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Funções Circulares. Prof. Esp. Renato Schneider Rivero Jover renatojover@charqueadas.ifsul.edu.br www.renatomatematico.mat.br. Função Seno. O gráfico da função f(x) = sen (x):. Observação: o software aceita a função seno como sin (x). Características da função sen (x). Valor máximo: +1
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Funções Circulares Prof. Esp. Renato Schneider RiveroJover renatojover@charqueadas.ifsul.edu.br www.renatomatematico.mat.br
Função Seno • O gráfico da função f(x) = sen(x): Observação: o software aceita a função seno como sin(x)
Características da função sen(x) • Valor máximo: +1 • Valor mínimo: -1 • sen(x) = sen(x + 2π) ou sen(x) = sen(x + 360°)
Características da função cos(x) • Valor máximo: +1 • Valor mínimo: -1 • cos(x) = cos(x + 2π) ou cos(x) = cos(x + 360°)
Função periódica • Seja “x” um valor qualquer dentro do domínio de f(x). • Seja “a” um valor real fixo qualquer. • Se tivermos f(x) = f(x + a) para todo x e para algum “a” qualquer dizemos que a função f(x) é periódica e seu período é “a”.
f(x) = f(x+a) • A imagem de f(x) se repete a cada variação de “a” • Isso acontece com sen(x) e cos(x) eis que a cada 2πrad ou 360° a imagem se repete. • Veja que isso acontece por causa da “volta completa” • Logo seno e cosseno são funções periódicas.
Amplitude • A amplitude determina a altura da onda, isto é, metade da distância do menor valor da imagem e do maior valor da imagem. • Como em sen(x) e cos(x) o maior e menor valores são, respectivamente, +1 e -1, então a distância entre os pontos é de 2 unidades, logo a amplitude é de 1 unidade.
Par ou ímpar • Função par: f(x) = f(-x). Característica da função cos(x). • Função ímpar: f(x) = -f(-x). Característica da função sen(x). • Existem funções que não são pares e nem ímpares.
Simetria • Função par: simétrica em relação ao eixo y. • Função ímpar: simétrica em relação ao centro (origem).
Movimentações no gráfico de uma função. • Translação Horizontal • Translação Vertical • Rotação em torno do eixo x • Dilatação ou compressão horizontal / vertical
Estudo de seno e cossenoTranslação Horizontal • Se f(x) = cos(x) na cor branca, repare o que aconteceu com f(x) = cos(x + 2) na cor vermelha.
Translação Horizontal • O gráfico de cos(x + a) é semelhante ao de cos(x), exceto pelo deslocamento à esquerda quando a > 0 ou direita quando a < 0. • Exercício: faça em seu software gráfico o gráfico das funções: • f(x) = cos(x + 3) f(x) = sen(x – 5) • f(x) = cos(x – 1) f(x) = sen(x + 0.5)
Translação Vertical • Vamos comparar f(x) = sen(x)+1 (azul ciano) e f(x) = sen(x) (verde limão)
Translação Vertical • Note que a constante “a” na função sen(x)+a faz o gráfico subir “a” unidades na vertical se a for maior que zero ou descer “a” unidades na vertical se a < 0. • Exercícios. Faça os gráficos de: F(x) = cos(x) – 3 f(x) = sen(x) + 1 F(x) = 6 + cos(x) f(x) = -3 + sen(x)
Amplitude * Veja o gráfico de f(x) = cos(x) (amarelo) e o de g(x) = 2cos(x) (azul)
Amplitude • Veja que o gráfico azul contempla mais valores de imagem sendo que Im g(x) = [-2,2]. • Ao multiplicar uma função seno ou cosseno por “a” (a > 0) estamos alterando sua amplitude para “a”. • Se a > 1, o gráfico sofre uma dilatação na vertical. • Se 0 < a < 1, o gráfico sofre compressão.
Amplitude x Trans. Vertical • São duas coisas distintas: • Amplitude: altera a distância entre o maior e menor valor da imagem. • Trans. Vertical: altera os limites do intervalo do conjunto imagem preservando a distância. • Próximo slide: veja a diferença entre as funções f(x) = 2cos(x) e cos(x)+1.
f(x) = 2cos(x) (azul)f(x) = cos(x) + 1 (rosa) Exercício: determine o conjunto imagem e a amplitude de cada uma das funções acima e associe com as constantes que aparecem em cada função e em cada lugar
Rotação em torno do eixo x • Multiplicar a função seno ou cosseno por “-1” (ou acrescentar sinal de menos). Veja o gráfico de f(x) = sen(x) (amarelo) e –sen(x) (azul)
Alteração do período • Vamos comparar f(x) = cos(x) (rosa) e g(x) = cos(2x) (branco)
Período mais curto em y(x)=cos(2x) • Ao multiplicar o “x” por 2, estamos acelerando crescimento de “x”. • A cada 360°, temos uma repetição. • Se multiplicar “x” por 2, chegaremos em 360° tendo x = 180°. • Quando maior a constante “a” em f(x)=cos(ax), menor é o período, pois mais rápido alcançaremos 360°.
Calculando o período • Para que haja a repetição, o objetivo é alcançar 360° ou 2π rad. • Daí o período de f(x) = cos(ax) é dado por: • ax = 2π x = • Se 0 < a < 1, então o período fica maior.
Exercícios • Nos próximos slides você terá o gráfico de f(x) = sen(x) ou de f(x) = cos(x) bem como de uma outra função, respectivamente, f(x)=a.sen(px+h)+v ou f(x) = a.cos(px+h)+v. • Em cada gráfico, você deve tentar identificar os valores de “a”, “b”, “h” e “v” comparando com a função seno ou cosseno. • Dica: cos(0) = 1 e sen(0) = 0.
