telproblemen overzichtelijk weergeven n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Telproblemen overzichtelijk weergeven PowerPoint Presentation
Download Presentation
Telproblemen overzichtelijk weergeven

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 44

Telproblemen overzichtelijk weergeven - PowerPoint PPT Presentation


  • 90 Views
  • Uploaded on

Telproblemen overzichtelijk weergeven. boomdiagram wegendiagram rooster maken alle mogelijkheden systematisch uit schrijven. 1.1. Boomdiagram. Bij een Boomdiagram schrijf je systematisch op welke mogelijkheden er zijn bij het uitvoeren van een ´ experiment ´.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Telproblemen overzichtelijk weergeven' - miranda-gardner


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
telproblemen overzichtelijk weergeven
Telproblemen overzichtelijk weergeven

boomdiagram

wegendiagram

rooster maken

alle mogelijkheden systematisch uit schrijven

1.1

boomdiagram
Boomdiagram

Bij een Boomdiagram schrijf je systematisch op welke mogelijkheden er zijn bij het uitvoeren van een ´experiment´.

We voeren het volgende experiment uit:

Het bestellen van een menu.

Een restaurant heeft 3 verschillende voorgerechten, 5 hoofdgerechten en 3 desserts.

Hoeveel verschillende menu’s kun je samenstellen?

Dit gaan we schematisch uitschrijven in een boomdiagram.

het boomdiagram
Het boomdiagram

Vb. aan de hand van het menu

Wat kies je eerst?

Uit 3 voorgerechten

Welke keuzes heb je?

Wat kies je vervolgens?

Welke keuzes heb je nu?

Uit 5 hoofdgerechten

Wat kies je nu?

Uit 3 nagerechten

In totaal zijn er 45 verschillende menu’s te bestellen.

Dit kun je uitrekenen door alle takken te tellen of de vertakkingen te vermenigvuldigen

hoe maak je een boomdiagram
Hoe maak je een boomdiagram ?

1 zoek uit hoeveel takken er bij de eerste keuze horen, deze takken vertrekken uit het beginpunt

2 zet de keuzemogelijkheden langs de takken

3 zet de volgorde achter de laatste takken

Tip :

Als je weet hoeveel takken er na de laatste keuze zijn zet dan dat aantal stippen eerst op papier en teken vervolgens terug. Dit i.v.m. de netheid.

1.1

slide5

voorbeeld:Tenniswedstrijd 2 gewonnen sets

1e set

2e set

3e set

N-N

N wint

N wint

N-G-N

N wint

G wint

N-G-G

N-G-G

G wint

geef aan hoe G in 3 sets wint

N wint

G-N-N

N wint

G wint

G-N-G

G-N-G

G wint

G wint

G-G

1.1

wegendiagram
Wegendiagram

Een boomdiagram kan erg groot en onoverzichtelijk worden. Dan kun je beter gebruik maken van een wegendiagram.

We kijken weer naar het restaurant.

Dit kunnen we ook als volgt weer geven:

Tweede keus

Derde keus

Eerste keus

Aantal keuzes

Aantal keuzes

Aantal keuzes

3

x

5

x

3

= 45

wegendiagram1
Wegendiagram

kip

soep

ham

ijs

pizza

cocktail

meloen

schnitzel

2 mogelijkheden

4 mogelijkheden

2 mogelijkheden

vermenigvuldigingsregel

x

2

x

4

2

=

16

1.1

de vermenigvuldigingsregel
De vermenigvuldigingsregel

een gecombineerde handeling die bestaat uit

1 handeling I die op p manieren kan worden uitgevoerd

2 en handeling II die op q manieren kan worden uitgevoerd

3 en handeling III die op r manieren kan worden uitgevoerd

kan op p x q x r manieren worden uitgevoerd

1.1

rooster maken
Rooster maken

je gooit met een rode en een groene dobbelsteen

tel de ogen bij elkaar op, maak hiervan een rooster

som

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

11

6

7

8

9

10

11

12

1.1

systematisch de mogelijkheden noteren
Systematisch de mogelijkheden noteren

Er zijn 4 mogelijkheden om bij een worp met vier dobbelstenen in totaal 5 te gooien.

1112

1121

1211

2111

1.1

slide11

halve competitie

je speelt maar 1x tegen elkaar

bv. hoeveel wedstrijden spelen 4 teams

4 x 3 : 2 = 6 wedstrijden

hele competitie

je speelt 2x tegen elkaar

bv. hoeveel wedstrijden spelen 4 teams

4 x 3 = 12 wedstrijden

je speelt niet tegen jezelf

A

B

C

D

A

B

C

D

A

X

A-B

A-C

A-D

A

X

A-B

A-C

A-D

B

X

X

B-C

B-D

B

B-A

X

B-C

B-D

C

X

X

X

C-D

C

C-A

C-B

X

C-D

D

X

X

X

X

D

D-A

D-B

D-C

X

6 wedstrijden

12 wedstrijden

1.1

de vermenigvuldigingsregel of de somregel
De vermenigvuldigingsregel of de somregel

kan handeling I op p manieren en handeling II op q manieren,

dan kan :

1 handeling I EN handeling II op p x q manieren

2 handeling I OF handeling II op p + q manieren

1.1

herhaling
Herhaling

het is bij telproblemen belangrijk je af te vragen of herhalingen zijn toegestaan

zonder herhaling

bijvoorbeeld bij een bestuur kiezen

met herhaling

het aantal mogelijke nummerborden

1.2

slide14

Zonder herhaling

Uit 5 personen wordt er eerst een voorzitter gekozen en dan een secretaris.

Het aantal manieren is

aantal = 5 × 4 = 20

eerst de voorzitter: keuze uit 5 personen

dan de secretaris: keuze uit 4 personen

1.2

met herhaling
Met herhaling

In Nederland zijn er nummerborden met 2 cijfers – 2 letters – 2 letters, hierbij zijn de klinkers A, E, I, O en U niet toegestaan.

Het aantal mogelijke nummerborden is

aantal = 10 × 10 × 21 × 21 × 21 × 21 = 19.448.100

10 cijfers voor de eerste plaats

10 cijfers voor de tweede plaats

26 – 5 = 21 letters voor de derde plaats

26 – 5 = 21 letters voor de vierde plaats

enz.

1.2

tellen met en zonder terugleggen
Tellen met en zonder terugleggen

Een cijfer slot openen op de gok is een gebeurtenis waarbij je te maken hebt met een gebeurtenis met teruglegging. Voor elke ring heb je immers telkens 10 cijfers die je mag gebruiken ( Je telt met terug legging )

Hoeveel cijfer “combinaties” zijn er bij een cijferslot die uit drie ringen bestaat?

Dat zijn er maar 10 x 10 x 10 = 103 = 1000

Hoe zit dat met de pin-code van je bankpas?

Hoeveel mensen hebben er eigenlijk een pin-pas? ! ? ! ?

opgave 24
opgave 24

a

    • aantal = 225 = 33.554.432
  • b aantal velletjes = 225 : 100 ≈ 335.544
  • 1 velletje = 0,1 mm.
  • 100 velletjes = 1 cm.
  • dus stapel ≈ 335.544 : 100 ≈ 3355 cm. ≈ 34 m.
  • c aantal = 29 = 512
opgave 25
opgave 25

15 meisjes en 12 jongens  27 leerlingen

3 leerlingen  1 (muziek) + 1 (drank) + 1 (hapjes)

a één meisje voor de muziek  15

verder komt het er niet op aan  26 x 25

aantal = 15 x 26 x 25 = 9750

b één meisje voor de muziek  15

2 jongens voor de drank+hapjes  12 x 11

aantal = 15 x 12 x 11 = 1980

c m m j - m j m - j m j - j j m

15x14x12 + 15x12x14 + 12x15x11 + 12x11x15

aantal = 9000

opgave 26
opgave 26

3j + 4m  3(psy) + 2(eco) + 1(wis) + 1(fra)  totaal = 7 studenten

a eerst de 4 meisjes dan de 3 jongens

meisjes  4 × 3 × 2 × 1

jongens  3 × 2 × 1

aantal = 4 × 3 × 2 × 1 × 3 × 2 × 1 = 144

b jongens en meisjes om en om het gesprek

m j m j m j m

4 × 3 × 3 × 2 × 2 × 1 × 1

aantal = 144

c eerst de student Frans  1

de rest maakt niet uit  6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

aantal = 1 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720

d de 2 studenten economie het laatst zijn  2 × 1

de rest maakt niet uit  5 × 4 × 3 × 2 × 1

aantal = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 2 × 1 = 240

e eerste en laatste student psychologie  3 × 1 OF

eerste en laatste student economie  2 × 1

aantal = 3 × 2 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1+ 2 × 1 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 960

opgave 29
opgave 29

een code bestaat uit een rijtje van

5 vierkantjes die gevuld zijn met één

van de tekens  of  of 

a 5 vierkantjes en ieder vierkantje kan 3 symbolen hebben

aantal = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35 = 243

b aantal = 1 x 3 x 3 x 3 x 3 = 34 = 81

c aantal = 3 x 2 x 2 x 2 x 2 = 48

d voor het andere vierkantje zijn nog 2 mogelijkheden

dit andere vierkantje kan op 5 plaatsen voorkomen

aantal = 5 x 2 = 10

1.2

permutaties en faculteiten
Permutaties en faculteiten

een ander woord voor rangschikking is permutatie

bij een permutatie mogen geen herhalingen optreden

het aantal permutaties van 3 uit 8, dus het aantal rangschikkingen

van drie dingen die je uit 8 kiest, is 8 x 7 x 6

het aantal permutaties van 4 uit 9 is

9 x 8 x 7 x 6

het aantal permutaties van 9 uit 9 is

9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

de notatie voor dit product is 9!

spreek uit : 9 faculteit

kortweg : het aantal permutaties van 9 dingen is 9!

het aantal permutaties van n dingen, dus het aantal

rangschikkingen van n dingen is n!

n ! = n x (n -1) x (n -2) x (n -3) x …… x 4 x 3 x 2 x 1

1.3

opgave 33
opgave 33

Elke van de 5 personen die de kamer met acht stoelen binnen komt neemt ergens plaats.

Hoeveel mogelijkheden zijn er?

Vraag je niet af hoeveel personen er plaats kunnen nemen op de eerste stoel

Maar vraag je af welk stoelnummer kan je aan de eerste persoon koppelen?

8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6720

opgave 36
opgave 36

een volleybalteam bestaat uit 9 spelers

a de fotograaf zet de spelers op een rij, hoeveel rijen zijn er?

aantal = 9! = 362 880

b er wordt een aanvoerder en een reserve-aanvoerder gekozen

aantal = 9 × 8 = 72

c shirts met de rugnummers 1 tot en met 6

aantal =9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 9 nPr 6 = 60 480

9 – MATH – PRB – nPr - ENTER – 6 of

9 – MATH – PRB – 2 – 6

opgave 38
opgave 38

a 6! op hoeveel manieren zijn de letters te rangschikken zonder herhaling van letters?.

b 6 × 5 × 4 Hoeveel codes zijn er te maken met drie verschillende letters?

c 64 hoeveel codes zijn er te maken met 4 letters?

d 63 hoeveel codes zijn er te maken met 3 letters?

Een bedrijf gebruikt codes met de letters a,b,c,d,e en f.

Bedenk een vraag waarop het antwoord luidt:

slide25

Permutaties van n dingen waarvan er p gelijk zijn

het aantal permutaties van n dingen waarvan er p gelijk zijn

(en de rest verschillend is) is

zo kun je de letters van het woord ADRIANA op = 840

manieren rangschikken

n!p!

7!

3!

Nogmaals opgave 33

Vijf personen op acht stoelen is ook te lezen als acht naamplaatjes op acht stoelen waarvan drie naamplaatjes niet beschreven zijn .

8!

3!

= 6720

n!p!

= n nPr (n-p)

1.3

permutaties en combinaties

Uit een groep van 7 mensen kies ik een bestuur met een voorzitter, penningmeester en secretaris. Hoeveel verschillende besturen kunnen er samengesteld worden?

Permutaties en Combinaties

Stel jezelf weer de volgende vraag:

Uit hoeveel mensen kun je kiezen als voorzitter?

7

6

5

Uit hoeveel mensen kun je nu kiezen als penningmeester en hoeveel als secretaris ?

Je hebt nu 7 x 6 x 5 = 210 verschillende permutaties.

Het maakt bij een permutatie uit wie er op welke plaats staat.

combinaties

Bij het kiezen van een groep van drie mensen uit zeven krijg ik ik 210 permutaties.

Combinaties

Op hoeveel manieren kan ik drie mensen neer zetten? Dit zijn 3 x 2 x 1 = 6 manieren.

ABC BAC CAB

ACB BCA CBA

Van de 210 verschillende permutaties zijn er nu elke keer 6 permutaties van dezelfde 3 mensen.

Als de plaats van een gekozen persoon of ding er niet toe doet moeten de verschillende permutaties van eenzelfde groepje niet meerdere keren meegeteld worden.

Er zijn dan maar 210 / 6 = 35 verschillende combinaties

Bij een combinatie is de volgorde van de gekozen permutaties onbelangrijk

combinaties1
Combinaties

is bij het kiezen van 4 dingen uit 7 dingen de volgorde niet van belang, dan spreken we van het aantal combinaties van 4 uit 7

het aantal combinaties van 4 uit 7 noteren we als

spreek uit : 7 boven 4

het aantal combinaties van 4 uit 7, dus het aantal manieren om 4 dingen te kiezen uit 7 dingen zonder op de volgorde te letten, is

7 4

7 4

7 – MATH – PRB – nCr - ENTER – 4 of

7 – MATH – PRB – 3 – 4

1.3

schema
Schema

op hoeveel manieren

kun je 5 dingen

kiezen uit 8 dingen

volgorde van belang ?

nee

aantal = ‘8 boven 5’

ja

herhaling toegestaan ?

nee ja

aantal = 8x7x6x5x4 aantal = 8x8x8x8x8

Combinaties

Permutaties

Mogelijkheden

1.3

herhaling of toch anders

Handig tellen en de rekenformules van de combinatoriek is belangrijk voor volgende hoofdstukken. Het volgende schema kan hier handig bij zijn

Herhaling toegestaan

Herhaling niet toegestaan

Herhaling of toch anders ?!?

Volgorde wel van belang

nPr

Volgorde niet van belang

nCr

slide33

Permutatie (volgorde) :Een eerder gekozen element n mag niet weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen k elementen maakt wel uit.

  • Herhalings permutatie : Een eerder gekozen element n mag wel weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen elementen k maakt wel uit.
  • Combinatie (groepje) :Een eerder gekozen element mag niet weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen elementen k maakt niet uit.
  • Herhalingscombinatie:Een eerder gekozen element mag wel weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen elementen k maakt niet uit.
voorbeelden

Pin code

  • Afspelen van 9 nummers van een CD
  • Toto voor een competitie met 13 wedstrijden
  • Voorzitter,secretaris en penningmeester van vereniging bestaande uit 28 leden
  • Groepsvertegenwoordiging van 3 uit 28
  • Bestellen opnemen van een ober van 3 mensen met een keuze uit 4 dranken
  • Gironummers bestaande uit 8 cijfers die niet met een nul mogen beginnen
  • Scoreverloop van een voetbalwedstrijd met eind uitslag 4-6
  • Meerkeuze(4) toets bestaande uit 15 vragen
  • Verdeling van de kaarten bij klaverjassen
  • 4 rings’combinatieslot ‘ ?!?

Voorbeelden

opgave 50
opgave 50

a 3 groottes en 4 bodems en 2 vleessoorten en 3 groentesoorten

aantal = 3 x 4 x x = 2520

b medium en 4 bodems en (2vleessoort of 3vleessoort of 4vleessoort)

aantal = 1 x 4 x + + = 44

c 3 groottes en 4 bodems en (4groent of 5groent of 6groent of 7groent)

aantal = 3 x 4 x + + + = 768

4 2

7 3

4 3

4 4

4 2

7 4

7 5

7 6

7 7

opgave 51
opgave 51

per uur 60 artikelen van de lopende band

bij de eindcontrole een steekproef van 4 exemplaren

a hoeveel steekproeven zijn er elke keer mogelijk?

aantal = = 487.635

b 6 defecte dus 54 geen defecte exemplaren

aantal = = 316.251

c 2 defecte en 2 geen defecte of 3 defecte en 1 geen defect of 4 defecte exemplaren

aantal = x + x + = 22.560

60 4

54 4

54 2

6 2

6 3

54 1

6 4

het aantal rijtjes bestaande uit a s en b s
Het aantal rijtjes bestaande uit A’s en B’s

dus er zijn = = 330 manieren

er zijn twee manieren om het eerste hokje te vullen en er zijn twee manieren

om het volgende hokje te vullen, enzovoort

totaal zijn er 2 x 2 x 2 x …… x 2 = 211 = 2048 manieren

het totale aantal rijtjes van 11 hokjes met in elk hokje een A of een B is 211

het totale aantal rijtjes bestaande uit 4 A’s en 7 B’s vind je als volgt :

114

117

1.4

opgave 56
opgave 56

verlichting met 19 lampjes die onafhankelijk van elkaar voortdurend aan en uit gaan

v.b.

a aantal = 219 = 524.288

b 5 van de 19 lampjes branden

aantal = = 11.628

c minder dan 3 lampjes  0 of 1 of 2 lampjes branden

aantal = + + = 191

d in ieder geval het 1e , middelste en het laatste lampje brandt

voor de 16 overige lampjes zijn er steeds 2 mogelijkheden : aan of uit

aantal = 216 = 65.536

195

19 0

191

192

opgave 57
opgave 57

een bedrijf voorziet zijn artikelen van een code door in een rijtje van 6 vierkantjes er 2 zwart te maken

v.b.

a 2 van de 6 vierkantjes zijn zwart

aantal = = 15

b eerste en het laatste vierkantje zwart

aantal = 1

c de code verander niet bij

of

of

dus bij 3 rijtjes

6 2

routes in een rooster
Routes in een rooster

hoeveel routes zonder omwegen zijn er mogelijk van A naar C via B

van A naar B heb je te maken met een rijtje bestaande 1 N en 2 O’s

dat zijn = 3 mogelijkheden

van B naar C heb je te maken met een rijtje bestaande uit 2 N’s en 3 O’s

dat zijn = 5 mogelijkheden

het totale aantal manieren om van A via B naar C te gaan is dus

x = 3 x 5 = 15

C

 Noord

B

3 1

A

 Oost

5 2

3 1

5 2

van A naar B

EN

van B naar C

dus

vermenigvuldigen

1.4

algemeen
Algemeen

het aantal routes zonder omwegen van A naar B in het rooster hiernaast

is

afspraak

in deze paragraaf bedoelen we met routes in een rooster altijd routes zonder omwegen, we zetten dat er meestal niet bij

B

8 3

A

1.4

opgave 63
opgave 63

a bij een voetbalwedstrijd is de eindstand 2 – 4

geef het scoreverloop in een rooster aan

b aantal = = 15

c aantal = = 56

d ruststand 3 – 1  eindstand 5 - 4

4

3

6 2

2

8 3

1

0

2

1

(5,4)

(3,1)

5 3

4 1

aantal = x = 4 x 10 = 40

(0,0)

onvolledige roosters
Onvolledige roosters.

Bij onvolledige roosters zal er bij elk kruispunt het aantal mogelijkheden om er te komen.

Je kunt het niet berekenen met

n r

64

184

8

28

64

120

8

20

36

56

8

12

16

20

4

1

2

3

4

4

4

4

4

1

1

0

1

de driehoek van pascal
De driehoek van Pascal

in de driehoek van Pascal is elk getal gelijk aan de som van de twee getallen die er schuin boven staan

elk getal in de driehoek geeft het aantal routes om vanuit de top op die plaats te komen

in de 4e rij van de driehoek van Pascal staan de getallen

de som van de getallen in de vierde rij is 24

4 0

4 1

4 2

4 3

4 4

, , , en

1 = 20

rij 0

1

rij 1

1

1

2 = 21

rij 2

4 = 22

1

2

1

rij 3

1

3

3

1

8 = 23

rij 4

1

4

6

4

1

16 = 24

1.4