§ 8 ． 3 全微分及其应用

1. §8．3全微分及其应用 一、全微分的定义 偏增量与偏微分、全增量 全微分的定义、 可微与连续 可微的必要条件、可微的充分条件 叠加原理 二* 、全微分在近似计算中的应用

2. 一、全微分的定义 偏增量与偏微分： f (xx，y)f(x，y)fx(x，y)x 函数对x的偏增量 函数对x的偏微分； f (x，yy)f(x，y)fy(x，y)y 函数对y的偏增量 函数对y的偏微分； 全增量： zf (xx，yy)f(x，y)称为函数在点P对于自变量增量 x、 y的全增量．

3. ， 全微分的定义： 如果函数zf(x，y)在点(x，y)的全增量 z f (xx，yy)f(x，y) 可表示为 zAxByo(r)， 其中A、B不依赖于x、y而仅与x、y有关， 则称函数zf(x，y)在点(x，y)可微分，而称AxBy为函数 zf(x，y)在点(x，y)的全微分，记作dx，即 dz AxBy． 如果函数在区域D内各点处都可微分，那么称这函数在D内 可微分．

4. 可微与连续： 可微必连续，但偏导数存在不一定连续．

5. 偏导数 、 必定存在， dz x y． dz x y． 上式两边各除以x，再令x0而取极限，就得 =A． 同理 =B． 定理1(必要条件): 如果函数zf(x，y)在点(x，y)可微分，则该函数在点(x，y)的 且函数zf(x，y)在点(x，y)的全微分为 证 设函数zf(x，y)在点P(x，y)可微分． 于是，对于点P的某 个邻域内的任意一点P (xx，yy)，有zAxByo(r)． 特别当y0时有 f (xx，y)f(x，y) Axo(|x|)． 所以

6. 偏导数 、 必定存在， 如果函数zf(x，y)的偏导数 、 在点(x，y)连续， dz x y． 定理1(必要条件): 如果函数zf(x，y)在点(x，y)可微分，则该函数在点(x，y)的 且函数zf(x，y)在点(x，y)的全微分为 偏导数存在是可微分的必要条件，但不是充分条件 ． 定理2(充分条件): 则函数在该点可微分． 定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数．

7. dz dx dy． du dx dy dz． 叠加原理： 若令xdx，ydy，则 二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元 函数的微分符合叠加原理． 叠加原理也适用于二元以上的函数，例如函数uf (x，y，z) 的全微分为

8. 二* 、全微分在近似计算中的应用 当二元函数zf (x，y) 在点P (x，y) 的两个偏导数fx (x，y) ， fy(x，y) 连续，并且|x|，|y|都较小时，有近似等式 zdz fx (x，y)xfy(x，y)y， 即 f (xx，yy) f(x，y) fx (x，y)xfy(x，y)y． 我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算．

9. 例4有一圆柱体，受压后发生形变，它的半径由20cm增大例4有一圆柱体，受压后发生形变，它的半径由20cm增大 到20．05cm，高度由100cu减少到99cm．求此圆柱体体积变化的 近似值． 解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V，则有 Vr 2h． 已知r20，h100，r0．05，h1．根据近似公式，有 VVrrVhh2rhrr 2h 2201000．05202(1)200 (cm3)． 即此圆柱体在受压后体积约减少了200 cm3．

10. 例5计算(1．04)2．02的近似值． 解 设函数f (x，y)xy．显然，要计算的值就是函数在 x1．04，y2．02时的函数值f(1．04，2．02)． 取x1，y2，x0．04，y0．02．由于 f (xx，yy) f(x，y) fx (x，y)xfy(x，y)y xyyxy1xxyln xy， 所以 (1．04)2．02 12  21210．0412ln 10．021．08．