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三角形的內心

三角形的內心. ？. 什麼是「內心」呢. 三角形三內角的角平分線 ( 分角 線 ) 交點稱為「內心」。. 內心的性質. 畫一個 △ ABC ， 利用尺規作圖畫出各 內角的角平分線，這三條角平分線會相 交於一點，這一 點稱之為「內心」。. A. I. B. C. ∵ L 1 為 ∠ A 的角平分線 ∴ IE=IF. ∵ L 3 為 ∠ C 的角平分線 ∴ ID=IE. ∵ L 2 為 ∠ B 的角平分線 ∴ ID=IF. 因此 ID=IE=IF. A. L 3. F. L 2. E. I. C. B. D. L 1. 內心的性質.

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三角形的內心

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Presentation Transcript

  1. 三角形的內心 ？ 什麼是「內心」呢 三角形三內角的角平分線(分角 線)交點稱為「內心」。

  2. 內心的性質 畫一個△ABC，利用尺規作圖畫出各 內角的角平分線，這三條角平分線會相 交於一點，這一 點稱之為「內心」。 A I B C

  3. ∵ L1為∠A的角平分線 ∴IE=IF ∵ L3為∠C的角平分線 ∴ID=IE ∵ L2為∠B的角平分線 ∴ID=IF 因此 ID=IE=IF A L3 F L2 E I C B D L1 內心的性質 根據角平分線性質 三角形的內心到三邊的距離相等。

  4. 內心的位置 三角形外心的位置分為三種： 1. 銳角三角形外心在三角形內部。 2. 直角三角形外心在斜邊中點。 3. 對角三角形外心在三角形外部。 那三角形內心的位置也有不同嗎 ？ 現在馬上利用尺規作圖畫畫看， GO! 1. 銳角三角形 2. 直角三角形 3. 鈍角三角形 內心在三角形內部 內心在三角形內部 內心在三角形內部

  5. 內切圓 以三角形的內心為圓心，內心到邊的距離為半 徑畫一圓。 A F E I C B D 與三角形三邊均相切於一點的圓稱為此三角形的內切圓，圓心稱為此三角形的內心，而三角形稱為此圓的外切三角形。

  6. 例題1 角度的計算 ∵ I 為△ABC 內心 ∴ BI 為∠ABC 的角平分線 則∠1＝ ∠ABC ＝ 35 ° 解 同理，∠2＝ ∠ACB ＝20° 如圖，I 為△ABC 內心，且∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，試求∠BIC。 A I 1 B 2 ∠BIC ＝180°－∠1－∠2＝180°－35°－20° ＝125° C

  7. 例題2 角度的計算 解 如圖，△ABC 中，I 為內心，∠B＝50°，試求∠AIC。 A ∠B＝180°－∠BAC－∠BCA 50°＝180°－2∠1－2∠2 ∠1＋∠2＝65° 1 I ∠AIC ＝180°－（∠1＋∠2） ＝180°－65° ＝115° 2 B C

  8. 例題3 三角形的內心與面積 如圖，△ABC 中，I 為內切圓的圓心，△ABI 的面積為 24，△ACI 的面積為 15，△BCI 的面積為21 ，試求 AB： AC： BC。 解 AB： AC： BC ＝△ABI：△ACI：△BCI ＝ 24：15：21 ＝ 8：5：7 A 三個三角形的高相等(皆為半徑) I B C

  9. 例題4 內切圓半徑 設內切圓半徑為r，連接IA、IB 、IC ∵ I 為內心， ∴ I 到三邊的距離均為 r 解 84＝7r＋ r＋ r 如圖，I 為△ABC 內心，△ABC 的面積為 84，若 AC＝15，BC＝13， AB＝14，試求△ABC 的內切圓半徑。 C 15 △ABC＝△IAB＋△IBC＋△IAC 13 I 84 ＝ 21r r ＝ 4 B A 14 △ABC 的內切圓半徑為 4

  10. A △ABC中，AB=c，BC=a，AC=b， 內切圓半徑r，I為切圓的圓心， 連接IA、IB、IC， 則△IAB 、△IBC、 △IAC的底邊分別為c、a、b， 且高都是r。 c b I C B a 外切三角形面積 「外切三角形面積」與其周長及內切圓半徑 有特殊關係。 △ABC= △IAB+ △IBC+△ICA =cr/2+ar/2+br/2 =r/2(a+b+c) 外切三角形的面積=內切圓半徑與三角形周長之乘積的一半。

  11. 例題5 三角形內心的應用 如圖，等腰三角形ABC 中，底邊 BC＝12，面積為 48，試求內切圓半徑。 如圖，作 AM⊥ BC，則 BM＝BC＝6 得 解 又 △ABC＝ ．32．內切圓半徑＝ 48 ∴△ABC的周長＝10＋10＋12＝32 內切圓半徑＝3

  12. 直角△ABC中，∠C=90°， 內切圓O切三邊於D、E、F三點，令r為其半徑。 因為AD、AF為過圓外一點的切線長，所以AD=AF， 同理BD=BE，CE=CF。 因為E、F為切點，所以OE=OF=r A D O F 故AC+BC=(AF+CF)+(BE+CE) =(AF+BE)+(CF+CE) =(AD+BD)+2r =AB+2r C B E 直角三角形的兩股和 接著探討直角三角形的兩股、斜邊與內切圓 半徑的關係。 直角三角形的兩股和=斜邊長+內切圓半徑的兩倍。

  13. 例題6 直角三角形的內切圓 △ABC 中，∠A＝90°，AB＝5，AC＝12， 試求△ABC 的內切圓半徑。 AB＋AC ＝BC＋2r 解 設內切圓半徑為 r 5＋12＝13＋2r r＝2 故內切圓半徑＝2

  14. 例題7 直角三角形的內切圓 ∵ 圓A 與圓B 外切， ∴ AB ＝2＋4＝6 同理，AC ＝2＋6＝8 同理，BC ＝4＋6＝10 ∵AB 2＋AC 2＝62＋82＝102＝BC 2 ∴△ABC 為直角三角形，且∠BAC＝90° 解 設內切圓半徑為 r AB ＋AC ＝BC＋2r 6＋8＝10＋2r r＝2 如圖，圓 A、圓 B、圓 C 兩兩外切，若圓 A、圓 B、圓 C 的半徑分別為 2、4、6，試求△ABC 的內切圓半徑。 故內切圓半徑＝2

  15. 例題8 角平分線分割對邊比 如圖，△ABC 中，AD 為∠BAC 的角平分線，AD 交對邊於D 點，試證 AB：AC ＝BD：DC。 1. 過 D 點作 DE⊥AB，DF⊥AC。 2.∵ AD 為∠BAC 的角平分線， 解 ∴ DE ＝ DF。 又△ABD：△ACD＝BD：DC，（同高） ∴ AB：AC＝ BD：DC。 A E F 3. △ABD：△ACD B C D 角平分線分割對邊比。

  16. 例題9 角平分線分割對邊比的應用 (1) △ABI：△ACI＝AB： AC＝8：6＝4：3 (2) BD：DC＝AB：AC＝4：3 解 如圖，△ABC 中，I 為內心，AB＝8，AC ＝6，BC＝9， 試求：(1)△ABI：△ACI。 (2) BD。 A I B C D

  17. 例題10 角平分線分割對邊比之乘積 ∴ AD 平分∠BAC， ……(1) ……(2) 同理， 解 ……(3) 三式相乘得 故 如圖，I 為△ABC 的內心，試證 。 ∵ I 為△ABC 的內心 A F E I B C D

  18. 重點回顧 三角形三內角的角平分線(分角線)交點稱為「內心」。 1. 三角形的內心到三邊的距離相等。 2. 三角形的內心恆在三角形的內部。 3. 與三角形三邊均相切於一點的圓稱為此三角形的內切圓，圓心稱為此三角形的內心，而三角形稱為此圓的外切三角形。 4. 知道外切三角形面積=內切圓半徑與三角形周長之乘積的一半。 5. 6. 直角三角形的兩股和=斜邊長+內切圓半徑的兩倍。 角平分線分割對邊比。 7.

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