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圖形論 Graph Theory

圖形論 Graph Theory. 有 種 完美 匹配。 沒有完美匹配， 有 種完美匹配。 錯置信封問題： 某人給 n 個人各寫了一封信，並準備了 n 個寫 好對應收件人地址的信封。一個一般人可能比較不會問的怪問題是：有多少種方法可以 把信紙 放到信封中，使得所有的信紙都放錯了？. 假設 是圖 的一個匹配， 且 是 中的 一條路徑。 如果所有指標 為偶 數 ( 或 所有指標為奇 數 ) 的 邊 都在 中，我們就 說 是一 條 - 交錯路徑 ( M -alternating path) 。

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圖形論 Graph Theory

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Presentation Transcript

  1. 圖形論Graph Theory

  2. 有種完美匹配。 • 沒有完美匹配，有種完美匹配。 • 錯置信封問題：某人給 n 個人各寫了一封信，並準備了 n 個寫好對應收件人地址的信封。一個一般人可能比較不會問的怪問題是：有多少種方法可以把信紙放到信封中，使得所有的信紙都放錯了？

  3. 假設是圖的一個匹配，且 是中的一條路徑。如果所有指標為偶數(或所有指標為奇數)的邊都在中，我們就說是一條-交錯路徑(M-alternating path)。 • 如果 k 是奇數，和都未被許配，而且所有偶數指標的都在中，則稱為一條 -可擴張路徑(M-augmenting path)

  4. 定理：設是圖的匹配，則是的最大匹配的充要條件為中沒有-可擴張路徑。定理：設是圖的匹配，則是的最大匹配的充要條件為中沒有-可擴張路徑。

  5. 我們以表示所有女生的集合，表示所有男生的集合，而如果和可以相配，就連一條邊以表示之，於是這樣構成了一個二分圖，其二部份即為跟。如此一來，本章開頭的前三個問題就相當於：我們以表示所有女生的集合，表示所有男生的集合，而如果和可以相配，就連一條邊以表示之，於是這樣構成了一個二分圖，其二部份即為跟。如此一來，本章開頭的前三個問題就相當於： 1. 是否有一個匹配許配了的每一點(我們稱這樣的匹配為-完美匹配)？ 2. 什麼條件下有-完美匹配？ 3. 的最大匹配有幾條邊？

  6. 定理（P. Hall，1935）：假設二分圖的二部份是和，則中有-完美匹配的充要條件是，對於任何都有（此條件稱為Hall’s condiction）。

  7. k-因圖（k-factor）： G 的一個 k-正則生成子圖

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