第十章 电磁感应 §10-1 电磁感应定律 §10-2 动生电动势与感生电动势 §10-3 电子感应加速器 涡电流 §10-4 自感应与互感应 §10-5 磁场能量

1. 第十章 电磁感应 §10-1 电磁感应定律 §10-2 动生电动势与感生电动势 §10-3 电子感应加速器 涡电流 §10-4 自感应与互感应 §10-5 磁场能量 磁悬浮列车 首 页 上 页 下 页 退 出

2. 前面所讨论的都是不随时间变化的稳恒场 我们现将研究随时间变化的磁场，电场，以进一步揭示电与磁的联系。

3. §10-1 电磁感应定律 10.1.1 法拉第电磁感应定律 1、电磁感应现象： 两种情况： 回路某一部分相对磁场运动或回路发生形变使回路中磁通量变化而产生电流 回路静止而磁场变化使回路中磁通量变化而产生电流

4. 2、法拉第电磁感应定律 (１）感应电动势的概念 ①从全电路欧姆定律出发——电路中有电流就必定有电动势，故感应电流应源于感应电动势。 ②从电磁感应本身来说：电磁感应直接激励的是感应电动势。 如何定量计算感应电动势的大小？

5. 不论何种原因使通过回路面积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势的大小与磁通量对时间的变化率成正比。即不论何种原因使通过回路面积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势的大小与磁通量对时间的变化率成正比。即 式中称作磁通匝链数，简称磁链。 (２）法拉第电磁感应定律 ①在SI制中 K=1 ②式中的负号是楞次定律的数学表示 ③若为N 匝线圈，则

6. 式中 是t1, t2时刻回路中的磁通。 (3）磁通计 如果闭合回路为纯电阻R 时，则回路中的感应电流为 那么t1～ t2时间内通过导线上任一截面的感应电量大小为

7. 上式说明，在一段时间内，通过导线截面的电量与这段时间内导线所围磁通的增量成正比。上式说明，在一段时间内，通过导线截面的电量与这段时间内导线所围磁通的增量成正比。 ＊：如果能测出导线中的感应电量，且回路中的电阻为已知时，那么由上面公式，即可算出回路所围面积内的磁通的变化量——磁通计就是根据这个原理设计的。

8. 10.1.2 楞次定律 １、定律内容： 　闭合回路中产生的感应电流的方向，总是使得这感应电流在回路中所产生的磁通去补偿（或反抗）引起感应电流的磁通的变化。 *：注意其“补偿”的是磁通的变化，而不是磁通本身。

9. N S N S 2、感应电流方向的判断 确定外磁场方向→分析磁通量的增减△m→运用“反抗磁通量的变化”判断感应电流磁场的方向→运用右手缧旋法则确定感应电流方向（即感应电动势方向）。 3、楞次定律是能量守恒定律在电磁感应现象上的具体体现。

10. 图10.3　矩形线圈中的 感应电动势 例10.2　一根无限长的直导线载有交流电流i＝I0sin ωt.旁边有一共面矩形线圈abcd，如图10.3所示.ab＝l1，bc＝l2，ab与直导线平行且相距为d.求：线圈中的感应电动势. 解　取矩形线圈沿顺时针abcda方向为回路正绕向，则

11. 所以，线圈中感应电动势 可见，ε也是随时间作周期性变化的，ε＞0表示矩形线圈中感应电动势沿顺时针方向，ε＜0表示它沿逆时针方向.

12. §10-2 动生电动势与感生电动势 感应电动势的非静电力实质？ 研究表明对应于磁通变化的两种方式，其产生电动势的非静电力的实质是不同的。

13. 一是磁场不变,回路的一部分相对磁场运动或回路面积发生变化致使回路中磁通量变化而产生的感应电动势，谓之动生电动势。 另一种情况是回路面积不变,因磁场变化使回路中磁通量变化而产生的感应电动势,谓之感生电动势。

14. 图10.4　动生电动势 10.2.1 动生电动势 动生电动势的产生，可以用洛仑兹力来解释.如图10.4所示，长为l的导体棒与导轨所构成的矩形回路abcd平放在纸面内，均匀磁场B垂直向里.当导体ab以速度v沿导轨向右滑动时，导体棒内的自由电子也以速度v随之向右运动.电子受到的洛仑兹力为 f的方向从b指向a.

15. 在洛仑兹力作用下，自由电子有向下的定向漂移运动.如果导轨是导体，在回路中将产生沿abcd方向的电流；如果导轨是绝缘体，则洛仑兹力将使自由电子在a端积累，使a端带负电而b端带正电.在ab棒上产生自上而下的静电场.静电场对电子的作用力从a指向b，与电子所受洛仑兹力方向相反.当静电力与洛仑兹力达到平衡时，ab间的电势差达到稳定值，b端电势比a端电势高. 由此可见，这段运动导体棒相当于一个电源，它的非静电力就是洛仑兹力.

16. 电动势定义为把单位正电荷从负极通过电源内部移到正极的过程中，非静电力做的功.在动生电动势的情形中，作用在单位正电荷上的非静电力Ek是洛仑兹力，即 所以，动生电动势

17. 一般而言，在任意的稳恒磁场中，一个任意形状的导线L(闭合的或不闭合的)在运动或发生形变时，各个线元dl的速度v的大小和方向都可能不同.这时，在整个线圈L中所产生的动生电动势为一般而言，在任意的稳恒磁场中，一个任意形状的导线L(闭合的或不闭合的)在运动或发生形变时，各个线元dl的速度v的大小和方向都可能不同.这时，在整个线圈L中所产生的动生电动势为 在运动导体中自由电子不但具有导体本身的运动速度v，而且还具有相对于导体的定向运动速度u，如图10.5所示.于是，自由电子所受到的总洛仑兹力为

18. 图10.5　洛仑兹力不做功 这个力F与合速度V＝u＋v的点乘为功率，即 所以，实际上F⊥V，即总洛仑兹力对电子不做功.

19. 然而，为使导体棒保持速度为v的匀速运动，必须施加外力f0以克服洛仑兹力的一个分力f′＝－eu×B.利用上式－f′·v＝f·u的结果可以看到，外力克服f′做功的功率为f0·v＝－f′·v＝f·u.这就是说，外力克服洛仑兹力的一个分量f′所做的功的功率f0·v等于通过洛仑兹力的另一个分量f对电子的定向运动做正功的功率f·u，从而外力做的功全部转化为感应电流的能量.然而，为使导体棒保持速度为v的匀速运动，必须施加外力f0以克服洛仑兹力的一个分力f′＝－eu×B.利用上式－f′·v＝f·u的结果可以看到，外力克服f′做功的功率为f0·v＝－f′·v＝f·u.这就是说，外力克服洛仑兹力的一个分量f′所做的功的功率f0·v等于通过洛仑兹力的另一个分量f对电子的定向运动做正功的功率f·u，从而外力做的功全部转化为感应电流的能量. 洛仑兹力起到了能量转化的传递作用，但前提是运动导体中必须有能自由移动的电荷.

20. 图10.7 解　在ab上取一线元dl，它与长直导线的距离为r，则该处磁场方向垂直向里，大小为.v×B的方向与dl方向之间夹角为 ，且 . 例10.4　电流为I的长直载流导线近旁有一与之共面的导体ab，长为l.设导体的a端与长导线相距为d，ab延长线与长导线的夹角为θ，如图10.7所示.导体ab以匀速度 v沿电流方向平移.试求ab上的感应电动势.

21. 因为εab＜0 所以　电动势方向从b指向a.当θ＝90°时

22. 10.2.2 感生电动势 麦克斯韦提出：变化的磁场在其周围空间激发一种新的电场，这种电场称为感生电场或涡旋电场，用Er表示. 涡旋电场与静电场的共同之处在于，它们都是一种客观存在的物质，它们对电荷都有作用力.涡旋电场与静电场的不同之处在于，涡旋电场不是由电荷激发，而是由变化的磁场激发的.

23. 它的电力线是闭合的，即 .涡旋电场不是保守场，而在回路中产生感生电动势的非静电力正是这一涡旋电场力，即 因为对l围成的面积S，磁通量 所以感生电动势可表示为

24. 这就是法拉第电磁感应定律的积分形式.负号表示Er与 构成左手螺旋关系，是楞次定律的数学表示. 当闭合回路l不动时，可以把对时间的微商和对曲面S的积分两个运算的顺序交换，得

25. 如果同时存在静电场Ee，则总电场E等于涡旋电场Er与静电场Ee之矢量和，并且有静电场环流定理如果同时存在静电场Ee，则总电场E等于涡旋电场Er与静电场Ee之矢量和，并且有静电场环流定理 ，所以不难得到，对总电场E＝Er＋Ee而言，有 这是麦克斯韦方程组的基本方程之一.

26. 例10.5　如图10.8所示，半径为R的圆柱形空间内分布有沿圆柱轴线方向的均匀磁场，磁场方向垂直纸面向里，其变化率为 .试求： (2)若 ，把长为L的导体ab放在圆柱截面上，则εab等于多少？ 图10.8 (1)圆柱形空间内、外涡旋电场Er的分布；

27. 解　(1)根据磁场分布的轴对称性可知，空间的涡旋电场的电力线应是围绕圆柱轴线且在圆柱截面上的一系列同心圆.过圆柱体内任一点P在截面上作半径为r的圆形回路l，并设l的回转方向与B的方向构成右手螺旋关系，即设图中沿l的顺时针切线方向为Er的正方向.由式(10.4)解　(1)根据磁场分布的轴对称性可知，空间的涡旋电场的电力线应是围绕圆柱轴线且在圆柱截面上的一系列同心圆.过圆柱体内任一点P在截面上作半径为r的圆形回路l，并设l的回转方向与B的方向构成右手螺旋关系，即设图中沿l的顺时针切线方向为Er的正方向.由式(10.4) 并考虑l上各点Er沿l方向且大小相等，可得

28. 当 时，Er＜0即沿逆时针方向；反之，Er＞0即沿顺时针方向. 由(1)结论知，在r＜R区域.当 时，Er为逆时针方向(见图10.8).所以 同理，在圆柱外一点(r＞R)，涡旋场Er为 (2)方法一：用电动势定义求解

29. 因为 ，所以εab＞0，即εab由a端指向b端. 所以 方法二：用法拉第电磁感应定律求解 作闭合回路OabO，回路内感应电动势 因为　εoa＝εbo＝0 结果与方法一相同.

30. *10.2.3 感应电动势的相对性 磁场不变(或不运动)由导体运动而产生的电动势为动生电动势；导体不动、由磁场变化(或运动)而产生的电动势称为感生电动势. 在确认是导体运动还是磁场运动(实际是产生磁场的“磁场源”的运动)时，与参考系的选择有关： • 如果参考系相对导体静止，由于“磁场源”的运动导致磁场变化激发出感生电场，则在导体中出现的电动势就是感生的；

31. 如果参考系相对“磁场源”静止，则运动导体中的电动势就是动生的.如果参考系相对“磁场源”静止，则运动导体中的电动势就是动生的. • 如果在所选的参考系中，导体和“磁场源”均在运动，则导体中的电动势就既有动生部分又有感生部分. 动生电动势并不变换为同值的感生电动势，感生电动势也并不变换为同值的动生电动势.只有参考系间的相对速度比光速小得多的情况才例外. 在某些情况下，动生电动势(感生电动势)并不能简单地归结为另一参考系中的感生电动势(动生电动势).

32. 环形真空室 电子束 B v 电子 v v 靶 电子枪 f §10-3 电子感应加速器 涡电流 10.3.1 电子感应加速器 1、构造： 圆形电磁铁，环型真空室。强大的交流电通过电磁铁线圈产生交变磁场和涡旋电场。

33. 2、电子加速原理： 交变磁场作用于电子的洛仑兹力作为电子圆周运动向心力；涡旋电场提供与电子速度方向相同的电场力使电子被加速。

34. 环形真空室 电子束 B v 电子 B v v 靶 电子枪 o t T f E感 电子得到加速的时间最长只是交流电流周期T的四分之一。

35. 从上图可以看出，只有时间 内才使洛仑兹力指向圆心且 与电子速度反向能给电子加速。所以，在 结束时应把电子引向靶。另外，为使电子的轨道半径保持稳定，应当使轨道处的磁感应强度等于圆周内磁感应强度平均值的二分之一。

36. 小型电子感应加速器可把电子加速到0.1～1MeV,用来产生x射线。 大型的加速器可使电子能量达数百MeV，即可把电子加速到0.99998c，百分之几秒时间内电子在加速器内的行程达几千米。用于科学研究。

37. 金属导体块 10.3.2 涡电流 １、涡电流 就会在导体块内形成自成回路的电流，这种电流就叫涡电流。 dB／dt＞0

38. 抽真空 ２、涡电流利用 ◎ 可用作一些特殊要求的热源 高频感应炉； 优点是加热速度快，温度均匀，材料不受污染且易于控制。

39. 在冶金工业中，熔化某些活泼的稀有金属时，在高温下容易氧化，将其放在真空环境中的坩埚中，坩埚外绕着通有交流电的线圈，对金属加热，防止氧化。在冶金工业中，熔化某些活泼的稀有金属时，在高温下容易氧化，将其放在真空环境中的坩埚中，坩埚外绕着通有交流电的线圈，对金属加热，防止氧化。 ◎ 利用涡流产生所谓临界电磁阻尼，在电工仪表中被广泛使用。

40. 抽真空 显像管 接高频发生器 ◎电子元件中的高纯真空； 在制造电子管、显像管或激光管时，在做好后要抽气封口，但管子里金属电极上吸附的气体不易很快放出，必须加热到高温才能放出而被抽走,利用涡电流加热的方法，一边加热，一边抽气，然后封口。

41. ３、涡电流的防止 涡电流的弊端是消耗能量，发散热量。 例如在各种电机，变压器中。就必须尽量减少铁芯中的涡流，以免过热而烧毁电气设备。 因此在制作变压器铁心时，用多片硅钢片叠合而成，使导体横截面减小，涡电流也较小。

42. 4、趋肤效应 在柱状导体中通以交流电时，在导体中产生的涡流使交流电在导体内的横截面中不再是均匀的，而是越靠近表面电流密度越大，这种交变电流集中于导体表面的效应，叫做趋肤效应。

43. I 设图中I 此时是增加的，因而B增加，于是涡电流的磁通阻碍Bi的增加。由图可知，此时是中心部分I涡与Ｉ反向，而表面部分I涡与I同向，这说明此时Ｉ不是均匀分布，而是趋肤（即趋于导体的表面）。 I

44. §10-4 自感应与互感应 对于感应电动势因磁通变化方式不同而致产生感应电动势的非静电力不同,分为 动生――洛仑兹力；感生――涡旋电场 磁通的变化方式还有自动和他动之分，与之对应有 自感电动势；互感电动势

45. 10.4.1 自感应 1、自感现象 通电线圈由于自身电流的变化而引起本线圈所围面积里磁通的变化，并在回路中激起感应电动势的现象，叫自感现象。

46. B I 2、自感系数 一个密绕的N匝线圈，每一匝可近似看成一条闭合曲线,线圈中电流激发的穿过每匝的磁通近似相等，叫自感磁通，记作Φ自 则通过N匝线圈的磁通为 式中称之为磁链

47. 设回路中电流为I，如果回路的几何形状及大小不变，且回路中又无铁磁物质，则实验表明穿过该回路的磁通设回路中电流为I，如果回路的几何形状及大小不变，且回路中又无铁磁物质，则实验表明穿过该回路的磁通 即 且实验表明L与 (1)L的引入 式中比例系数L叫做自感系数.

48. 对于铁磁质，除了与上述原因有关外，L 还与回路中的电流有关.就是说，L 基本上反映的是自感线圈自身性质的物理量。 （２)回路中的自感系数 等于回路中的电流为一个单位时，通过这个回路所围面积的磁通(磁通链) （３)在(SI)制中，L的单位 亨利(H)，1亨利=1韦伯/1安培

49. 自感电动势为 3、自感电动势的计算 当回路的几何形状和大小不变，匝数不变，回路中无铁磁质而其他磁介质均匀时，L为常数，则有

50. ３)上式还表明 ，自感系数表征了回路中的“电磁惯性”。 １)式中负号是楞次定律的数学表示式——自感电动势的方向总是阻碍回路电流的变化，即 ２)上式表明回路中自感电动势的大小与回路中电流的变化率成正比。