第三章集合

第三章集合 • 3.1 集合论基础 • 3.2 集合运算及其性质 • 3.3 集合的笛卡儿积与无序积退出

3.1 集合论基础 • 1. 集合与元素 • 所谓集合，是指某些可辨别的不同对象的全体，将用大写字母A，B，X，Y，···表示之。组成集合的对象称为集合的元素或成员，将用小写字母a，b，x，y···表示之。a是A的元素或a属于A，记作aA；a不属于A或a不是A的元素，记作aA，或者(aA)。

集合的元素一旦给定，这一集合便完全确立。这一事实被形式地叙述为外延公理。集合的元素一旦给定，这一集合便完全确立。这一事实被形式地叙述为外延公理。 • 外延公理：两集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。 • 若A与B相等，记为A=B；否则，记为AB。

外延公理可形式表为： • A=B(x)(xAxB) • 或者 • A=B(x)(xAxB)(x)(xBxB) • 顺便指出，在应用外延公理证明集合A与B相等时，只需考察： • 对于任意元素x，应有下式 • xBxB • 成立即可。这就是说，证明两集合相等时可按此法行事。

表示一个特定集合，基本上有两种方法： • 一是枚举法，在可能时列出它的元素，元素之间用逗号分开，再用花括号括起。如 • A={a,e,i,o,u} (1) • 表明集合A是由字母a, e, I ,o和u为元素构成的。

二是谓词法，用谓词公式来确定集合。即个体域中能使谓词公式为真的那些元素，确定了一个集合，因为这些元素都具有某种特殊性质。若P(x)含有一个自由变元的谓词公式，则{x|P(x)}定义了集合S，并可表为二是谓词法，用谓词公式来确定集合。即个体域中能使谓词公式为真的那些元素，确定了一个集合，因为这些元素都具有某种特殊性质。若P(x)含有一个自由变元的谓词公式，则{x|P(x)}定义了集合S，并可表为 • S={x|P(x)} • 由此可见，P(c)为真当且仅当cS。从而有 • xSxP(x)

例如，(1)可表为 • A={x|x是英文字母表中元音字母} • 在用性质来描述集合时，可表述为概括原理或子集合公理。 • 子集公理： • 对于任给集合A和性质P，存在集合B，使得B中元素恰为A中满足P的那些元素。

子集公理可形式地表为 • (B)(x)(xBxA(x)) • 其中(x)为不含B自由出现。 • 子集公理的提出，避免了悖论，使集合论得以存在和发展。

应该指出的是：①集合并不决定于它的元素展示方法。集合的元素被重复或重新排列，集合并不改变，即{a, a ,e, i, o, u}= {a, u, e, o, i}。但有时对重复出现的元素都认为是集合的元素，这种集合称为多重集。即{a, a, e, i, o, u, u}{a, e, i, o, u}。本书中集合在不特别指明时，都指前者，即①中的集合。

②集合的元素可以是具体事物，可以是抽象概念，也可以是集体，不是集合的元素称为本元。如，一本书，一支笔，集合{1,2,3}可以组成集合B={一本书，一支笔，{1,2,3}}。特别地，以集合为元素的集合称为集合族或集合类如A={{1,2,3}, { 8,9,6}}。 • ③集合中元素之间可以有某种关联，也可以彼此毫无关系。

2. 子集、全集与空集 • 子集是描述一个集合与另一个集合之间的关系，其定义如下。 • 定义3.1.1设A和B是任意两个集合，如果集合A的每个元素，都是集合B中的一个元素，则称A是B的子集，或称A被包含于B中，或者说B包含A，并记为AB。

本定义也可表成 • AB(x)(xAxB) • 这表明，要证明AB，只需对任意元素x，有下式 • xAxB • 成立即可。 • 此外，若集合B不包含集合A，记为AB。 /

定义3.1.2设A和B是两个集合，若AB且AB，则称A是B的真子集，记为AB，也称B真包含A。该定义也可表为定义3.1.2设A和B是两个集合，若AB且AB，则称A是B的真子集，记为AB，也称B真包含A。该定义也可表为 • AB(ABAB)

定义3.1.3如果一个集合包含了所要讨论的每一个集合，则称该集合为全集，记为U或E。它可形式地表为定义3.1.3如果一个集合包含了所要讨论的每一个集合，则称该集合为全集，记为U或E。它可形式地表为 • U={x|P(x)P(x)} • 其中P(x)为任何谓词公式。

显然，全集U即是第二章中的全总论域。于是，每个元素x都属于全集U，即命题(x)(xU)为真。由定义易知，对任意集合A，都有AU。显然，全集U即是第二章中的全总论域。于是，每个元素x都属于全集U，即命题(x)(xU)为真。由定义易知，对任意集合A，都有AU。 • 在实际应用中，常常把某个适当大的集合看成全集U。

定义3.1.4没有任何元素的集合，称为空集，记为，它可形式地表为：定义3.1.4没有任何元素的集合，称为空集，记为，它可形式地表为： • ={x|P(x)P(x)} • 其中P(x)为任何谓词公式。 • 由定义可知，对任何集合A，有A。这是因为任意元素x，公式xxA总是为真。

注意，与{}是不同的。{}是以为元素的集合，而没有任何元素，能用构成集合的无限序列：注意，与{}是不同的。{}是以为元素的集合，而没有任何元素，能用构成集合的无限序列： • (1)，{}，{{}}，··· • 该序列除第一项外，每项均以前一项为元素的集合。

(2)，{}，{，{}}，··· • 该序列除第一项外，每项均以前面各项为元素的集合。它即是冯·诺依曼在1924年使用空集给出自然数的集合表示： • 0:=，1:={}，2:={ ,{}}，··· • 定理3.1.1空集是唯一的 • 定理3.1.2 (ⅰ)对任一集合A，有AA。 • (ⅱ)若AB且BC，则AC。

3．集合的基数 • 表示集合中元素多少或度量集合大小的数，称作集合的基数或势。一个集合A的基数，记为|A|。 • 如果一个集合恰有m个不同的元素，且m是某个非负整数，称该集合是有限的或有穷的，否则称这个集合为无限的或无穷的。例如，在本书中常用有穷集有： • Nm={0,1,2,···,m-1}

本书中常见的无穷集合有： • N={0,1,2,3,···}，即自然数集合。 • Z={···,-2,-1,0,1,2,3,···}，即整数集合。 • Z+={1,2,3,···}，即正整数集合。 • Q=有理数集合。 • R=实数集合。 • C=复数集合。

4．集合的幂集 • 一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合，即是由这些子集所组成的集合族。 • 定义3.1.5设A为一集合，A的幂集是一集合族，记为P(A)， • P(A)={B|BA} • 由定义可知，P(A)，AP(A)。

5．文氏图 • 文氏(Venn)图是一种利用平面上的点构成的图形来形象展示集合的一种方法。全集U用一个矩形的内部表示，其他集合用矩形内的园面或一封闭曲线圈成的面积来表示。

如果AB，则表示A的圆面一般将完全落在表示B的圆面内，如图1中(a)。如果A与B没有公共元素，那么表示A的圆面将同表示B的圆面分开，如图3-1中(b)。当A和B是两个任意的集合时，可能会是：有些元素在A中但不在B中，有些元素在B中却不在A中，有些元素同时在A和B中，有些元素则既不在A中也不在B中，因此用图1中(c)表示任意两个集合A和B。如果AB，则表示A的圆面一般将完全落在表示B的圆面内，如图1中(a)。如果A与B没有公共元素，那么表示A的圆面将同表示B的圆面分开，如图3-1中(b)。当A和B是两个任意的集合时，可能会是：有些元素在A中但不在B中，有些元素在B中却不在A中，有些元素同时在A和B中，有些元素则既不在A中也不在B中，因此用图1中(c)表示任意两个集合A和B。

图 3-1

最后给出集合的形式定义结束本节。 • 定义3.1.6A为集合=(x)(xAA=)。 • 这里等号“=”表示定义为的意义，是表示“定义为”还是表示“一般相等”的意义，由上下文来区分。

3.2 集合运算及其性质 • 集合运算是指用已知的集合去生成新的集合。假设所有集合都是全集U的子集，即这些集合是利用子集公理得到的。下面依次介绍常见的集合运算。

1．并、交和差运算 • 定义3.2.1设A和B是任意两个集合， • ① A和B的并是集合，记为A∪B， • A∪B={x|xAxB} • ② A和B的交是集合，记为A∩B， • A∩B={x|xAxB} • ③ A和B的差，或B关于A的相对补是集合，记为A-B， • A-B={x|xAxB}

定义3.2.2若A和B是集合，且A∩B=，则称A和B是不相交的。定义3.2.2若A和B是集合，且A∩B=，则称A和B是不相交的。 • 如果C是个集合族，且C中任意两个不同元素都不相交，则称C中集合是两个不相交的，或称C是两两不相交的集合族。

定理3.2.1任给集合A，B和C，则： • ① A∪B=B∪A • ② A∩B=B∩A • ③ (A∪B)∪C=A∪(B∪C) • ④ (A∩B)∩C=A∩(B∩C) • 该定理表明，集合并和交运算满足交换律和结合律。

定理3.2.2任给集合A、B和C，则 • ① A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) • ② A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) • 该定理表明，集合运算并对交、交对并都是可分配的。

定理3.2.3 任给集合A，B，C和D，则 • ① 若AB，则A∪B=B，A∩B=A • ② 若AB和CD，则A∪CB∪D，A∩CB∩D

推论3.2.3 ①A∪U=U，②A∩U=A • 定理3.2.4任给集合A，B和C，则 • ① A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) • ② A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)

定义3.2.3设A是含有元素为集合的集合，或者集合族。定义3.2.3设A是含有元素为集合的集合，或者集合族。 • ① A的并是集合，记为∪A， • ∪A={x|(B)(BAxB)}= ∪B • ② A的交是集合，记为∩A， • ∩A={x|(B)(BAxB)}= ∩B BA B  A

定义3.2.4 集合A的补是集合，记为A’， • A’=U-A={x|xUxA} • ={x|xA} • 定理3.2.5 任给集合A，则 • ① A∪A’=U， • ② A∩A’=。

定理3.2.6 任给集合A和B，则 • B=A’ iff A∪B=U且 A∩B= • 该定理表明了①若A的补是B，则B的补是A，即A和B互补。②补的唯一性。 • 推论3.2.5 ①U’=，②’=U • 定理3.2.7 任给集合A，则A”=A。 • 该定理表明了，A的补的补是A。

定理3.2.8 任给集合A和B，则 • ① (A∪B)’=A’∩B’， • ② (A∩B)’=A’∪B’。 • 定义3.2.5 任给集合A和B，A和B的对称差是集合，记为AB， • AB =(A-B)∪(B-A) • ={x|(xAxB)(xBxA)}

定理3.2.9 任给集合A和B，则 • AB=(A∪B)∩(A’∪B’) • =(A∪B) - (A∩B) • 推论3.2.9 ① A’B’=AB • ② AB=BA • ③ AA=

2．集合代数与对偶原理 • 本小节将形式地讨论由集合、集合变元、集合运算和圆括号所构成的集合代数以及集合代数中的对偶原理。 • 与命题逻辑相似，对于给定集合实行集合运算，可以生成新的集合。同用大写英文字母表示确定集合一样，也用大写字母表示不确定的集合，前者称为集合常元，后者称为集合变元。集合变元用以集合常元代替后，才表示确定的集合。下面将给出集合的合式公式定义。

定义3.2.6 可按下列规则生成集合合式公式： • ① 单个集合变元是集合合式公式。 • ② 若A是集合合式公式，则A’也是集合合式公式。 • ③ 若A和B是集合合式公式，则(A∪B)，(A∩B)，(A-B)和(AB)也都是集合合式公式。 • ④ 只有有限次使用①、②和③构成的符号串才是集合合式公式。 • 为方便计，简称集合合式公式为公式。

定义3.2.7 用任意集合常元取代两个集合公式中的各个集合变元，若所得集合是相等的，则称该二集合公式是相等的，简称等式。 • 因为集合公式相等，不依赖于取代集合变元的集合，故常称这些等式为集合恒等式，或集合定律。它们刻划了集合运算的某些性质，这些性质描述一个代数，称为集合代数。下面列出常用集合定律：

（1）等幂律 A∪A=A • A∩A=A • （2）结合律 (A∪B)∪C=A∪(B∪C) (A∩B)∩C=A∩(B∩C) • （3）交换律 A∪B=B∪AA∩B=B∩A • （4）分配律 A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) • （5）幺律 A∪=A • A∩U=A

（6）零律 A∪U=UA∩= • （7）补律 A∪A’=UA∩A’= • （8）吸收律 A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A • （9）德·摩根律 (A∪B)’=A’∩B’ (A∩B)’=A’∪B’ • （10）对合律 (A’)’=A

下面介绍集合代数中的对偶原理，它与命题逻辑中对偶原理也很相似。下面介绍集合代数中的对偶原理，它与命题逻辑中对偶原理也很相似。 • 对偶原理设E是集合代数中等式，将E中的∪，∩，U和的每一个出现分别代以∩，∪，和U后得到一等式E*，称E*为E的对偶式。

显然，E也是E*的对偶式，即E与E*互为对偶。 • 如果E是一集合恒等式，则E*也是一集合恒等式。 • 可见，上述的集合定律中，凡成对的定律都是为对偶的。

3.3 集合的笛卡尔积与无序积 • 笛卡尔积与无序积在后面讨论关系和图论时，都有重要应用。 • 首先引入有序对和无序对的概念。 • 定义3.3.1 两个元素a,b组成二元组，若它们有次序之别，称为二元有序组，或有序对，记为<a, b>，称a为第一分量，b为第一分量；若它们无次序区分，称为二元无序组，或无序对, 记为(a, b)。 • 若ab时，<a, b><b, a>。但(a, b)=(b, a)。

定义3.3.2 给定两个有序对<x, y>和<u, v>。当且仅当x=u和y=v时，有序对<x, y>和<u, v>相等，亦即 • <x, y>=<u, v> iff (x=u)(y=v)

可将有序对推广到n元有序组，它的第一分量是(n-1)元有序组，并记为<<x1,x2,···,xn-1>,xn>，或记为<x1,x2,···,xn-1,xn>。类似地定义两个n元有序组相等：可将有序对推广到n元有序组，它的第一分量是(n-1)元有序组，并记为<<x1,x2,···,xn-1>,xn>，或记为<x1,x2,···,xn-1,xn>。类似地定义两个n元有序组相等： • <x1,x2,···,xn-1,xn>=<y1,y2,···,yn-1,yn> iff (x1=y1)(x2=y2)···(xn-1=yn-1)(xn=yn) • 下面将使用有序对和无序对分别定义笛卡儿积和无序积。

定义3.3.3 给定集合A和B，若有序对的第一分量是A的元素，第二分量是B的元素，所有这些有序对的集合，称为A和B的笛卡尔积，记为AB， • AB={<x,y>|xAyB}

定义3.3.4 给定集合A和B，若无序对是由A中元素和B中元素组成，所有这些无序对的集合，称为A和B的无序积，记为A&B。 • A&B={(x,y)|xAyB}

定理3.3.1 任给集合A，B和C，则 • ① A(B∪C)=(AB)∪(AC) • ② A(B∩C)=(AB)∩(AC) • ③ (A∪B)C=(AC)∪(BC) • ④ (A∩B)C=(AC)∩(BC)

第三章 集 合