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第一章 基本概念

1.1 集合 1.2 映射 1.3 数学归纳法 1.4 整数的一些整除性质 1.5 数环和数域. 第一章 基本概念. 课外学习 1 : 山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村 ---- 评析数学进程中的三次危机. 在数学的领域中,提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。 ―― 康托尔( Cantor, 集合论的奠基人, 1845 - 1918 ) 算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。 -- 高斯( Gauss,1777-1855 ) 数可以说成是统治整个量的世界,而算术的四则可以被认为是作为数学家的完全的装备。

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第一章 基本概念

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  1. 1.1 集合 1.2 映射 1.3 数学归纳法 1.4 整数的一些整除性质 1.5 数环和数域 第一章 基本概念 课外学习1: 山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村 ----评析数学进程中的三次危机

  2. 在数学的领域中,提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。在数学的领域中,提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。 ――康托尔(Cantor,集合论的奠基人,1845-1918) 算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。 --高斯(Gauss,1777-1855) 数可以说成是统治整个量的世界,而算术的四则可以被认为是作为数学家的完全的装备。 --麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879) 惠州学院数学系

  3. 1.1 集合 内容分布 1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质 教学目的 掌握集合概念、运算、证明集合相等的一般方法 重点、难点 集合概念、证明集合相等 惠州学院数学系

  4. 表示一定事物的集体,我们把它们称为集合或集,如“一队”、“一班”、“一筐”. 组成集合的东西叫这个集合的元素. 我们常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合,用小写拉丁字母a,b,c,…表示元素. 如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作 ;或者说A包含a,记作A∋a 如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作 ;或者说A不包含a,记作 例如,设A是一切偶数所成的集合,那么4∈A, 而 . 1.1.1 集合的描述性定义 惠州学院数学系

  5. 一个集合可能只含有有限多个元素,这样的集合叫做有限集合. 如,前十个正整数的集合;一个学校的全体学生的集合;一本书里面的所有汉字的集合等等这些都是有限集合. 如果一个集合是由无限多个元素组成的,就叫做无限集合. 如,全体自然数的集合;全体实数的集合;小于的全体有理数的集合等等都是无限集合. 不含任何元素的集合叫空集. 表示为:Ø 惠州学院数学系

  6. 例如,我们把一个含有n个元素的集合的有限集合 表示成: . 前五个正整数的集合就可以记作 . 枚举仅用来表示有限集合. 自然数的集合可以记作 , 拟枚举可以用来表示能够排列出来的的集合, 像自然数、整数… 如果一个集A是由一切具有某一性质的元素所组成的,那么就用记号 来表示. 例如 1.1.2 集合的表示方法 枚举法: 拟枚举: 概括原则: 惠州学院数学系

  7. 表示一切大于-1且小于1的实数的所组成的集合. 常用的数集: 全体整数的集合,表示为Z 全体有理数的集合,表示为Q 全体实数的集合,表示为R 全体复数的集合,表示为C 惠州学院数学系

  8. 设A,B是两个集合,如果A的每一元素都是B的元素,那么就说A是B的子集,记作 (读作A属于B),或记作 (读作B包含A). 根据这个定义,A是B的的子集必要且只要对于每一个元素x,如果 ,就有 . 1.1.3 集合的包含和相等 例如,一切整数的集合是一切有理数的集合的子集,而后者又是一切实数的集合的子集. A是B的子集,记作: 惠州学院数学系

  9. 如果A不是B的子集,就记作: 或 . 因此,A不是B的子集,必要且只要A中至少有一个元素不属于B,即: 根据定义,一个集合A总是它自己的子集,即: 例如,一节可以用被有整除的整数所成的集合,不是一切偶数所成的集合的子集,因为3属于前者但不属于后者. 集合{1,2,3}不是{2,3,4,5}的子集. 如果集合A与B的由完全相同之处的元素组成部分的,就说A与B相等,记作:A=B. 我们有 惠州学院数学系

  10. 例如,设A={1,2},B是二次方程 的根的集合,则A=B. 惠州学院数学系

  11. 并运算 设A,B是两个集合. 由A的一切元素和B的一切元素所成的集合叫做A与B的并集(简称并),记作 . 如图1所示. B A 例如,A={1,2,3},B ={1,2,3,4},则 又例如,A是一切有理数的集合,B是一切无理数的集合,则 是一切实数的集合. 显然, 或 1.1.4 集合的运算及其性质 根据定义,我们有 惠州学院数学系

  12. 交运算 由集合A与B的公共元素所组成的集合叫做A与B的交集(简称交),记作: ,如图2所示. 显然, , 我们有 例如,A={1,2,3,4},B={2,3,4,5},则 惠州学院数学系

  13. 例如,设A是一切有理数的集合,B是一切无理数的集合,那么 就是空集. 又如方程 的实数根的集合为空集. 两个集合A与B不一定有公共元素,我们就说它们的交集是空集. 空集是任意集合的子集. 惠州学院数学系

  14. 反之,若 ,那么 或者 . 但 , ,所以不论哪一种情形都有 ,所以 这就证明了上述等式. 交换律 : ; 结合律 : ; 分配律 : 我们选取一个来证明. 例1证明 证明 设 ,那么 且 ,于是 且至少属于B与C 中的之一. 若 ,那么因为 ,所以, ;同样,若 ,则 . 不论哪一种情形都有 . 所以 运算性质: 惠州学院数学系

  15. 两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去,设 是给定的集合. 由 的一切元素所成的集合叫做 的并;由 的一切公共元素所成的集合叫做的 交. 的并和交分别记为: 和 . 我们有 惠州学院数学系

  16. 差运算: 设A,B是两个集合,令 也就是说, 是由一切属于A但不属于B 的元素所组成的,称为A与B 的差. 注意:并没有要求B是A的子集. 例如, 积运算: 设设A,B是两个集合,令 称为A与B的笛卡儿积(简称为积). 是一切元素对(a, b)所成的集合,其中第一个位置的元素a取自A,第二个位置的元素b取自B. 惠州学院数学系

  17. 1.2 映射 一、 内容分布 1.2.1 映射的概念及例 1.2.2 映射的相等及像 1.2.3 映射的合成 1.2.4 单射、满射、双射 二、 教学目的 掌握映射的概念, 映射的合成,满射、单射、可逆映射的判断。 三、 重点、难点 映射的合成,满射、单射、可逆映射的判断。 惠州学院数学系

  18. 用字母f,g,…表示映射. 用记号 表示f 是A到B的一个映射. 如果通过映射f,与A中元素x对应的B中元素是y,那么就写作 这时y 叫做 x 在f 之下的象,记作 . 1.2.1 映射的概念及例 定义1设A,B 是两个非空的集合,A到B 的一个映射指的是一个对应法则,通过这个法则,对于集合A中的每一个元素 x,有集合B中一个唯一确定的元素 y 与它对应. 惠州学院数学系

  19. 例1令Z是一切整数的集合. 对于每一整数n,令 与它对应. 那 f 是Z到Z的一个映射, 例2令R是一切实数的集合,B是一切非负实数的集合 对于每一 ,令 与它对应; 那么 f 是R到B的一个映射. , , 例3设 这是A到B的一个映射. 例4设A是一切非负被减数的集合,B是一切实数的集 合. 对于每一 ,令 与它对应. f 不是A 到B的映射, 因为当 时, 不能由x唯一确 定. 惠州学院数学系

  20. 例5令A=B等于一切正整数的集合. 不是A到B的一个映射,因为 . 例6设A是任意 一个集合,对于每一 ,令 与它对应: 这自然是A到A的一个映射,这个映射称为集合A的恒等映射. 注意: ① A与B可以是相同的集合,也可以是不同的集合 ② 对于A的每一个元素x,需要B中一个唯一确定的元素与它对应. ③ 一般说来,B中的元素不一定都是A中元素的象. ④ A中不相同的元素的象可能相同. 惠州学院数学系

  21. 设 , 都是A到B的映射,如果对于每一 ,都有 ,那么就说映射f与g是相等的. 记作 例7 令 , . 那么 . 设 是一个映射. 对于 ,x的象 . 一切这样的象作成B的一个子集,用 表示: , 叫做A在f之下的象,或者叫做映射f的象. 1.2.2 映射的相等及像 惠州学院数学系

  22. 设 是A到B 的一个映射, 是B 到C 的一个映射. 那么对于每一个 ,,因而是C中的一个元素. 因此,对于每一 ,就有C 中唯一的确定的元素 与它对应,这样就得到A到C 的一个映射,这映射是由 和 所决定的,称为 f 与g 的合成(乘积),记作 . 于是有 对于一切 ,f 与g 的合成可以用下面的图示意: f g 1.2.3 映射的合成 A C 惠州学院数学系 B

  23. 例8设 那么 例9设 A={1,2,3} 那么 惠州学院数学系

  24. 设给映射 , , ,有 . 但是,一般情况下 , 设A是非空集合 , 称为设A上的 恒等映射。 设A,B是两个非空集合,用 和 表示A和B的恒等映射. 设 是A到B的一个映射. 显然有: , . 惠州学院数学系

  25. 是满射必要且只要对于B中的每一元素y,都有A中元素x 使得 . 定义3设 是一个映射,如果对于A中任意两个元素 和 ,只要 ,就有 ,那么就称f是A到B的一个单映射,简称单射. 1.2.4 单射、满射、双射 定义2设f 是A到B的一个映射,如果,那么说称f 是A到B上的一个映射,这里也称f 是一个满映射,简称满射. 关于映射,只要求对于A中的每一个元素x,有B中的一个唯一确定的元素y与它对应,但是A中不同的元素可以有相同的象. 惠州学院数学系

  26. ② 定理1.2.1令 是集合A 到B 的一个映射. 那么以下两个条件是等价的: ① f是一个双射; ② 存在B到A的一个映射g ,使得 , 再者,当条件②成立时,映射g是由f 唯一确 定的. 如果既是满射,又是单射,即如果f 满足下面两个条件, 对于一切,那么就称f 是A 到B 的一个双射. 一个有限集集合的A到自身的双射 叫做A的一个置换. 惠州学院数学系

  27. 证 如果①成立. 因为f 是满射,所以对于B的每一个y,有 ,使得 又因为f是单射,所以这个x是由y唯一确定的:即如果还有 使得 ,那么 . 我们规定 ,如果 . 则g是B到A的一个映射. 设 . 而 . 我们有 所以 . 设 ,而 . 那么 . 于是 所以 . 故②成立. 惠州学院数学系

  28. 反过来,设②成立. 先证明f 是满射. 设 ,令 . 由于 ,所以 即f是满射. 再证f 是单射设 而 由于 ,所以 这说证明了f 是单射. 因此,f 是A到B 的双射. 最后,设②成立. 令 和 都具有性质: , 惠州学院数学系

  29. 那么由①和②,我们有 所以 g 是由 f 唯一确定的. 定理被证明. 设f 是A到B的一个映射,我们把满足定理1.2.1条件②的映射 叫做f 的逆映射. 由定理1.2.1,一个映射不一定有逆映射,然而如果映射 有逆映射的话,逆映射是由 f 唯一确定的,以后把 f 的逆映射记作 . 有 , 因此,由定理1.2.1, 也是一个双射,并且f 就是 的逆映射,即 . 惠州学院数学系

  30. 例10设A是一切非负实数所成的集合; f是A到B 的一个映射,因为当 时, ,并且是由x 唯一确定的. 我们证明,f 是一个双射. 设 . 取 如果存在集合A到集合B的一个双射,我们有时候也说,在A与B的元素之间存在着一一对应. 惠州学院数学系

  31. 因为 ,所以 ,且 ,所以 . 有 所以f 是满射. 设 而 . 那么 一般地,设A是一个非空的集合,把A×A到A的一个映射叫做集合A的一个代数运算. 由此 ,所以f 是单射. 于是由定理1.2.1,f 有逆映射. 易验证, 惠州学院数学系

  32. 1.3 数学归纳法 内容分布 1.3.1最小数原理 1.3.2数学归纳法的依据 教学目的 掌握映射的概念, 映射的合成,满射、单射、可逆映射的判断。 重点、难点 映射的合成,满射、单射、可逆映射的判断。 惠州学院数学系

  33. 最小数原理 正整数集 的任意一个非空子集S必含有一个最小数,也就是这样一个数 ,对任意 都有 . 其中 表示全体正整数 的集合. 那么经代替正整数集 ,最小数原理对于 仍然成立. 也就是说, 的任意 一个非空子集必含有一个最小数,特别,N的任意一个非空了集必含有一个最小数. 1.3.1 最小数原理 数学归纳法所根据的原理是正整数集的一个最基本的性质——最小数原理. 注意 1. 最小数原理并不是对于任意数集都成立的 2. 设c是任意一个整数,令 这个原理的一般形式就是数学分析中的下(上)确界原理。 惠州学院数学系

  34. 证 设命题对于一切正整数都成立. 令S表示使命题不成立的正整数所成的集合. 那么 . 于是,由最小数原理,S中有最小数h .因为命题对于n=1成立,所以 从而h-1是一下正整数. 因为h是S中最小的数,所以 . 这就是说当n=h-1时,命题成立. 于是由②,当n=h时命题也成立. 因此 . 这就导致矛盾. 1.3.2数学归纳法的依据 定理1.3.1(数学归纳法原理) 设有一个与正整数n有关的命题. 如果 ①当n=1时. 命题成立; ②假设当n=k 时命题成立,当n= k+1 时命题也成 立;那么这个命题对于一切正整数n都成立. 惠州学院数学系

  35. 例1证明,当 时,n 边形的内角和等于(n-2)π. 证 当n=3 时,命题成立. 因为三角形的内角和等于π= (3-2)π. 假设时命题成立. 任意一个k+1多边形 ,联结 ,那么 的内角和就等于三角形 的内角和加上k边形 的内角和. 前者等于π,后者由归纳法假定,等于(k-2)π. 因此k+1多边形 的内角和等于π+(k-2)π=(k-1)π=((k+1)-2)π. 命题得证. 惠州学院数学系

  36. 定理1.3.2(第二数学归纳法) 设有一个与正整数n有关的命题. 如果 ① 当n=1时命题成立; ② 假设命题对于一切小于k的自然数来说成立,则命题对于k也成立; 那么命题对于一切自然数n来说都成立. 数学归纳法可以推广到良序集合上,即所谓超限归纳原理。 惠州学院数学系

  37. 1.4 整数的一些整除性质 一、内容分布 1.4.1 整除与带余除法 1.4.2 最大公因数 1.4.3 互素 1.4.4 素数的简单性质 二、教学目的 1.理解和掌握整除及其性质。 2.掌握最大公因数性质、求法。 3.理解互素、素数的简单性质。 三、重点、难点 整除、最大公因数性质、互素有关的证明 。 惠州学院数学系

  38. 设a,b是两个整数,如果存在一个整数d,使得b=ad,那么就说a整除b(或者说b被a整除)。用符号a | b表示a整除b。这时a叫做b的一个因数,而b叫做a的一个倍数。如果a不整除b,那么就记作 . ② ① ③ ④ ⑤ 每一个整数都可以1和 - 1整除。 ⑥ 每一个整数a都可以被它自己和它的相反数 - a整除 ⑦ 1.4.1 整除与带余除法 整除的基本性质: 惠州学院数学系

  39. 定理1.4.1(带余除法) 设a,b是整数且 ,那么存在一对整数q和r,使得 证 令 。因为 ,所以S 是N 的一个非空子集。根据最小数定理(对于N),S 含有一个最小数。也就是说,存在 ,使得r=b-aq是S 中最小数。于是b=aq+r,并且 。如果 ,那么 ,而 满足以上条件整数q和r 的唯一确定的。 惠州学院数学系

  40. 所以 。这是与r是S中最小数的事实矛盾。因此. 假设还 ,使得 于是就有 。如果 那么 由此或者 ,或者 。不论是哪一种情形,都将导致矛盾。这样必须 ,从而 ,也就是说 惠州学院数学系

  41. ; ② 如果 。 一般地,设 是n 个整数。满足下列条件的整数d 叫做 的一个最大公因数: ① ② 1.4.2 最大公因数 设a,b是两个整数,满足下列条件的整数 d 叫做a与b的最大公因数: 惠州学院数学系

  42. 定理1.4.2任意 个整数 都有最大公因数。如果d是 的一个最大公因数,那么 - d也是一个最大公因数; 的两个最大公因数至多只相差一个符号。 证 由最大公因数的定义和整除的基本性质,最后一个论断是明显的。 现证,任意n个整数 有最大公因数。如果 ,那么0显然就是 的最大公因数,设 不全为零。考虑Z 的子集 I 显然不是空集,因为对于每一个i 惠州学院数学系

  43. 又因为 不全为零,所以I 含有非零整数。因此 是正整数集的一个非空子集,于是由最小数原理, 有一个最小数d。我们说,d 就是 的一个最大公因数。 首先,因为 ,所以d >0并且d 有形式 又由带余除法,有 惠州学院数学系

  44. 如果某一 ,如 ,那么 而 。这与d是 中的最小数的事实矛盾。这样,必须所有 ,即 。 另一方面,如果 。那么 。这就证明了d 是 的一个最大公因数。 定理1.4.3设d是 的一个最大公因数。那么存在整数 ,使得 。 证 若 ,那么d = 0,定理显然成立。设 不全为零,由定理1.4.2的证明,知 ,.因而存在 ,使得 。 惠州学院数学系

  45. 设a,b是两个整数,如果(a, b)=1,那么就说a与b互素。一般地, 是n个整数,如果 ,那么就说这n个整数 互素。 定理1.4.4n 个整数 互素的充分且必要条件是存在整数 ,使得 (1) 证 如果 互素, 那么由定理1.4.2立即得到等式(1)成立。反过来,设等式(1)成立。令 。那么c能整除(1)式中的左端。所以c | 1,因此c =1,即 。 1.4.3 互素 惠州学院数学系

  46. 证 设p是一个素数,如果p | ab,但 ,由上面所指出的素数的性质,必定有(p, a)=1。于是由定理1.4.4,存在整数s 和t 使得sp + ta = 1 两边同乘以b:spb + tab =b . 左边的第一项自然能被p整除;又因为p | ab,所以左边第二项也能被p整除。于是p整除左边两项的和,从而p | b. 1.4.4 素数的简单性质 一个正整数p>1叫做一个素数,如果除±1和±p外,没有其它因数。 定理1.4.5一个素数如果带队两个整数a与b的乘积,那么它至少整除a 与b中的一个。 惠州学院数学系

  47. 例1取定一个整数a ,令 那么S是一个数环。事实上,S显然不是空集。 设 。那么 如取a =2,那么S就是全体偶数所组成的数环。 1.5 数环和数域 定义1 设S是复数集C的一个非空子集,如果对于S中任意两个数a, b来说,a +b, a – b, ab 都在S内,那么就称S是一个数环。 惠州学院数学系

  48. 例2令 . S显然不是空集,如果 ,那么 ② 如果, 定义2设F 是一个数环,如果 ① F 含有一个不等于零的数; 那么就称F 是一个数域。 惠州学院数学系

  49. 例3令 ,则F是一个数域。首先,容易看出,F是一个数环,并且 ,所以①成立。 现设 ,那么 。否则当d =0 的情形将得出c = 0,这与 矛盾;在 的情形将得出 这与是无理数矛盾。因此 这就证明了F 是一个数域。 惠州学院数学系

  50. 证 设F 是一个数域。那么由条件①,F 含有一逐步形成不等于0的数a,再由条件②, 。用1 和它自己重复相加,可得全体正整数,因而全体正整数都属于F。另一方面, ,所以F也含有0与任一正整数的差,亦即全体负整数。因为F含有全体整数。这样,F 也含有用意两个整数的商(分母不为0),因而,F 含有一切有理数。 定理1.5.1任何数域都包含有理数域Q。 惠州学院数学系

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