第一章 基本概念

1. 1.1 集合 1.2 映射 1.3 数学归纳法 1.4 整数的一些整除性质 1.5 数环和数域 第一章 基本概念 课外学习1: 山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村 ----评析数学进程中的三次危机

2. 在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。 ――康托尔（Cantor,集合论的奠基人，1845－1918） 算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。 --高斯（Gauss,1777-1855） 数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以被认为是作为数学家的完全的装备。 --麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879) 惠州学院数学系

3. 1.1 集合 内容分布 1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质 教学目的 掌握集合概念、运算、证明集合相等的一般方法 重点、难点 集合概念、证明集合相等 惠州学院数学系

4. 表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集，如“一队”、“一班”、“一筐”. 组成集合的东西叫这个集合的元素. 我们常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示元素. 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作 ；或者说A包含a，记作A∋a 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 ；或者说A不包含a，记作 例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A， 而 . 1.1.1 集合的描述性定义 惠州学院数学系

5. 一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫做有限集合. 如，前十个正整数的集合；一个学校的全体学生的集合；一本书里面的所有汉字的集合等等这些都是有限集合. 如果一个集合是由无限多个元素组成的，就叫做无限集合. 如，全体自然数的集合；全体实数的集合；小于的全体有理数的集合等等都是无限集合. 不含任何元素的集合叫空集. 表示为：Ø 惠州学院数学系

6. 例如,我们把一个含有n个元素的集合的有限集合 表示成： . 前五个正整数的集合就可以记作 . 枚举仅用来表示有限集合. 自然数的集合可以记作 , 拟枚举可以用来表示能够排列出来的的集合, 像自然数、整数… 如果一个集A是由一切具有某一性质的元素所组成的，那么就用记号 来表示. 例如 1.1.2 集合的表示方法 枚举法: 拟枚举: 概括原则: 惠州学院数学系

7. 表示一切大于-1且小于1的实数的所组成的集合. 常用的数集： 全体整数的集合，表示为Z 全体有理数的集合，表示为Q 全体实数的集合，表示为R 全体复数的集合，表示为C 惠州学院数学系

8. 设A，B是两个集合，如果A的每一元素都是B的元素，那么就说Ａ是Ｂ的子集，记作 （读作Ａ属于Ｂ），或记作 （读作Ｂ包含Ａ）. 根据这个定义，Ａ是Ｂ的的子集必要且只要对于每一个元素x，如果 ，就有 . 1.1.3 集合的包含和相等 例如，一切整数的集合是一切有理数的集合的子集，而后者又是一切实数的集合的子集. A是B的子集，记作： 惠州学院数学系

9. 如果A不是B的子集，就记作： 或 . 因此，A不是B的子集，必要且只要A中至少有一个元素不属于B，即： 根据定义，一个集合A总是它自己的子集，即： 例如，一节可以用被有整除的整数所成的集合，不是一切偶数所成的集合的子集，因为3属于前者但不属于后者. 集合{1，2，3}不是{2，3，4，5}的子集. 如果集合A与B的由完全相同之处的元素组成部分的，就说A与B相等，记作：A=B. 我们有 惠州学院数学系

10. 例如，设A={1，2}，B是二次方程 的根的集合，则A=B. 惠州学院数学系

11. 并运算 设A，B是两个集合. 由A的一切元素和B的一切元素所成的集合叫做A与B的并集（简称并），记作 . 如图1所示. B A 例如，A={1，2，3}，B ={1，2，3，4}，则 又例如，A是一切有理数的集合，B是一切无理数的集合，则 是一切实数的集合. 显然， 或 1.1.4 集合的运算及其性质 根据定义，我们有 惠州学院数学系

12. 交运算 由集合A与B的公共元素所组成的集合叫做A与B的交集(简称交)，记作： ，如图2所示. 显然， ， 我们有 例如，A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则 惠州学院数学系

13. 例如，设A是一切有理数的集合，B是一切无理数的集合，那么 就是空集. 又如方程 的实数根的集合为空集. 两个集合A与B不一定有公共元素，我们就说它们的交集是空集. 空集是任意集合的子集. 惠州学院数学系

14. 反之，若 ，那么 或者 . 但 ， ，所以不论哪一种情形都有 ，所以 这就证明了上述等式. 交换律 : ; 结合律 : ; 分配律 : 我们选取一个来证明. 例1证明 证明 设 ，那么 且 ，于是 且至少属于B与C 中的之一. 若 ，那么因为 ，所以， ；同样，若 ，则 . 不论哪一种情形都有 . 所以 运算性质: 惠州学院数学系

15. 两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去，设 是给定的集合. 由 的一切元素所成的集合叫做 的并；由 的一切公共元素所成的集合叫做的 交. 的并和交分别记为： 和 . 我们有 惠州学院数学系

16. 差运算： 设A，B是两个集合，令 也就是说， 是由一切属于A但不属于B 的元素所组成的，称为A与B 的差. 注意：并没有要求B是A的子集. 例如， 积运算： 设设A，B是两个集合，令 称为A与B的笛卡儿积（简称为积）. 是一切元素对（a, b）所成的集合，其中第一个位置的元素a取自A，第二个位置的元素b取自B. 惠州学院数学系

17. 1．2 映射 一、 内容分布 1.2.1 映射的概念及例 1.2.2 映射的相等及像 1.2.3 映射的合成 1.2.4 单射、满射、双射 二、 教学目的 掌握映射的概念, 映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。 三、 重点、难点 映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。 惠州学院数学系

18. 用字母f，g，…表示映射. 用记号 表示f 是A到B的一个映射. 如果通过映射f，与A中元素x对应的B中元素是y，那么就写作 这时y 叫做 x 在f 之下的象，记作 . 1.2.1 映射的概念及例 定义1设A，B 是两个非空的集合，A到B 的一个映射指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合A中的每一个元素 x，有集合B中一个唯一确定的元素 y 与它对应. 惠州学院数学系

19. 例1令Z是一切整数的集合. 对于每一整数n，令 与它对应. 那 f 是Z到Z的一个映射， 例2令R是一切实数的集合，B是一切非负实数的集合 对于每一 ，令 与它对应； 那么 f 是R到B的一个映射. ， ， 例3设 这是A到B的一个映射. 例4设A是一切非负被减数的集合，B是一切实数的集 合. 对于每一 ，令 与它对应. f 不是A 到B的映射， 因为当 时， 不能由x唯一确 定. 惠州学院数学系

20. 例5令A=B等于一切正整数的集合. 不是A到B的一个映射，因为 . 例6设A是任意 一个集合，对于每一 ，令 与它对应： 这自然是A到A的一个映射，这个映射称为集合A的恒等映射. 注意: ① A与B可以是相同的集合，也可以是不同的集合 ② 对于A的每一个元素x，需要B中一个唯一确定的元素与它对应. ③ 一般说来，B中的元素不一定都是A中元素的象. ④ A中不相同的元素的象可能相同. 惠州学院数学系

21. 设 ， 都是A到B的映射，如果对于每一 ，都有 ，那么就说映射f与g是相等的. 记作 例7 令 ， . 那么 . 设 是一个映射. 对于 ，x的象 . 一切这样的象作成B的一个子集，用 表示： ， 叫做A在f之下的象，或者叫做映射f的象. 1.2.2 映射的相等及像 惠州学院数学系

22. 设 是A到B 的一个映射， 是B 到C 的一个映射. 那么对于每一个 ，，因而是C中的一个元素. 因此，对于每一 ，就有C 中唯一的确定的元素 与它对应，这样就得到A到C 的一个映射，这映射是由 和 所决定的，称为 f 与g 的合成（乘积），记作 . 于是有 对于一切 ,f 与g 的合成可以用下面的图示意： f g 1.2.3 映射的合成 A C 惠州学院数学系 B

23. 例8设 那么 例9设 A={1，2，3} 那么 惠州学院数学系

24. 设给映射 ， ， ，有 . 但是，一般情况下 ， 设A是非空集合 ， 称为设A上的 恒等映射。 设A，B是两个非空集合，用 和 表示A和B的恒等映射. 设 是A到B的一个映射. 显然有： ， . 惠州学院数学系

25. 是满射必要且只要对于B中的每一元素y，都有A中元素x 使得 . 定义3设 是一个映射，如果对于A中任意两个元素 和 ，只要 ，就有 ，那么就称f是A到B的一个单映射，简称单射. 1.2.4 单射、满射、双射 定义2设f 是A到B的一个映射，如果，那么说称f 是A到B上的一个映射，这里也称f 是一个满映射，简称满射. 关于映射，只要求对于A中的每一个元素x，有B中的一个唯一确定的元素y与它对应，但是A中不同的元素可以有相同的象. 惠州学院数学系

26. ① ② 定理1.2.1令 是集合A 到B 的一个映射. 那么以下两个条件是等价的： ① f是一个双射； ② 存在B到A的一个映射g ，使得 ， 再者，当条件②成立时，映射g是由f 唯一确 定的. 如果既是满射，又是单射，即如果f 满足下面两个条件， 对于一切，那么就称f 是A 到B 的一个双射. 一个有限集集合的A到自身的双射 叫做A的一个置换. 惠州学院数学系

27. 证 如果①成立. 因为f 是满射，所以对于B的每一个y，有 ，使得 又因为f是单射，所以这个x是由y唯一确定的：即如果还有 使得 ，那么 . 我们规定 ，如果 . 则g是B到A的一个映射. 设 . 而 . 我们有 所以 . 设 ，而 . 那么 . 于是 所以 . 故②成立. 惠州学院数学系

28. 反过来，设②成立. 先证明f 是满射. 设 ，令 . 由于 ，所以 即f是满射. 再证f 是单射设 而 由于 ，所以 这说证明了f 是单射. 因此，f 是A到B 的双射. 最后，设②成立. 令 和 都具有性质: ， 惠州学院数学系

29. 那么由①和②，我们有 所以 g 是由 f 唯一确定的. 定理被证明. 设f 是A到B的一个映射，我们把满足定理1.2.1条件②的映射 叫做f 的逆映射. 由定理1.2.1，一个映射不一定有逆映射，然而如果映射 有逆映射的话，逆映射是由 f 唯一确定的，以后把 f 的逆映射记作 . 有 ， 因此，由定理1.2.1， 也是一个双射，并且f 就是 的逆映射，即 . 惠州学院数学系

30. 例10设A是一切非负实数所成的集合； f是A到B 的一个映射，因为当 时， ，并且是由x 唯一确定的. 我们证明，f 是一个双射. 设 . 取 如果存在集合A到集合B的一个双射，我们有时候也说，在A与B的元素之间存在着一一对应. 惠州学院数学系

31. 因为 ，所以 ，且 ，所以 . 有 所以f 是满射. 设 而 . 那么 一般地，设A是一个非空的集合，把A×A到A的一个映射叫做集合A的一个代数运算. 由此 ，所以f 是单射. 于是由定理1.2.1，f 有逆映射. 易验证， 惠州学院数学系

32. 1.3 数学归纳法 内容分布 1.3.1最小数原理 1.3.2数学归纳法的依据 教学目的 掌握映射的概念, 映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。 重点、难点 映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。 惠州学院数学系

33. 最小数原理 正整数集 的任意一个非空子集S必含有一个最小数，也就是这样一个数 ，对任意 都有 . 其中 表示全体正整数 的集合. 那么经代替正整数集 ，最小数原理对于 仍然成立. 也就是说， 的任意 一个非空子集必含有一个最小数，特别，N的任意一个非空了集必含有一个最小数. 1.3.1 最小数原理 数学归纳法所根据的原理是正整数集的一个最基本的性质——最小数原理. 注意 1． 最小数原理并不是对于任意数集都成立的 2． 设c是任意一个整数，令 这个原理的一般形式就是数学分析中的下（上）确界原理。 惠州学院数学系

34. 证 设命题对于一切正整数都成立. 令S表示使命题不成立的正整数所成的集合. 那么 . 于是，由最小数原理，S中有最小数h .因为命题对于n=1成立，所以 从而h-1是一下正整数. 因为h是S中最小的数，所以 . 这就是说当n=h-1时，命题成立. 于是由②，当n=h时命题也成立. 因此 . 这就导致矛盾. 1.3.2数学归纳法的依据 定理1.3.1（数学归纳法原理） 设有一个与正整数n有关的命题. 如果 ①当n=1时. 命题成立； ②假设当n=k 时命题成立，当n= k+1 时命题也成 立；那么这个命题对于一切正整数n都成立. 惠州学院数学系

35. 例1证明，当 时，n 边形的内角和等于(n-2)π. 证 当n=3 时，命题成立. 因为三角形的内角和等于π= (3-2)π. 假设时命题成立. 任意一个k+1多边形 ，联结 ，那么 的内角和就等于三角形 的内角和加上k边形 的内角和. 前者等于π，后者由归纳法假定，等于(k-2)π. 因此k+1多边形 的内角和等于π+(k-2)π=(k-1)π=((k+1)-2)π. 命题得证. 惠州学院数学系

36. 定理1.3.2（第二数学归纳法） 设有一个与正整数n有关的命题. 如果 ① 当n=1时命题成立； ② 假设命题对于一切小于k的自然数来说成立，则命题对于k也成立； 那么命题对于一切自然数n来说都成立. 数学归纳法可以推广到良序集合上，即所谓超限归纳原理。 惠州学院数学系

37. 1.4 整数的一些整除性质 一、内容分布 1.4.1 整除与带余除法 1.4.2 最大公因数 1.4.3 互素 1.4.4 素数的简单性质 二、教学目的 1.理解和掌握整除及其性质。 2.掌握最大公因数性质、求法。 3.理解互素、素数的简单性质。 三、重点、难点 整除、最大公因数性质、互素有关的证明 。 惠州学院数学系

38. 设a，b是两个整数，如果存在一个整数d，使得b=ad，那么就说a整除b（或者说b被a整除）。用符号a | b表示a整除b。这时a叫做b的一个因数，而b叫做a的一个倍数。如果a不整除b，那么就记作 . ② ① ③ ④ ⑤ 每一个整数都可以1和 - 1整除。 ⑥ 每一个整数a都可以被它自己和它的相反数 - a整除 ⑦ 1.4.1 整除与带余除法 整除的基本性质： 惠州学院数学系

39. 定理1.4.1（带余除法） 设a，b是整数且 ，那么存在一对整数q和r，使得 证 令 。因为 ，所以S 是N 的一个非空子集。根据最小数定理（对于N），S 含有一个最小数。也就是说，存在 ，使得r=b-aq是S 中最小数。于是b=aq+r，并且 。如果 ，那么 ，而 满足以上条件整数q和r 的唯一确定的。 惠州学院数学系

40. 所以 。这是与r是S中最小数的事实矛盾。因此. 假设还 ，使得 于是就有 。如果 那么 由此或者 ，或者 。不论是哪一种情形，都将导致矛盾。这样必须 ，从而 ，也就是说 惠州学院数学系

41. ① ； ② 如果 。 一般地，设 是n 个整数。满足下列条件的整数d 叫做 的一个最大公因数： ① ② 1.4.2 最大公因数 设a，b是两个整数，满足下列条件的整数 d 叫做a与b的最大公因数： 惠州学院数学系

42. 定理1.4.2任意 个整数 都有最大公因数。如果d是 的一个最大公因数，那么 - d也是一个最大公因数； 的两个最大公因数至多只相差一个符号。 证 由最大公因数的定义和整除的基本性质，最后一个论断是明显的。 现证，任意n个整数 有最大公因数。如果 ，那么0显然就是 的最大公因数，设 不全为零。考虑Z 的子集 I 显然不是空集，因为对于每一个i 惠州学院数学系

43. 又因为 不全为零，所以I 含有非零整数。因此 是正整数集的一个非空子集，于是由最小数原理， 有一个最小数d。我们说，d 就是 的一个最大公因数。 首先，因为 ，所以d >0并且d 有形式 又由带余除法，有 惠州学院数学系

44. 如果某一 ，如 ，那么 而 。这与d是 中的最小数的事实矛盾。这样，必须所有 ，即 。 另一方面，如果 。那么 。这就证明了d 是 的一个最大公因数。 定理1.4.3设d是 的一个最大公因数。那么存在整数 ，使得 。 证 若 ，那么d = 0，定理显然成立。设 不全为零，由定理1.4.2的证明，知 ，.因而存在 ，使得 。 惠州学院数学系

45. 设a，b是两个整数，如果（a, b）=1，那么就说a与b互素。一般地， 是n个整数，如果 ，那么就说这n个整数 互素。 定理1.4.4n 个整数 互素的充分且必要条件是存在整数 ，使得 （1） 证 如果 互素， 那么由定理1.4.2立即得到等式（1）成立。反过来，设等式（1）成立。令 。那么c能整除（1）式中的左端。所以c | 1，因此c =1,即 。 1.4.3 互素 惠州学院数学系

46. 证 设p是一个素数，如果p | ab，但 ，由上面所指出的素数的性质，必定有（p, a）=1。于是由定理1.4.4，存在整数s 和t 使得sp + ta = 1 两边同乘以b：spb + tab =b . 左边的第一项自然能被p整除；又因为p | ab，所以左边第二项也能被p整除。于是p整除左边两项的和，从而p | b. 1.4.4 素数的简单性质 一个正整数p>1叫做一个素数，如果除±1和±p外，没有其它因数。 定理1.4.5一个素数如果带队两个整数a与b的乘积，那么它至少整除a 与b中的一个。 惠州学院数学系

47. 例1取定一个整数a ，令 那么S是一个数环。事实上，S显然不是空集。 设 。那么 如取a =2，那么S就是全体偶数所组成的数环。 1.5 数环和数域 定义1 设S是复数集C的一个非空子集，如果对于S中任意两个数a, b来说，a +b, a – b, ab 都在S内，那么就称S是一个数环。 惠州学院数学系

48. 例2令 . S显然不是空集，如果 ，那么 ② 如果， 定义2设F 是一个数环，如果 ① F 含有一个不等于零的数； 那么就称F 是一个数域。 惠州学院数学系

49. 例3令 ，则F是一个数域。首先，容易看出，F是一个数环，并且 ，所以①成立。 现设 ，那么 。否则当d =0 的情形将得出c = 0，这与 矛盾；在 的情形将得出 这与是无理数矛盾。因此 这就证明了F 是一个数域。 惠州学院数学系

50. 证 设F 是一个数域。那么由条件①，F 含有一逐步形成不等于0的数a，再由条件②， 。用1 和它自己重复相加，可得全体正整数，因而全体正整数都属于F。另一方面， ，所以F也含有0与任一正整数的差，亦即全体负整数。因为F含有全体整数。这样，F 也含有用意两个整数的商（分母不为0），因而，F 含有一切有理数。 定理1.5.1任何数域都包含有理数域Q。 惠州学院数学系