实例 1 炮弹的弹着点的位置 ( X , Y ) 就是一个二维随机变量 .

1. 第三节 二维随机变量 实例1炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就是一个二维随机变量. 实例2考查某一地 区学前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H和体重 W 就构成二维随机变量 ( H, W ). 说明 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X、Y有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.

2. 一、 二维随机变量的联合分布函数 定义：设(X, Y)是二维随机变量，(x, y)R2, 则称 F(x,y)=P{Xx, Yy} 为(X, Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。 几何意义:分布函数F( )表示随机点(X,Y)落在区域 中的概率。如图阴影部分：

3. 分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。 事实上，对n维随机变量(X1, X2, … , Xn)， F(x1, x2, … , xn)＝P(X1 x1, X2 x2, … , Xn xn) 称为的n维随机变量(X1, X2, … , Xn)的分布函数， 或随机变量X1, X2, … , Xn的联合分布函数。 n维随机变量的联合分布函数 本节以二维随机变量为主进行研究。

4. 对于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1<x2， y1<y2 ),则 P{x1<Xx2， y1<yy2 } ＝F(x2, y2)－F(x1, y2)+F (x1, y1) －F (x2, y1). (x1, y2) (x2, y2) (x1, y1) (x2, y1)

5. 分布函数F(x, y)具有如下性质：(p46) (1)归一性 对任意(x, y) R2 , 0 F(x, y)  1, 且

6. (2)单调不减 对任意y R, 当x1<x2时， F(x1, y)  F(x2 , y)； 对任意x R, 当y1<y2时， F(x, y1)  F(x , y2). (3)右连续对任意xR, yR,

7. 随机点(X,Y)落在矩形域 的概率为: （3·1） (4)矩形不等式 对于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1<x2， y1<y2 ), F(x2, y2)－F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋F (x1, y1)0. 反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x, y)都 可以作为某个二维随机变量(X, Y)的分布函数。 结论

8. 例3.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为 1)求常数A，B，C。 2)求P{0<X<2,0<Y<3} 解:

9. 一）二维离散型随机变量及其联合分布律 若二维随机变量(X, Y)只能取至多可列个值(xi, yj), (i, j＝1, 2, … ),则称(X, Y)为二维离散型随机变量。 若二维离散型随机变量(X, Y) 取 (xi, yj)的概率为pij,则称 P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ,(i, j＝1, 2, … )为二维离散型随机变量(X, Y)的分布律，或随机变量X与Y的联合分布律.可记为 (X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … ).

10. 二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下: X Y y1 y2 … yj … p11p12 ...P1j ... p21p22 ...P2j ... pi1pi2 ...Pij ... x1 x2 xi ... ... ... ... ... ... ... ... 联合分布律的性质 (1) pij0 , i, j＝1, 2, …； (2)

11. 例4.袋中有两只红球,三只白球,现不放回摸球二次, 令 ,求(X,Y)的分布律。 Y 1 0 X 1 0

12. 例5 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2,从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X, Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 ,求 ( X, Y ) 的分布律. 解 ( X, Y ) 的可能取值为

13. 故 ( X , Y ) 的分布律为

14. 二）二维连续型随机变量及其密度函数 1、定义对于二维随机变量(X, Y)，若存在一个非负可积函数f (x, y)，使对(x, y)R2，其分布函数 则称(X,Y)为二维连续型随机变量,f(x,y)为(X,Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密度函数，可记为 (X, Y)～ f (x, y)， (x, y)R2

15. 2、联合密度f(x, y)的性质 (1)非负性： f (x, y)0, (x, y)R2; (2)归一性： 反之，具有以上两个性质的二元函数f(x,y)，必是某个二维连续型随机变量的密度函数。 此外，f (x, y)还有下述性质 (3)若f (x, y)在(x, y)R2处连续，则有

16. (4)对于任意平面区域G R2, EX 设 求:P{X>Y} G

17. 例8. 设 求：(1)常数A；(2) F(1,1)； (3) (X, Y)落在三角形区域D：x0, y0, 2x+3y6 内的概率。 解 (1)由归一性

18. (3) (X, Y)落在三角形区域D：x0, y0, 2X+3y6 内的概率。 解

19. 例9

20. 解

21. (2) 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标, 即有

22. 三） 两个常用的二维连续型分布1. 二维均匀分布 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为 则称(X, Y)在区域D上(内) 服从均匀分布。 易见，若(X,Y)在区域D上(内) 服从均匀分布,对D内任意区域G,有

23. 2. 二维正态分布N(1, 2, 1, 2, ) 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为(P53) 其中，1、2为实数，1>0、2>0、|  |<1，则称(X, Y) 服从参数为1, 2, 1, 2, 的 二维正态分布，可记为

24. 二维正态分布的图形

25. 二、 二维随机变量的边缘分布1. 边缘分布函数

26. FY(y)＝F (+, y)＝ ＝P{Yy} 称为二维随机变量(X, Y)关于Y的边缘分布函数. FX(x)＝F (x, +)＝ ＝P{Xx} 称为二维随机变量(X, Y)关于X的边缘分布函数； 边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些)低维分量的分布。

27. 例1.已知(X,Y)的分布函数为 求FX(x)与FY(y)。

28. P{Y＝ yj}＝p.j＝ ，j＝1, 2, … 则称 P{X＝xi}＝pi.＝ ，i＝1, 2, … 2. 边缘分布律 若随机变量X与Y的联合分布律为 (X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，i, j＝1, 2, … 为(X, Y)关于X的边缘分布律； 为(X, Y)关于Y的边缘分布律。 边缘分布律自然也满足分布律的性质。

29. 例2.已知(X,Y)的分布律为 x\y 1 0 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 求X、Y的边缘分布律。 解： X\Y 1 0 pi. 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 p.j 2/5 3/5 2/5 3/5 故关于X和Y的分布律分别为： X 1 0 Y 1 0 P 2/5 3/5 P 2/5 3/5

30. 3. 边缘密度函数 设(X, Y)～f (x, y), (x, y)R2, 则称 为(X, Y)关于X的边缘密度函数； 同理，称 为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。 易知N(1, 2, 12, 22, )的边缘密度函数fX(x)是N(1, 12)的密度函数，而fX(x)是N(2, 22)的密度函数，故二维正态分布的边缘分布也是正态分布。

31. 例3.设(X,Y)的概率密度为 （1）求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度 解:(1)由归一性

32. 三、二维随机变量的条件分布 问题

33. 1. 离散型随机变量的条件分布律 设随机变量X与Y的联合分布律为 (X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )， X和Y的边缘分布律分别为

34. 若对固定的j, p.j>0, 则称 为Y＝ yj的条件下，X的条件分布律; 同理，对固定的i, pi.>0, 称 为X＝ xi的条件下，Y的条件分布律;

35. 例1 在一汽车工厂中,一辆汽车有两道工序是由机器人完成的，其一是紧固3只螺栓，其二是焊接2处焊点,以X表示由机器人紧固的螺栓紧固得不良的数目,以Y表示由机器人焊接的不良焊点的数目.据积累的资料知(X,Y)具有分布律（见下）,求：1）在X=1的条件下，Y的条件分布律；2）在Y=0的条件下，X的条件分布律。

36. 类似可得，若对于固定的 ，则称 设二维随机变量的联合密度为 ，且关于Y的边缘密度为 ,若对于固定的，则称 2. 连续型随机变量的条件概率密度 在Y=y条件下X的条件概率密度 . 在X=x条件下Y的条件概率密度 .

37. 则称(X,Y)在G上服从均匀分布,现设二维随机变量(X,Y)在圆域 上服从均匀分布,求条件概率密度 边缘分布 条件分布 联合分布 说明 联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下 联合分布 例3 设G是平面上的有界区域，其面积为A。若二维随机变量(X,Y)具有概率密度

38. 四、 随机变量的相互独立性 1.定义1 称随机变量X与Y独立，如果对任意实数a<b,c<d，有 p{a<Xb,c<Yd}=p{a<Xb}p{c<Yd} 即事件{a<Xb}与事件{c<Yd}独立，则称随机变量X与Y独立。 定理1：随机变量X与Y独立的充分必要条件是(p90) F(x,y)=FX(x)FY(y)

39. 定理3.42 设(X,Y)是二维连续型随机变量，X与Y独立的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y) 定理3. 设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为Pi,j=P{X=xi,Y=yj},i,j=1,2,...，则X与Y独立的充分必要条件是对任意i,j，Pi,j=Pi.Pj 。 由上述定理可知，要判断两个随机变量X与Y的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对(X,Y)的每一对可能取值点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可。

40. 解 例1

41. (1)由分布律的性质知

42. 特别有 又 (2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有 结论:二维正态随机变量(X,Y)的X和Y相互独立的充要条件是参数 见P53

43. EX：判断例1、例2、例3中的X与Y是否相互独立 例2.已知随机变量(X,Y)的分布律为 且知X与Y独立，求a、b的值。 例3.甲乙约定8:009:00在某地会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最多等待15分钟过时不候。求两人能见面的概率。

44. 2．n维随机变量的边缘分布与独立性 定义. 设n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数为F(x1,x2,...xn), (X1,X2,...Xn)的k（1k<n)维边缘分布函数就随之确定，如关于(X1,X2）的边缘分布函数是 FX1,X2（x1,x2,)=F(x1,x2,,...) 若Xk 的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,…,n, 则称X1,X2,...Xn相互独立，或称(X1,X2,...Xn)是独立的。

45. 对于离散型随机变量的情形，若对任意整数 i1, i2, …, in及实数 有 则称离散型随机变量X1, X2, …, Xn相互独立。 设X1，X2，…，Xn为n 个连续型随机变量，若对任意的(x1, x2, …, xn)Rn， f (x1, x2, …, xn)＝fX1(x1)fX2(x2)…fXn(xn) 几乎处处成立，则称X1，X2，…，Xn相互独立。

46. 定义 设n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数为FX(x1,x2,...xn);m维随机变量(Y1,Y2,…Ym)的分布函数为FY(y1,y2,…ym), X1,X2,...Xn ,Y1,Y2,…Ym组成的n+m维随机变量（X1,X2,...Xn ,Y1,Y2,…Ym)的分布函数为F(x1,...xn, y1,…,ym).如果 F（x1,x2,...xn, y1,y2,…ym).= FX(x1,x2,...xn) FY(y1,y2,…ym) 则称n维随机变量(X1,X2,...Xn)与m维随机变量(Y1,Y2,…Ym)独立。 定理4 设(X1,,X2, …, Xn )与(Y1, Y2,…， Ym )相互独立，则Xi (i=1, 2, …, n))与Yi (i=1, 2, …, m)相互独立;又若h, g是连续函数，则h(X1,,X2, …, Xn)与g(Y1, Y2,…， Ym )相互独立.

47. 二维随机变量边缘分布 边缘分布律 边缘概率密度 边缘分布函数 独立性