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第三章 静 定 梁

第三章 静 定 梁. 本章提要. 本章主要介绍了单跨静定梁和多跨静定梁的内力分析计算及内力图的绘制方法。通过本章的学习，主要应掌握： 　　（ 1 ） 梁的内力及其正负号规定； 　　（ 2 ） 单跨静定梁内力计算及内力图绘制方法 ； 　　（ 3 ） 多跨静定梁的内力分析计算 。. 本 章 内 容. 3.1 单跨静定梁的内力计算； 3.2 斜梁的内力计算； 3.3 多跨静定梁的内力计算。. 3.1 单跨静定梁的内力计算. 静定梁包括单跨静定梁（简支梁、悬臂梁、外伸梁） 和多跨静定梁，分别见图 1(a) 、 (b) 、 (c) 和 (d) 所示。

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  1. 第三章 静 定 梁 本章提要 本章主要介绍了单跨静定梁和多跨静定梁的内力分析计算及内力图的绘制方法。通过本章的学习，主要应掌握： 　　（1） 梁的内力及其正负号规定； 　　（2） 单跨静定梁内力计算及内力图绘制方法； 　　（3） 多跨静定梁的内力分析计算。

  2. 本 章 内 容 3.1 单跨静定梁的内力计算； 3.2 斜梁的内力计算； 3.3 多跨静定梁的内力计算。

  3. 3.1 单跨静定梁的内力计算 静定梁包括单跨静定梁（简支梁、悬臂梁、外伸梁） 和多跨静定梁，分别见图1(a)、(b)、(c)和(d)所示。 静定梁的受力分析是其它杆系结构受力分析的基础，因此掌握静定梁受力分析的基本方法，将有助于进一步结合几何组成分析去研究其它杆系结构的内力计算。 

  4. 3.1.1 粱内截面上的内力及正负号规定 　　由材料力学可知，在一般荷载作用下，梁内任一截面上通常有三种内力，即轴力N、剪力Q和弯矩M。 内力的正负号规定： 轴力N：以拉力为正； 剪力Q：对隔离体顺时针旋转为正； 弯矩M：使杆件下侧受拉为正。

  5. 3.1.2 指定截面内力的计算 　　计算梁指定截面内力采用的基本方法是截面法，即沿计算截面用一假想截面将构件切开，取任一侧为研究对象，在荷载和支座反力等外力和截面上内力的作用下，隔离体处于平衡状态，利用静力平衡方程即可求出三个内力。 例1如图3.2a所示简支梁，试计算距A支座距离为1m处C截面上的内力。

  6. 解：（1）求支座反力 　　先假设反力方向如图所示，以整梁为研究对象： 　　　∑X=0:XA-P=0 XA=P=4kN 　　 ∑MB=0: YA*l-q*l*0.5*l=0 YA=0.5ql =0.5×3×4kN=6kN 　∑Y=0: YA+YB=ql YB=ql-VA =(3×4-6) kN=6kN 图2

  7. (2)求指定截面内力 从指定c截面截开梁，取左半为对象，受力如图示： 　由静力平衡条件得： 　　 ∑X=0: NC+XA=0 NC=-XA=-4kN ∑Y=0: -QC+YA-q*l=0 QC=YA-q*1=（6-3*1）=3kN ∑MC=0: YA*1-MC-q*1*0.5=0 Mc=YA*1-q*0.5*1=(6-3×0.5) =4.5kN·m

  8. 由上述例题可知： 梁内某截面上的轴力N等于该截面任一侧所有外力沿梁轴切线方向所作投影的代数和；  (其中：背离截面投影为正，反之为负。) 梁内某截面上的剪力Q等于该截面任一侧所有外力沿梁轴法线方向所作投影的代数和； (其中：绕截面顺转投影为正，反之为负。) 　 梁内某截面的弯矩M等于该截面任一侧所有外力对该截面形心的力矩的代数和。 (其中：下拉为正，反之为负。) 根据上述结论，可以不画隔离体受力图，不列平衡方程而直接计算截面内力，亦称“直接外力法”

  9. 3.1.3 内力图的绘制 　（1）根据微分关系作图 荷载集度q(x)、剪力Q和弯矩M之间的微分关系：

  10. 例2 绘制例1简支梁的内力图。 解: 在例.1中已求出该简支梁的支座反力，下面确定控制截面上的内力，该梁的控制截面包括支座A、支座B和梁的中点。 　　支座A：根据静力平衡条件可求得其剪力 QA=VA=6kN； 该支座为铰支座且该支座处无外力偶作用， 故其弯矩为零。 支座B：同样可求得该处剪力QB=VB=-6kN；MB=0。 跨 中：取跨中截面右侧为隔离体如图3，内力方向 如图中所示。

  11. 图.3

  12. 根据静力平衡条件： 　　∑X=0: NX-P=0 NX=P=4kN，方向与原假设相同 　　∑Y=0: QX+VB-q×l/2=0 QX=3×2-6=0 　　∑MX=0: MX+q×(l/2)×(l/4)-VB×(l/2)=0 MX=(6×4)/2-(3×4)/2×4/4=6kN·m 由于该梁上承受均布荷载和一固定轴力，因此该梁各截面上的轴力为一常数，轴力图为一水平直线，剪力图为一倾斜直线，弯矩图为一抛物线，且在跨中处为最大值，如图4所示。

  13. 图.4

  14. （2）用叠加法作内力图 当荷载种类不同或荷载数量不止一个时，常常采用叠加法绘制结构的内力图。 叠加法的基本原理是：结构上全部荷载产生的内力与每一荷载单独作用所产生的内力的代数和相等。

  15. 4kN·m 4kN 3m 3m 4kN·m 6kN·m 4kN·m 4kN·m 例3 叠加法作图示简支梁弯矩图。 （1）集中荷载作用下 （2）集中力偶作用下 （3）叠加得弯矩图

  16. 2kN/m 3m 3m 2m 4kN·m 8kN·m 4kN·m 6kN·m 4kN·m 2kN·m 例4 叠加法作图示外伸梁弯矩图。 4kN·m 2kN·m （1）悬臂段分布荷载作用下 （2）跨中集中力偶作用下 （3）叠加得弯矩图

  17. 例5 图示外伸梁，承受集中荷载P=4kN，均布荷载q=3kN/m，叠加法绘制其内力图。

  18. 解: 根据叠加法原理，可把该结构分解为如图所示几种情况。 相应的弯矩图如下图示：

  19. 三种情况弯矩图叠加，则最后弯矩如图所示：

  20. 三种情况相应的剪力图如下图示： 相叠加，则最后剪力如图所示：

  21. （3） 绘制弯矩图的步骤 ① 求支座反力 ② 求控制截面的弯矩值，控制截面包括杆的两端、集中力作用处（求剪力时要取两侧各一个截面）、力偶作用处两侧、均布荷载的起点、终点和中点等； ③ 若二控制截面间无外力作用，则连以直线。若有外力作用，则连直线（基线）后叠加上简支梁的弯矩图。

  22. 3.2 斜梁的内力计算 　　工程实际中楼梯等结构常简化为斜梁。 　　楼梯斜梁承受的荷载主要有两种，一种是沿斜梁水平投影长度分布的荷载，如楼梯上人群的重量等；另一种是沿倾斜的梁轴方向分布的竖向荷载，如梁的自重等。 　　一般在计算时，为计算简便可将沿梁轴方向分布的竖向荷载按等值转换为沿水平方向分布的竖向荷载，如图 (a)所示，梁斜长为l′，水平投影长度为l，沿梁轴线方向分布的荷载为q′，转换为沿水平方向分布的荷载为q，则由于是等值转换，所以有：

  23. q′l′=ql 　　即: q=q′l′/l=q′/cosα 　　下面以承受沿水平向分布的均布荷载的斜梁为例进行内力分析，如图(b)所示。 　　根据平衡条件，可以求出支座反力为： XA=0, YA=YB=1/2ql

  24. 则距A支座距离为x的截面上的内力可由取隔离体求出。如图(c)所示，荷载qx、YA，在梁轴方向（t方向）的分力分别为qxsinα、YAsinα；在梁法线方向（n方向）的分力分别为：qxcosα、YAcosα。则由平衡条件得：则距A支座距离为x的截面上的内力可由取隔离体求出。如图(c)所示，荷载qx、YA，在梁轴方向（t方向）的分力分别为qxsinα、YAsinα；在梁法线方向（n方向）的分力分别为：qxcosα、YAcosα。则由平衡条件得： 　　　 ∑T=0： YAsinα-qxsinα+NX=0 NX=(qx-1/2ql)sinα 　　　 ∑N=0: YAcosα-qxcosα-QX=0 QX=(1/2ql-qx)cosα 　　　 ∑MX=0: YAx-qx·x/2-MX=0 MX=1/2qx(1-x)

  25. 由此即可绘出其内力图如图 (d)所示。 由上可知：弯矩图为抛物线形，跨中弯矩为1/8ql2，它与承受相同荷载的水平简支梁完全相同， Q图与同样条件的水平简支梁的Q图形状相同，但数值是水平简支梁的cosα倍。

  26. 3.3 多跨静定梁的内力计算。 3.3.1多跨静定梁几何组成 　　 多跨静定梁是由若干根伸臂梁和简支梁用铰联结而成，并用来跨越几个相连跨度的静定梁。这种梁常被用于桥梁和房屋的檩条中，如图10所示。其简图如图11(a)所示。 　　 多跨静定梁按其几何组成特点可有两种基本形式，第一种基本形式如图11(b)所示；第二种基本形式如图12(a)所示 ，其层次图如图12(b)所示。

  27. 图10 图11

  28. 图12

  29. 3.3.2 多跨静定梁的内力计算 　 由层次图可见，作用于基本部分上的荷载，并不影响附属部分，而作用于附属部分上的荷载，会以支座反力的形式影响基本部分，因此在多跨静定梁的内力计算时，应先计算高层次的附属部分，后计算低层次的附属部分，然后将附属部分的支座反力反向作用于基本部分，计算其内力，最后将各单跨梁的内力图联成一体，即为多跨静定梁的内力图。

  30. 例6 试作出如图13(a)所示的四跨静定梁的弯矩图和剪 力图。 解：（1） 绘制层次图，如图13(b)所示。 　 （2） 计算支座反力，先从高层次的附属部分开 始，逐层向下计算： 　　 ① EF段：由静力平衡条件得 　　　 ∑ME=0:YF×4-10×2=0 YF=5kN 　　 ∑Y=0: YE=20+10-YF=25kN

  31. 图13

  32. ② CE段：将YE反向作用于E点，并与q共同作用可得： 　　　 ∑MD=0: YC×4-4×4×2+25×1=0 YC=1.75kN 　　　 ∑Y=0: YC+YD-4×4-25=0 YD=39.25kN ③ FH段：将YF反向作用于F点，并与q=3kN/m共同作用可得： 　　　 ∑MG=0: YH×4+YF×1-3×4×2=0 YH=4.75kN

  33. 　　　　∑Y=0: YG+YH-YF-3×4=0 YG=12.25kN ④ AC段：将YC反向作用于C点，并与q=4kN/m共同作用可得： 　　　　∑MB=0: YA×4+YC×1+4×1×0.5-4×4×2=0YA=7kN ∑Y=0:YB+YA-4×5-YC=0 YB=14.7kN

  34. (3) 计算内力并绘制内力图 　 各段支座反力求出后不难由静力平衡条件求出各截面内力，然后绘制各段内力图，最后将它们联成一体，得到多跨静定梁的M、Q图，如图14所示。

  35. 图14

  36. 再　见

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