第五章定积分

第五章定积分 §5.1 定积分的概念 §5.2 微积分基本定理 §5.3 定积分的计算 §5.4 无限区间上的广义积分 §5.5 定积分的应用

一、引例 1．曲边梯形的面积在平面直角坐标系中，由连续曲线与直线和轴所围成的平面图形，称为曲边图形（图5-1）． §5.1 定积分的概念那么如何求其面积呢? 显然不能简单的用梯形面积公式来求了.应按以下三个步骤来求: 图5-1

(1)区间分割： 用分点将区间分成个小区间其中第个小区间的长度为过每一个分点分别作轴的垂线，于是将曲边梯形分成了个小曲边梯形 (如图5-1), 其面积分别记为，则整个曲边梯形的面积为图5-1 图5-1 (2) 近似代替

在每个小区间上任取一点 以为底，为高做小矩形(如图5—2)，其面积为当很小时，则所求曲边梯形面积的近似值为： (3)极限逼近：当区间无限细分,即分点数无限增大,每个小区间无限减小，且趋于零时，的极限就是图5-2

曲边梯形面积的精确值，即 2.由总产量的变化率求总产量设总产量的变化率是时间的函数,即　求在生产连续进行时，在时间段内的总产量．当总产量的变化率随时间变化时，可仿照计算曲边梯形面积的思路和方法求总产量．（1）分割：用分点将区间分为个小区间其中第个小区间的长度为此时总产量分成了个部分产量的和．用表示第

个小区间 上的总产量，则有（2）近似求和：任取，以为时间段上的变化率，则上的总产量可用来表示 ,它们的和就是所求总产量的近似值，即（3）取极限：当各个小区间中最大的时间区间长度时和的极限就是总产量的精确值，即

定义5.1 设函数在区间 上有界，用点把区间分为个小区间：　各个小区间的长度为在每个小区间　　　上任取一点　　　　　　作函数值　与小区间长度　的乘积并作和式 ,也称为积分和，当时，中最大者时，的极限存在, 且极限值与区间的划分方法及点的取法无关，则称函数在区间上可积，称此极限值为函数在区间上的定积分,记作二、定积分的概念

即其中称为被积函数，称为积分区间；称为积分下限，称为积分上限，称为积分变量，称为被积表达式．注1:定积分是一个确定的常数．它只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量字母的选取无关．即注2:定积分的定义中，总是假设 ,如果规定　　　　．

特别,当时,有 注3: 如果在区间上可积，则在区间上有界，即函数有界是其可积的必要条件．若在区间上恒有则定积分在几何上就等于曲边梯形的面积,即有若在区间上恒有 ,则定积分等于曲边梯形的面积的负值,即有注4: 定积分在几何上的意义

性质１　　　　　　　　　　　　．　性质２　性质３这一性质表明,定积分对于积分区间是具有可加性的．不论　　　　，还是　　　　, 这一性质均成立．性质4 如果被积函数　,则　　　　性质5 如果在积分区间　　上,恒有则三、定积分的性质　　　　　

性质6 设及分别是函数在区间 上的最大值和最小值，则性质7(积分中值定理) 如果函数在区间　　上连续，则在区间内至少存在一点 ,使得例１比较与的大小解因为在区间内，，所以

*例2 比较与的大小解又因为是增函数，所以较大．例3 估计定积分的值．解先求被积函数在积分区间上的最小值和最大值，因为令，得驻点

比较函数 在驻点和区间端点出的函数值：可知在区间上的最大值和最小值分别为：即 *例4利用积分中值定理证明证明：由积分中值定理知，存在一点，使得所以

定积分　　　　的值依赖上限　，因此这个定积定积分　　　　的值依赖上限　，因此这个定积分　　　　是上限　的一个函数，称它为变上限定积分．记作 §5.2 微积分基本定理一、变上限定积分　　设函数　　在区间　　上连续，若仅考虑定积分，则它是一个定数．若固定下限，让上限在区间　　　上变动，即取　为区间　　　上的任意一点，由于　　在　　　上连续，因而在　　　上也连续,所以　　在　　　上也可积.

　　定理5.1如果函数　　在区间　　上连续，则　　定理5.1如果函数　　在区间　　上连续，则积分上限函数　　在　　上可导，且　　的导数等于被积函数在积分上限　处的值，即证令自变量在处取得增量，则取得增量因此

例1设 解因为所以例2 设，由方程确定，求解方程两端对求导，即即所以

例3求 解这是一个型未定式，利用洛必达法则，有

二、微积分基本定理 定理5.2设函数在区间上连续，是的一个原函数，则 (5.2.2) 公式(5.2.2)称为牛顿——莱布尼兹公式，该定理称为微积分基本定理．证是函数的一个原函数,上限函数也是的一个原函数，因此，于是因此令，得令，得于是

即注意: 常常记 ,于是有例4 求解

例5设 求解令所以

由例4、例5可以看出，当被积函数为分段函数或含绝对值符号时， 应利用定积分的可加性把积分区间分为若干个子区间，或者在不同的区间上被积函数的表达式不相同时，把它拆分几个定积分之和,使每个定积分都满足使用牛顿——莱布尼兹公式计算的条件．

§5.3 定积分的计算 一、定积分的换元积分法定理5.3设函数在区间上连续，如果函数满足下列条件：（1）在区间有连续的导函数；（2）在区间上单调,且则有证因为在区间上连续，所以在上可积,设是在上的原函数，由牛顿——莱布尼兹公式得

又在 上连续，因而在区间上可积，其原函数为，这是因为因此于是

例1 计算 解设则当时，；当时，于是该题还可以用凑微分法解

例2计算 例3 计算且解设则当时，；当时，于是

解设 ,则， 且于是当时，；当时，

例4 设在区间上连续， （1）若是偶函数,则；（2）若是奇函数,则解由定积分的可加性，得将上式右边第一个积分用换元法，令则且当时，；当时，；则得于是,当是偶函数时,即时

故有当是奇函数时,即时故有例5 解

二、定积分的分部积分法 设函数与在区间上有连续导函数，，则在上式两端取区间上的定积分，得有

移项得 公式（5.3.2）称为定积分的分部积分公式．例6 计算解

例7 计算 解先换元，再利用分部积分法，设则当时，；当时，

于是

§5.4 无限区间上的广义积分 定义5.2设函数在无限区间上连续,极限称为函数在无限区间上的广义积分，记作如果上述极限存在，称广义积分收敛, 如果上述极限不存在,就称广义积分发散

类似地，可定义函数在和 上的广义积分：例1计算广义积分解

例2计算广义积分 解

例3讨论广义积分 的敛散性．解当时，

综上，　　　收敛；　　发散． 例4 判别广义积分是否收敛．解因为所以是被积函数的无穷间断点，即被积函数在处无界．由于

所以，这个广义积分收敛于

§5.5定积分的应用 一、平面图形的面积由曲线和直线及所围成的曲边梯形(如图5-3)的面积为：图5-3 当时,由曲线轴与直线，所围成的平面图形(如图5-4)的面积为图5-4

图5-5 当在上有正有负时，由曲线轴及直线围成的平面图形(如图5—5)的面积为：由曲线，及直线所围平面图形的面积 (如图5—6):

图5—8 图5—6 图5—7 其图形见图5-7和图5-8所示此时,公式仍然成立.

类似可得：由连续曲线 与直线所围成的平面图形的面积(如图5—8)为：图5—8 例1 求由曲线与直线所围成的平面图形的面积．解如图5—9，先确定两条曲线交点的坐标，

图5—9 例2 求由曲线，与直线所围成的平面图形的面积．解方程组，得交点则所求面积为：

图5—10 例3 求曲线和之间界于所围成的平面图形的面积．解如图5—10,曲线与直线的交点为所求面积为：解如图5—11，所求面积为：

图5-11 二、旋转体的体积由曲线 ,直线和及轴所围成的曲边梯形，绕轴旋转一周而成的几何体就是一个旋转体(图5—14).

取为积分变量，其变化区间为，在 上任取一点处垂直于轴的截面是半径为的圆,因而其截面面积为图5—14 于是得曲边梯形绕轴旋转一周所成的立体的体积为：类似可得，由连续曲线 ,直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体的体积为：

例5 计算由椭圆所围成的图形绕 轴旋转而成的旋转体的体积．解该旋转体可看作是由上半椭圆及轴所围成的图形绕轴旋转而成(图5—15)，于是，其体积为：图5—15

例6 求由曲线，，绕 轴旋转而得的体积．解如图(5—16)，由 , 得则图5—16

三、经济应用问题举例 已知边际经济量的变化率，求总量函数或总量函数在某个范围内的值时，可应用定积分计算．例7 设某产品在时刻总产量的变化率　　　千克/小时．求从　　到　　这两小时的总产量. 解　设总产量为　　　，由已知条件知总产量　　　是　的一个原函数，所以有

例８　假设当鱼塘中有　千克鱼时，每千克鱼的捕捞成本是　　　元,已知鱼塘中现有鱼　　　　千克，问从鱼塘中再捕捞　　　千克需花费多少成本？解　设已知捕捞了　千克鱼，此时鱼塘中有千克鱼，再捕捞　　千克鱼的成本为：所以，捕捞　　千克鱼的成本为：

第五章 定 积 分