческогоλογος — мысль) — наука о законах человеческого мышления
slide3

Пример логической задачи: Пока трое мудрецов спали под деревом, озорной ребенок покрасил их головы в красный цвет. Проснувшись, каждый мудрец обнаружил дело рук ребенка на головах своих друзей. Естественно они начали смеяться. Внезапно один замолчал. Почему?

slide4

Логика, развиваемая с помощью математических методов, получила название математической логики.

  • Эта наука исследует соотношения между основными понятиями математики, на основе которых доказывается истинность математических утверждений.
slide5
Формы мышления
    • Понятия(например, треугольник, компьютер). Понятие фиксирует основные, существенные признаки объекта.
    • Простые высказывания– суждения, выраженные в форме повествовательных предложений. Высказывание может быть либо истинно, либо ложно.
  • Простому высказыванию поставим в соответствие логическую переменную Х (У, Z), которая принимает значение 1, если высказывание истинно, и 0, если высказывание ложно.
slide6
Например:
  • «Два умножить на два равно четырем» - истинное высказывание, ему соответствует значение логической переменной 1: Х=1.
  • « Два умножить на два равно пяти» - ложное высказывание, ему соответствует значение логической переменной 0: У=0.
slide7
Сложные высказывания
  • Высказывание, состоящее из нескольких простых высказываний, которые связаны с помощью логических союзов «И», «ИЛИ», «ЕСЛИ, ТО» и др., является сложным.
  • Пример: Солнце встало (Х), и птицы запели (У).
slide8
Логические выражения и логические операции
  • Логическое выражение можно рассматривать как логическую функцию, аргументами которой являются логические переменные.
  • Функция и аргументы могут принимать только два значения: «истина» или «ложь» – 0 или 1.
  • Функции такого вида называются булевыми по имени Джорджа Буля (1815-1864).

Джордж Буль

(1815-1864) английский математик и логик

slide9
Унарные функции (операции)
  • Унарные функции имеют один аргумент.
  • Отрицание - логическая операция инверсии (логическое «НЕТ», «противоположное» исходному. Обозначается X или Х, читается «не X». Таблицы истинности:

ЛОЖЬ = 0, ИСТИНА = 1 или

slide10
Бинарные функцииБинарные функции имеют два аргумента
  • Дизъюнкция (логическое «ИЛИ», логическое сложение) - логическая операция по своему применению максимально приближённая к союзу «или» в смысле «или то, или это, или оба сразу».
  • Обозначается X Y (или X Y), читается « X или Y». Таблица истинности:
slide11
Бинарные функциипродолжение
  • Конъюнкция(логическое "И", логическое умножение) - логическая операция, по своему применению максимально приближённая к союзу "и". Обозначается X Y
  • (или X Y, X & Y), читается « X и Y», таблица истинности:
slide12
Бинарные функциипродолжение
  • Штрих Шеффера (операция И-НЕ) — обозначается X | Y, таблица значений:

Штрих Шеффера можно выразить через отрицание и конъюнкцию: X | Y =  (X Y)

Чтобы это показать, построим таблицу для конъюнкции и инвентируем результат:

Генри Морис Шеффер

(1882 — 1964) американский логик

slide13
Бинарные функциипродолжение
  • Стрелка Пирса (операция ИЛИ-НЕ) — означает «ни X, ни Y», обозначается X↓Y, таблица значений:

Стрелку Пирса можно выразить через отрицание и дизъюнкцию:

X↓Y =  (X Y)

 Чтобы это показать, построим таблицу для дизъюнкции и инвентируем результат:

Чарльз Сандерс Пирс (1839 — 1914), американский философ, логик, математик.

slide14
Бинарные функциипродолжение
  • Импликация (implication (англ.) - следствие, вывод) - логическая операция, по своему применению приближенная к союзам «если… то…». Обозначается X Y (или X Y), таблица истинности:

Пример: если фигура А квадрат, то фигура А — прямоугольник

slide15
Бинарные функциипродолжение
  • Эквивалентность — логическая операция. Обозначается X ≡ Y (или X ↔ Y), означает «X то же самое, что Y», «X эквивалентен Y», «X тогда и только тогда, когда Y». Таблица истинности:
slide16
Все названные бинарные функции можно представить в одной таблице
  • Тождественная единица, тождественная истина, тождественное "ДА". Таблица истинности:

Есть и другие бинарные операции. Всего бинарных операций - 16.

slide17
Тернарные функции
  • Функция трёх аргументов Fm=Fm(X,Y,Z) - широко известная мажоритарная функция. Мажоритарная функция (отображающая большинство) Fm принимает значение «истина», в тех случаях, когда два или три её аргумента истинны. Иными словами, таблица истинности функции отражает торжество большинства единиц.
slide19
Законы легко проверяются с помощью таблиц истинности для обеих частей равенств на всех наборах переменных.
  • Пример:

законы де Моргана можно проверить, построив таблицу значений для:

 (X Y), Х Y,  (X Y), Х Y

Огастес де Морган

(1806-1871), шотландский математик и логик.

slide20
Приоритет логических операций

Пример. ¬ А  В  С  D = (( ¬ А)  В)  (С  D).

- A  B + C  D = ((- A)  B) + (C  D)

slide21
Решение логических задач с помощью теории булевых функций
  • Условия логической задачи следует записать в виде логической функции.
  • Далее упрощают полученную формулу, что приводит к ответу.
  • Пример: На кафедре биофизики в каждой из двух аудиторий может находиться либо кабинет информатики, либо кабинет физики. На дверях аудиторий студенты-шутники повесили таблички, про которые известно, что либо они обе истинны, либо ложны. На первой аудитории повесили табличку « По крайней мере, в одной из этих аудиторий размещается кабинет информатики», а на второй аудитории – табличку с надписью «Кабинет физики находится в другой аудитории». Определите, какой кабинет размещается в каждой из аудиторий.
slide22

Переведем условие задачи на язык алгебры логики.

  • Так как в каждой из аудиторий может находиться кабинет информатики, то пусть:
  • А – « В первой аудитории находится кабинет информатики»
  • В – « Во второй аудитории находится кабинет информатики»
  • Отрицания этих высказываний:
  •  А – « В первой аудитории находится кабинет физики»
  • B – « Во второй аудитории находится кабинет физики»
slide23

Высказывания на табличках:

  • На первой двери – « По крайней мере, в одной из этих аудиторий размещается кабинет информатики», соответствует логическому выражению:
  • Х = А  В
  • На второй двери - «Кабинет физики находится в другой аудитории»:
  • У =  А
  • Содержащееся в условии задачи утверждение о том, что надписи на табличках одновременно истинные, соответствуют функции эквивалентности:
  • (Х ↔ У) = 1
  • Раскроем функцию эквивалентности:
  • (ХУ ) ( ХУ) = 1
  • Подставим вместо Х и У соответствующие им выражения:
  • ((АВ) А ) ( (АВ)А) = 1
  • Упростим первую и вторую части выражения отдельно:
  • (АВ) А =( А А)  ( В А) , в соответствии с правилом дистрибутивности.
  • В соответствии с законом непротиворечия:
  • ( А А)  ( В А) = 0 ( В А)
  • В соответствии с правилом исключения констант:
  • 0 (В А) = ( В А)
slide24

В соответствии с законом Де Моргана и законом двойного отрицания:

  • ( (АВ)А) = (АВА) = (А  А В)
  • В соответствии с законом непротиворечия:
  • (А  А В) = (0 В) = 0
  • В результате преобразования первого и второго слагаемых получаем:
  • ( В А)  0 = 1
  • В соответствии с правилом исключения констант:
  • ( В А) = 1
  • Что означает, что справедливы следующие высказывания:
  • В – « Во второй аудитории находится кабинет информатики»,
  •  А – « В первой аудитории находится кабинет физики».
slide25
Логические схемы
  • «Кирпичик» - ВЕНТИЛЬ

Компьютеры выполняют программы (или алгоритмы). При выполнении программы логические элементы компьютера оперируют с сигналами, представляющими собой электрические импульсы. На вход логического элемента поступают сигналы – аргументы, на выходе появляются сигналы-функции.

Любая логическая функция может быть представлена в виде комбинации трёх базовых, поэтому логические схемы компьютера, производящие обработку или хранение информации, могут быть собраны из базовых логических элементов, как из кирпичиков.

slide26
Базовые логические элементы реализуют три базовые логические операции:
  • Логический элемент «И»(конъюнктор) – логическое умножение;
  • Логический элемент «ИЛИ»(дизъюнктор) – логическое сложение;
  • Логический элемент «НЕ» (инвертор) – инверсию.
slide27
Пример: Схемы, выполняющие бинарные функции, изображены в таблице:
  • В компьютерах первого поколения логические схемы делали на электронных лампах, в компьютерах второго поколения - на транзисторах, сейчас для создания логических схем используют большие интегральные схемы.
slide28
Рассмотрим подробнее принцип работы логического элемента «И» (Рис. 1.1):

На входы Х1 и Х2 логического элемента подаются четыре пары сигналов, а на выходе получается последовательность из четырёх сигналов, значения которых определяются в соответствии с таблицей истинности операции логического умножения.

slide29

Пример. Построить логическую схему соответствующую логическому выражению AvBA

slide30
Правило построения логических схем.

1) Определить число логических переменных.

2) Определить количество базовых логических операций и их порядок

3) Изобразить для каждой логической операции соответствующий ей вентиль.

4) Соединить вентили в порядке выполнения логических операций.

slide31

А

1

0

&

1

1

1

В

0

slide32

В

&

С

А

1

Пример. По логической схеме получить логическое выражение:

slide33

Решение: Первым (слева) стоит конъюнкторBС. Выход конъюнктора и А - входы для следующего дизъюнктораAv(BС). Последним стоит инвентор. Получаем:  (AvBC).

slide34
Алгоритм синтеза цифрового устройства
  • Задать словесное описание автомата.
  • Определить количество входов и выходов.
  • Составить таблицу истинности.
  • Записать структурную формулу.
  • Начертить структурную (функциональную схему).
slide35
Составьте функциональную схему работы цифрового устройства:
  • Для оповещения зрителей на соревнованиях по тяжелой атлетике (штанга) используется транспарант «Вес взят правильно». Транспарант освещается, получив сигнал от троих судей: старшего и двоих помощников. Вес считается взятым правильно, при единодушии всех судей или двоих при условии, что один из судей – старший.
slide36

Пример логической схемы персонального компьютера, разработанного А.Ф.Волковым из г. Днепродзержинска в 1985 г. и печатная плата машины Pentagon - 1024 SL, реализованная на базе ПЛИС FPGA EP2C8Q208C8N .

pentagon.nedopc.com

slide38
Обработка любой информации на компьютере сводится к выполнению процессором различных арифметических и логических операций
  • . Для этого в состав процессора входит так называемое арифметико-логическое устройство (АЛУ). Оно состоит из ряда устройств, построенных на рассмотренных выше логических элементах. Важнейшими из таких устройств являются триггеры, полусумматоры, сумматоры, шифраторы, дешифраторы, счетчики, регистры.
slide40

Сумматор

  • Сумматор - это электронная логическая схема, выполняющая суммирование двоичных чисел поразрядным сложением. Сумматор является центральным узлом арифметико-логического устройства процессора.
slide41

Составим таблицу логических значений для сумматора, где А, В — слагаемые, Р и Y — перенос и цифра разряда для суммы соответственно:

Заметим, что Р — это функция, реализующая операцию конъюнкции двух переменных A и В, а Y - отрицание операции эквивалентности:

  • Р = А & В; Y = (A v В) & ¬(А & В).
slide42
Эта схема называется полусумматором, так как в ней отсутствует третий вход — перенос из предыдущего разряда.
slide43

Триггер.

  • Основной принцип работы ячеек оперативной памяти – это хранение информации. Она энергозависима и просто держит сигнал, никаких преобразований здесь не происходит. Основным элементом схемы, удерживающей сигнал, является триггер.
  • Триггер – электронная схема, применяемая для хранения одного бита информации.
  • Триггер имеет два устойчивых состояния, одно из которых соответствует двоичной единице, а другое — двоичному нулю.
slide44

Самый распространённый тип триггера — так называемый RS-триггер (S и R, соответственно, от английских set — установка, и reset — сброс). Условное обозначение триггера — на рис.

slide47

Шифратор и дешифратор.

  • Шифратор и дешифратор являются типовыми узлами ЭВМ. Шифратор (кодер) преобразует единичный сигнал на одном из входов в n-разрядный двоичный код.