第五章 近代数学的兴起

1. 5.1 中世纪的欧洲 5.2 向近代数学的过渡 5.3 解析几何的诞生 第五章 近代数学的兴起

2. 5.3解析几何的诞生 • 17世纪以后的各种数学发展在某种程度上都和变量有关。几乎与德沙格、帕斯卡建立射影几何的同时，由笛卡尔、费玛开辟的解析几何学，为数学乃至整个科学树起了一座耀眼夺目的丰碑，从根本上改变了数学的面貌，使数学从此跨入一个崭新的时代，即从常量数学进入变量数学的时代，从而大大促进了数学的发展。

3. 恩格斯 数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 , 有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了,而它们也就立刻产生.

4. 5.3.1 解析几何学产生的背景

7. 5.3.2 笛卡尔与他的《几何学》 笛卡儿，欧洲文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理性权利的人。 “我思故我在” • 1637年《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》 • 《屈光学》：折射定律 • 《气象学》：虹的形成原理 • 《几何学》：解析几何思想 任何问题⇒数学问题⇒代数问题⇒方程求解 古典几何处于代数学支配之下 • 法国科学家、哲学家和数学家 • 1616年获法学博士学位，1618－1621年投笔从戎，1628年移居荷兰，1649年到斯德哥尔摩 • 欧洲近代哲学的奠基人之一，17世纪欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一 • “近代科学的始祖” 笛卡儿 （法，1596－1650年）

8. 笛卡尔（R.Descartes, 1596-1650）法国数学家、物理学家和哲学家。出生于法国，自幼丧母，体弱多病，加之父亲的溺爱，他在床上度过许多时间。八岁上学，教师特许他早晨可以晚起，为的是让他多休息些时间。但小笛卡尔并没有因此睡懒觉，而是利用这时段锻练晨思。传说笛卡尔的坐标概念，就是他躺在床上观察虫子在天花板上爬行时的位置而想到的。

9. 1612年笛卡尔毕业于普瓦界大学，后来在巴黎当律师，1617年他参加了奥伦公爵摩里士的队伍。部队驻在荷兰南部小城市勒达时，一个偶然的巧遇，笛卡尔成功地解决了贴在街头海报上征解的数学难题，这次的成功使笛卡尔确定终生研究数学的意向。1612年笛卡尔毕业于普瓦界大学，后来在巴黎当律师，1617年他参加了奥伦公爵摩里士的队伍。部队驻在荷兰南部小城市勒达时，一个偶然的巧遇，笛卡尔成功地解决了贴在街头海报上征解的数学难题，这次的成功使笛卡尔确定终生研究数学的意向。

10. 1619年11月，当他所在的部队驻扎在多瑙河上的一个小镇时，他不断地思考、研究他在数学、哲学中的新想法，于是一个伟大的思想进入了他的梦中，11月10日晚上在梦中，他见到怎样把代数应用到几何中去。那天他的思想完全被梦中的伟大想法所占据，因为他感到“发现了一种不可思议的科学基础”。后来他写道：“第二天，我开始懂得这惊人发现的基本原理。”这就是指他创立解析几何的线索。从此笛卡尔致力于研究数学的一个完全新的领域－解析几何，这是科学家用来研究自然现象的最有用的工具之一。

11. 1621年笛卡尔退伍后，在欧洲漫游了一段时间，1625年回到巴黎，1628年到荷兰定居，专心研究哲学和数学，写下了许多著作，其中主要的有《方法论》（1637年）、《形而上学的深思》（1641年）、《哲学原理》（1644年）、《论心灵的各种感情》（1649年）。他的解析几何著作《几何学》是作为《方法论》一书的附录发表的。当时有人认为笛卡尔的《几何学》是“有史以来在精密科学的进展中所迈出的最大的一步。”1621年笛卡尔退伍后，在欧洲漫游了一段时间，1625年回到巴黎，1628年到荷兰定居，专心研究哲学和数学，写下了许多著作，其中主要的有《方法论》（1637年）、《形而上学的深思》（1641年）、《哲学原理》（1644年）、《论心灵的各种感情》（1649年）。他的解析几何著作《几何学》是作为《方法论》一书的附录发表的。当时有人认为笛卡尔的《几何学》是“有史以来在精密科学的进展中所迈出的最大的一步。”

12. 笛卡尔的《几何学》中提到的解析几何，现在看来虽然很不完备，但可贵的是他引入了新思想，开始了数学中的一次革命，即常量数学发展到变量数学。费尔马也曾系统研究平面直角坐标系下的直线、圆、二次曲线的方程。而笛卡尔的真正进展是他证明了几何问题可以归结为代数问题，因此可用代数方法求解，他的方法极大推动了对曲线的深入研究，因为疑难的几何命题转化为代数问题后，就能用代数技巧使之化难为易了。他的这一工作不仅使整个古典几何领域处于代数学家的支配之下，而且大大加速了微积分的成熟，对牛顿等人发现微积分起着重要的作用。笛卡尔的《几何学》中提到的解析几何，现在看来虽然很不完备，但可贵的是他引入了新思想，开始了数学中的一次革命，即常量数学发展到变量数学。费尔马也曾系统研究平面直角坐标系下的直线、圆、二次曲线的方程。而笛卡尔的真正进展是他证明了几何问题可以归结为代数问题，因此可用代数方法求解，他的方法极大推动了对曲线的深入研究，因为疑难的几何命题转化为代数问题后，就能用代数技巧使之化难为易了。他的这一工作不仅使整个古典几何领域处于代数学家的支配之下，而且大大加速了微积分的成熟，对牛顿等人发现微积分起着重要的作用。

13. 恩格斯把解析几何称为最重要的数学方法，并且高度评价了笛卡尔的革新思想，他说：“数学中的转折点是笛卡尔的变量，有了变量，微分和积分也就成为必要的了，而且他们也就立刻产生……”马克思也在他的《数学手稿》一书中说：“由于笛卡尔把代数应用于几何，也就是由于解析几何或高等几何，函数的概念获得了新的发展和重要意义。”恩格斯把解析几何称为最重要的数学方法，并且高度评价了笛卡尔的革新思想，他说：“数学中的转折点是笛卡尔的变量，有了变量，微分和积分也就成为必要的了，而且他们也就立刻产生……”马克思也在他的《数学手稿》一书中说：“由于笛卡尔把代数应用于几何，也就是由于解析几何或高等几何，函数的概念获得了新的发展和重要意义。”

14. 1649年冬，笛卡尔担任了瑞典年轻的皇后克里斯蒂娜（Christina）的教师。但是不幸的是这位二十三岁的皇后坚持要求笛卡尔每天清晨五点到没有暖气的图书馆里去给她上课，因为他睡眠不足，身体虚弱，受不了瑞典冬天的酷冷，终于得肺炎，1650年2月11日，这位解析几何的奠基人，伟大的数学家、哲学家和物理学家与世长辞了。如果这个愚蠢的皇后不下这个奇怪的命令，可以预料笛卡尔将给这个世界作出更多的贡献。1649年冬，笛卡尔担任了瑞典年轻的皇后克里斯蒂娜（Christina）的教师。但是不幸的是这位二十三岁的皇后坚持要求笛卡尔每天清晨五点到没有暖气的图书馆里去给她上课，因为他睡眠不足，身体虚弱，受不了瑞典冬天的酷冷，终于得肺炎，1650年2月11日，这位解析几何的奠基人，伟大的数学家、哲学家和物理学家与世长辞了。如果这个愚蠢的皇后不下这个奇怪的命令，可以预料笛卡尔将给这个世界作出更多的贡献。

25. 笛卡儿的《几何学》1637年 解析几何的诞生

26. 笛卡儿与光学图形 （摩纳哥，1996） 解析几何的诞生

27. 解析几何的诞生 M•克莱因(美, 1908-1992):笛卡儿把代数提高到重要地位，其意义远远超出了他对作图问题的洞察和分类。这个关键思想使人们能够认识典型的几何问题，并且能够把几何上互不相关的问题归纳在一起。代数给几何带来最自然的分类原则和最自然的方法层次。因此，体系和结构就从几何转移到代数。

28. 费尔马 （法，1601－1665年） 5.3.3 费玛与他的解析几何 • 解析几何：文艺复兴以来振兴欧洲代数的里程碑 • 阿波罗尼奥斯《论平面轨迹》 • 1629年《平面和立体轨迹引论》

35. 第五章 思考题 1、文艺复兴时期数学发展的重要因素。 2、阐述天文学革命对近代数学兴起的影响。 3、解析几何产生的时代背景是什么？ 4、简述解析几何中形数结合的思想。