Vektorová algebra

1. Vektorová algebra Orientovaná úsečka, vektory

2. B A Orientovaná úsečka- úsečka, ktorej krajné body majú určené poradie (pripúšťame aj nulovú orientovanú úsečku). Ak AB je orientovaná úsečka, bod A sa nazýva jej začiatočný bod, bod B jej koncový bod. Označenie orientovanej úsečky: alebo orAB A B A A = B A = B B Orientovaná úsečka Úsečka orBA (s opačným poradím bodov A, B) sa nazýva opačne orientovanou (opačnou úsečkou) k úsečke orAB. Ak A  B, tak AB = BA, ale orAB  orBA.

3. A B C D A B C D Orientovaná úsečka Hovoríme, žeorientované úsečky AB, CD sú súhlasne orientované(majú ten istý smer), ak polpriamky AB, CD ležia na rovnobežných, či rovnajúcich sa priamkach) a zároveň: a) jedna z polpriamok je časťou druhej alebo b) obe polpriamky ležia v tej istej polrovine určenej priamkou AC. V opačnom prípade sa orientované úsečky AB, CD nazývajú nesúhlasne orientované.Symbolický zápis súhlasnej[nesúhlasnej] orientácie: ABCD[ABCD].

4. Vektor • Vektor je posunutie.  • množina všetkýchnavzájomzhodných, súhlasne orientovaných úsečiek. • je množina všetkých orientovaných úsečiek, ktoré majú tú istú dĺžku a ten istý smer. • Vektor určený nulovou orientovanou úsečkou sa nazýva nulový vektor.Označenie vektorov: v tlačenom texte a, b, c, ... (malými tučnými latinskými písmenami), v písanom texte , ... (malými písmenami s pruhom), nulový vektor symbolom 0 resp. ō.

5. a B a D C A a F a H E G Vektor Umiestnenie vektora - každá orientovaná úsečka, ktorá tento vektor určuje. Umiestnenie vektora do bodu - také jeho umiestnenie, ktorého začiatočným bodom je daný bod. Označenie vektora určeného orientovanou úsečkou AB (CD, ...): B  A. Orientovaná úsečka AB je teda umiestnením vektora B  A do bodu A. Umiestnenie vektora a do bodov A, C, E, Ga = B  A a = D  Ca = F  Ea = H  G

6. Príklady • V obdĺžniku ABCD so stredom S nájdite všetky skupiny orientovaných úsečiek, ktoré majú krajné body A, B, C, D, S a sú súhlasne orientované. Koľko ich je? • Zobrazte pravidelný šesťuholník ABCDEF a jeho stred označte S. Pomocou bodov A, B, C, D, E, F, S zapíšte všetky možné umiestnenia vektorov: ū= SC, ā=AC

7. Súradnicové sústavy • Karteziánska súradnicová sústava • V euklidovskej rovine nad poľom reálnych čísel E2 (R) je pravouhlá karteziánska súradnicová sústava (O, x, y) daná 1. pevne zvoleným bodom O, ktorý sa nazýva začiatok súradnicovej sústavy 2. dvoma kolmými priamkami x a y so spoločným bodom O, ktoré sa nazývajú súradnicové osi. • Po určení kladnej orientácie na polpriamkach so začiatkom O a jednotky dĺžky na súradnicových osiach x a y možno každému bodu M priestoru jednoznačne priradiť usporiadanú dvojicu reálnych čísel M=(x M, y M), ktoré vyjadrujú jeho orientované vzdialenosti od súradnicových osí y a x v danom poradí, nazývané karteziánske súradnice bodu M.

8. E2

9. V euklidovskom priestore E3(R), je karteziánska pravouhlá súradnicová sústava (O,x,y,z) definovaná 1. pevne zvoleným ľubovoľným bodom O nazývaným začiatok súradnicovej sústavy 2. tromi kolmými priamkami x, y a z prechádzajúcimi spoločným bodom O a nazývanými súradnicové osi, ktoré tvoria 3 súradnicové roviny π=xy, ν=xz, μ=yz.

10. E3