第二节　函数的微分法

第二章　导数与微分 第二节　函数的微分法一、导数的四则运算二、复合函数的微分法

一、导数的四则运算 定理1设函数u(x)、v(x) 在 x 处可导，则它们的和、差、积与商在 x处也可导，且 (u(x)  v(x)) = u(x)  v (x); (u(x)v(x)) = u(x)v(x) +u(x)v(x);

证　上述三个公式的证明思路都类似，我们只证第二个．证　上述三个公式的证明思路都类似，我们只证第二个． u (x +x) -u(x) = u，因为 u (x +x) = u(x) +u，即 v (x +x) = v(x) +v. 同理有令 y = u(x)v(x)，则 y = u(x + x) v(x + x) - u(x)v(x) = [u(x) + u] · [v(x) + v]- u(x)v(x) = u(x)v+ v(x)u+ uv .

所以

推论1(cu(x))= cu(x) (c 为常数). 推论2

例1　设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1，求 f (x) 及 f (0). 解　根据推论 1 可得 (3x4) = 3(x4)， (5cos x) = 5(cos x)， (cos x) = - sin x，又(x4) = 4x3， (ex) = ex， (1) = 0， f (x) = (3x4- ex + 5cos x - 1)  故 = (3x4)-(ex ) + (5cos x) - (1) = 12x3- ex - 5sin x . f (0) = (12x3 - ex - 5sin x)|x=0 = - 1

求 y . 例2　设 y = xlnx，解　根据乘法公式，有 y = (xlnx) = x (lnx) + (x)lnx

求 y . 例3　设解　根据除法公式，有

例4设 f (x) = tan x， 求f (x). 解即 (tan x)=sec2x . 同理可得 (cot x)=- csc2x .

例5　设 y = sec x， 求y . 解　根据推论 2，有 (sec x)=sec x tan x . 即 (csc x)=- csc x cot x . 同理可得

另外可求得 (以后补证)

二、复合函数的微分法 定理2设函数y = f (u)， u =  (x) 均可导，则复合函数y = f ( (x)) 也可导. 且或或

证　设变量 x 有增量 x， 　　　　　　　　　　　　　相应地变量 u 有增量 u，从而 y 有增量 y. 由于 u 可导，即

推论设y = f (u) ， u =  (v)， v =  (x) 均可导，则复合函数y = f [ ( (x))] 也可导，且

例6　设 y = (2x +1)5，求y . 将 y = (2x + 1)5看成是解　把 2x + 1 看成中间变量u， y = u5，u = 2x + 1 由于复合而成，所以

例7　设 y = sin2 x，求y . 解　这个函数可以看成是 y = sin x · sin x, 可利用乘法的导数公式，这里，我们用复合函数求导法. 将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sinx 复合而成. 而所以

例9　设 y = etan x，求y . 解y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以　　复合函数求导数熟练后，中间变另可以不必写出.

例10 求y . 解　将中间变量 u = 1 -x2 记在脑子中. 这样可以直接写出下式

例12　设 f (x)= arcsin(x2)，求f (x). 解

例13 求y . 解　这个复合函数有三个复合步骤把这些中间变量都记在脑子中．

求y . 例15 解

,求y . 例16 解　先用除法的导数公式，遇到复合时，再用复合函数求导法则.

求y . 例17　设 y = sin(xln x)，解　先用复合函数求导公式，再用乘法公式 y= cos(xln x) · (xln x) = cos(xln x) · (x · (ln x)+x  ln x ) = (1 + ln x)cos(x ln x) .

然后又会遇到复合函数的求导. 例19 解　先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，

求y . 例20　设 y = sh x，解即 (sh x)  = ch x . 同理可得 (ch x)  = sh x .

补证一下 (x) = x -1 . (x) = (elnx) 所以 = elnx · (ln x) 

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