概率的簡單概念

1. 概率的簡單概念

2. 究竟概率是甚麼?

3. 概率論 概率論是一門研究隨機現象規律的數學分支。其起源於十七世紀中葉，當時在誤差、人口統計、人壽保險等範籌中，需要整理和研究大量的隨機數據資料，這就孕育出一種專門研究大量隨機現象的規律性的數學，但當時刺激數學家們首先思考概率論的問題，卻是來自賭博者的問題。

4. 概率上升/下降，事件發生的機會上升/下降。 概率是表示一個事件（Event）發生的機會或可能性的量。 我們可用事件的相對頻數作為其概率：

5. 在日常生活中，我們常常會遇到一些涉及可能性或發生機會等概念的事件。一個事件的可能性或一個事件的發生機會是與數學有關的。例如：『從一班40名學生中隨意選出一人，這人會是男生嗎？』在日常生活中，我們常常會遇到一些涉及可能性或發生機會等概念的事件。一個事件的可能性或一個事件的發生機會是與數學有關的。例如：『從一班40名學生中隨意選出一人，這人會是男生嗎？』 事實上，人們問「……可能會發生嗎？」時，他們是在關注這個事件發生的機會。在數學上，事件發生的機會可以用一個數來表示。我們稱該數為概率。

6. 業餘數學家之王─費馬 費馬 (Pierre de Fermat,1601-1665) 是一位律師，在工餘時卻喜愛鑽研數學，除了博覽數學典籍外，他還與同期的數學家如笛卡兒 (1596-1650)、帕斯卡 (Blaise Pascal, 1623-1662) 等交往，討論數學問題。他在數論、解析幾何、概率論等方面都有貢獻，被譽為「業餘數學家之王」。

7. 賭博的學問 概率的學問很大程度是由研究賭博而來的。有一次，費馬和帕斯卡在巴黎的咖啡店討論一個數學問題：「兩個具有同等技術的人在玩遊戲，每勝一局可得一分，誰先得到所指定分數就是勝利者。若遊戲突然中斷，賭本應如何分配呢？」

8. 合理分配賭注問題： 概率論的科學起源 他們親身嘗試玩這個遊戲，並商議好以擲錢幣來定勝負。如果擲得「正面向上」，則費馬得一分；反之，則帕斯卡得一分。誰先得到 10 分便勝出。他們每人拿出 50 法郎，作為賭本。怎料，當費馬拿了 8 分而帕斯卡拿了 7 分時，費馬接到一個緊急的消息，說友人病倒了。他立刻動身探望友人，而遊戲也中斷了。

9. 事後，費馬寫信給帕斯卡，討論賭本應如何分配。他認為自己只要再取2分而帕斯卡則要再取 3 分，才能勝出。換言之，只要再擲 4 次，遊戲必定會結束。

10. 費馬於是把所有的情況羅列出來： HHHH HHHT HHTH HHTT HTHH HTHT HTTHHTTT THHH THHT THTH THTT TTHHTTHT TTTH TTTT 其中H代表擲得「正面向上」，而T則代表擲得「正面向下」。

11. 以上 16 個結果都是等可能的。在其中11種情況下（紅色部分），費馬會勝出，而在其餘 5 種情況下（藍色部分），帕斯卡會勝出。所以，賭本的分 配方法應是費馬得，帕斯卡得。 帕斯卡同意費馬的計算方法，並把費馬應得的 68.75 法郎送回給他。

12. 生活裡不可少的 參考網址http://cal.hkcampus/~cal-ltw/cointosses.htm 概率 Probability

13. 來一個小熱身吧!

14. 考考你 在這裡輸李太太有四個女， 現在她的BB將會出生， 她生仔的機會率是?入文字 1/2

15. 再次考考你 當擲毫時、 得到字的概率是? 1/2

16. 繼續考考你 擲骰子、 得到6字的概率是? 1/6

17. 概率的意義 明天的天氣情況會怎樣呢？ 在某情況中，每個可能出現的結果，稱為一個事件（Event）。 所以，晴天、 陰天、雨天， 都是一個事件。

18. 曼聯、阿仙奴兩隊球隊進行比賽，比賽結果會有多少個可能的事件？曼聯、阿仙奴兩隊球隊進行比賽，比賽結果會有多少個可能的事件？ 曼聯獲勝 兩隊賽和 曼聯落敗 概率的意義 ----- 事件 共有 3 個事件！

19. 投擲一粒均質的骰子，會 有多少個可能的事件？ 概率的意義-----事件 還有其他可能的事件嗎？

20. 事件 E出現的頻數 事件 E的概率 = 所有結果的總數 概率的意義 若要估計某事件出現的機會有多大，其中 一個辦法就是計算出事件的概率。 在數學上來說，用一個量來表示一個事件發生的機會或可能性，這個量稱為概率（或稱為或然率、機會率） 事件發生 的機會 概率

21. 理論概率 Theoretical probability 投擲一枚硬幣，會有 2種可能的結果： 公 字 1 所以，擲得「公」的數目 = 1 P（公）= 2 1 同樣，擲得「字」的數目 = 1 P（字）= 2

22. P（必然事件）= 1 理論概率 如果某事件必定發生，稱為必然事件，其概率為 1。 例如：投擲一粒骰子，擲得偶數或奇數的概率是多少？ 因為骰子上的點數有偶數和奇數兩種 所以事件「擲得偶數或奇數」是必定發生的。 所以，P（擲得偶數或奇數） = 1

23. P（不可能事件）= 0 理論概率 若某事件必定不發生，稱為不可能事件，其概率為 0。 例如：投擲一粒骰子，擲得數字「7」的概率是多少？ 因為骰子上各面的點數都不會是「7」 ？ ？ ？ ？ 所以事件「擲得數字 7」是必定不會發生的。 P（擲得數字 7） = 0

24. 0≦ P（E）≦1 理論概率 對於任何事件 E，概率都在 0 和1之間。 符合某事件的結果 數目不可能多於所有 可能的結果，所以 P（E）≦ 1。 符合某事件的結果 數目不可能少於0， 所以0 ≦ P（E）。 理論上，事件的概率愈大， 　　　　符合它的可能結果便愈多， 　　　　發生的機會就愈大。

25. 頻數的總和 概率（例題） 以下是各品牌的運動鞋在某運動用品店的售賣情況。下一個顧客買品牌 A 運動鞋的概率是多少？ 下一個顧客買品牌 A運動鞋的概率

26. (a)抽到字母「l」的概率是多少？ (b)抽到字母「e」的概率是多少？ l 英文字中「l」的數目 e (c)抽到字母「p」的概率是多少？ p 共有 9 個英文字母 理論概率（例題） 從「pineapple」這英文字中隨機抽出一個英文字母。

27. 乘搭巴士上學的相對頻數 = 「乘搭巴士上學」這事件出現的頻數 頻數的總和 5 11 5 11 = 所以，他明天乘搭巴士上學的概率是 。 概率的意義 10 右面是越陽上月上學時乘搭交通工具的統計圖。 6 + 10 + 4 + 2 = 22 6 他明天乘搭巴士上學的概率是多少？ 4 2 乘搭巴士上學的概率 10 = = 22

28. 九月 1.靄儀任意選取一張鈔票要明哲猜猜鈔票上號碼的個位數字， 明哲為了收窄範圍，因此他先猜測該數字是： (a) 偶數； (b) 可以被 5 整除； (c) 可以被 10 整除。 試求以上各種情況中明哲猜中的概率。 2. 附圖為某年九月份的月曆，其中紅色代表 公眾假期。如果只知道該月份其中一天會 有一場流星雨，試分別求流星雨是在下列 日子發生的概率。 (a) 黑色星期五； (b) 公眾假期； (c) 星期一； (d) 平日 (非周日及周未)。

29. 現實生活中，為什麼往往不能得出預期的結果?現實生活中，為什麼往往不能得出預期的結果? 理論與實際有出入 實驗概率

30. 實驗概率和理論概率 概 率 實驗概率 理論概率

31. 實驗的結果符合事件 E的次數 事件 E的實驗概率 = 實驗的總數 0≦事件 E的實驗概率≦1 實驗概率 Experimental Probability 透過實驗而得出事件 E的概率，稱為實驗概率。 注意! 實驗的結果符合事件E 的次數，最大是等於實 驗的總數，所以事件E 的實驗概率 ≦ 1。 實驗的結果符合事件E 的次數，最小是0，所以 0≦事件E 的實驗概率。

32. 「品質不佳」的箱數 實驗概率（例題） 水果店檢查買入的 50 箱蘋果，得到以下結果。 如果一箱蘋果有 4 個或以上的壞蘋果便為品質不佳，問某箱蘋果是品質不佳的實驗概率是多少？ 某箱蘋果是品質不佳的實驗概率

33. 字 公 擲得「字」的次數 擲得「公」的次數 投擲的總次數 投擲的總次數 實驗概率 一枚硬幣有兩面： 嘉慧投擲一枚硬幣 100 次，得到以下結果。 擲得「公」的次數53 擲得「字」的次數47 擲得「公」的實驗概率 擲得「字」的實驗概率 = = 47 53 = = 100 100

34. 擲毫10次

35. 擲毫100次

36. 擲毫1000次

37. 電腦模擬 投擲一枚 硬幣 40 次 正面 反面 雙擊右表，進入試算表，〔有時須再雙擊儲存格A1（即「次數」）〕，然後按一下外邊以離開試算表，再啟動簡報之播映功能。

38. 符合事件 E的結果數目 P(E) = 可能結果的總數 ~ ~ 理論概率 實驗概率 理論概率 如果所有可能結果出現的機會均等，可把某事件 E的 理論概率 P(E) 定義為： 對於大量實驗來說，

39. 投擲三粒骰子點數相同的概率 投擲兩枚硬幣得一個「公」字的概率 計算較複雜的概率問題 計算較複雜事件的概率，可利用列表或繪畫樹形圖的方法，列舉某事情的所有可能出現的結果。 例：

40. 對於計算較複雜事件的概率，我們可以利用列表對於計算較複雜事件的概率，我們可以利用列表 或繪畫樹形圖的方法，列舉某個將要發生的事情 的所有可能出現的結果。 列出所有可能結果 而以下類型的題目，便可以用列表或繪畫樹形圖來解決。 投擲兩粒骰子，求擲得點數之和等於 9 的概率。 投擲三枚硬幣，求擲得三個「公」的概率。

41. 1 2 擲兩枚硬幣，求擲得一個「公」和一個「字」的概率。 樹 形 圖 方法一： 第一枚硬幣 字 公 第二枚硬幣 公 公 字 字 共有4種可能的結果 字 字 公 公 可能的結果 字 公 字 公 其中「一公一字」的有 2個 2 所以，P（一個「公」和一個「字」）= = 4

42. 字 字 字 公 公 公 公 字 1 2 列出所有可能結果 投擲兩枚硬幣，求擲得一個「公」一個「字」的概率。 我們可以用以下的方法列出所有可能的結果。 第二枚硬幣可 能出現的結果 列 表 方法二： 字 公 第一枚硬幣可 能出現的結果 字 4 共有 種可能的結果 公 其中「一公一字」的有 2個 2 所以，P（一個「公」一個「字」）= = 4

43. 如果以 R、Y及 B分別代 • 表這三個顏色球，試完成下 • 表。 第二個球 R Y B RY R RB  第一個球 YR  YB Y  B BR BY 可能結果的總數是____。 一個袋裡有三個球，顏色分別是紅、黃和藍。現由袋中隨意抽取兩個球。 • (b) 求下列事件的概率。 • 抽出的球是一紅一藍。 • (ii) 至少一個球是紅色。 合適結果的數目= 2 P(一紅一藍) = 合適結果的數目= 4 P(至少一個紅色) = 6

44. 第一個球 第二個球 可能的結果 紅2 紅1紅2 紅1 紅1黃 黃 紅2紅1 紅1 紅2 紅2黃 黃 紅1 黃紅1 黃 黃紅2 紅2 較複雜事件的概率（樹形圖） 袋子裏有 2 個紅球和 1 個黃球，從袋子隨機抽出兩個球，用樹形圖列出所有可能的結果。

45. YYY Y Y YYN N Y YNY Y N N YNN Y NYY Y NYN N N NNY Y N N NNN 有一個心理測驗，共有三條是非題。如果以 Y代表「是」，N代表「非」的答案。 1. 試用樹形圖列出所有可能的結果。 第一個選擇 第二個選擇 第三個選擇 結果

46. 所有可能結果 YYY YYN YNY YNN NYY NYN NNY NNN 根據前頁樹形圖的結果，回答以下問題。 2. 求可能結果的總數。 8 3. 求下列事件的概率。 (a) 心理測驗三題的選擇都是「是」(3Y)。 合適結果的數目= 1 (b) 心理測驗三題的選擇是「2 是 1 非」(2Y 和 1N)。 合適結果的數目 = 3 (c) 心理測驗三題的選擇至少有一個是「是」(Y)。 合適結果的數目= 7

47. 進一步的概率計算和應用 涉及幾何圖形的概率問題，可用以下的方法求出事件的概率。 問題１：右邊是一張正方形卡紙。如果用 　一枝針隨機在紙上釘一點，這點　　 　位於綠色部分的概率是多少？ 解答： 由於正方形內有無限個點，因此我們無法列舉所有可能被選出的點 由於是隨機選出一點，因此可假設該點位於任何一個平方單位的機會均等

48. 符合「這點位於綠色部分」的結果數目 = 可能結果的總數 綠色部分的面積 = 整張卡紙的面積 進一步的概率計算和應用 解答： P（選出的一點位於綠色部分） 所求的概率等於綠色部分和整張卡紙的面積的比 1 = 4

49. 2r 兩個圓形的面積 = 長方形的面積 4r 2 2  r = 2r 4r  = 4 進一步的概率計算和應用 問題２：(a) 如果在右邊的圖形內隨機用筆點一 點，求這點位於圓形內的概。 (b)如果在這圖形內隨機用筆點出 200 點，求位於圓形內點數目的期望 值。 　　　　　（取答案準確至小數點後 1 個位） 解答：２(a) P（選出的一點位於圓形內） 所求的概率等於兩個圓形和長方形的面積的比

50. 2r  = 200 4 4r 進一步的概率計算和應用 (b) 解答： 位於圓形內點的數目的期望值 = P（選出的一點位於圓形內）200 = 50 = 157.1（準確至小數點後 1 個位）