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空间向量 在立体几何中的应用 5

空间向量 在立体几何中的应用 5. 前段时间我们研究了用空间向量求角 ( 包括线线角、线面角和面面角 ) 、求距离 ( 包括线线距离、点面距离、线面距离和面面距离 ). 今天我来研究如何利用空间向量来解决立体几何中的有关证明及计算问题。. 一、 用空间向量处理“平行”问题. D 1. C 1. A 1. B 1. P. N. M. C. D. Q. A. B. （１） M 是中点， N 是中点 MN∥RQ MN∥ 平面 AC.

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空间向量 在立体几何中的应用 5

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Presentation Transcript

  1. 空间向量 在立体几何中的应用5

  2. 前段时间我们研究了用空间向量求角(包括线线角、线面角和面面角)、求距离(包括线线距离、点面距离、线面距离和面面距离)前段时间我们研究了用空间向量求角(包括线线角、线面角和面面角)、求距离(包括线线距离、点面距离、线面距离和面面距离) 今天我来研究如何利用空间向量来解决立体几何中的有关证明及计算问题。

  3. 一、 用空间向量处理“平行”问题

  4. D1 C1 A1 B1 P N M C D Q A B （１）M是中点，N是中点 MN∥RQ MN∥平面AC 例1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别是A1B1和BC上的动点，且A1P=BQ，M是AB1的中点，N是PQ的中点. 求证： MN∥平面AC. R

  5. D1 C1 A1 B1 P N M C D Q A 又NN1、MM1均等于边长的一半 B 故MM1N1N是平行四边形，故MN∥M1N1 MN∥平面AC 法（２）　　　　作PP1⊥AB于P1，作MM1 ⊥AB于M1，连结QP1， 作NN1⊥ QP1于N1，连结M1N1 NN1∥PP1 MM1∥AA1 N1 P1 M1

  6. D1 C1 A1 B1 P N M C D Q A B 所以向量 (-x, x, 0)，又平面AC的法向量为 (0, 0, 1)，∴ ∴ 又M不在平面AC 内，所以MN∥平面AC 证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz z 设正方形边长为2，又A1P=BQ=2x 则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0) 故N(2-x, 1+x, 1),而M(2, 1, 1) o y x

  7. D1 C1 A1 B1 (1)平行四边形A1BCD1 A1B∥D1C D C 平行四边形DBB1D1 A B B1D1∥BD 例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证： 平面A1BD∥平面CB1D1 于是平面A1BD∥平面CB1D1

  8. D1 C1 设正方形边长为1，则向量 A1 B1 D C 设平面BDA1的法向量为 A 则有 B x=1 y=-1 z=-1 x+z=0 x+y=0 令x=1,则得方程组的解为 故平面BDA1的法向量为 (2)证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz z y o x

  9. z 同理可得平面CB1D1的法向量为 D1 则显然有 C1 即得两平面BDA1和CB1D1的法向量平行 A1 所以 平面BDA1∥CB1D1 B1 D C A B y o x

  10. D1 G C1 F H A1 B1 E D C AD∥GF，AD=GF A B 平行四边形ADGE AE∥DG 又EH∥B1D1，GF∥B1D1 EH∥GF 例3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点. 求证： 平面AEH∥平面BDGF 故得平面AEH∥平面BDGF

  11. D1 G C1 H F 则求得平面AEF的法向量为 A1 B1 E 求得平面BDGH的法向量为 D C A B 显然有 z 略证：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz y o x 故 平面AEH∥平面BDGF

  12. 二、 用空间向量处理“垂直”问题

  13. ↑ 二、 用空间向量处理“垂直”问题

  14. D C A B D C A B 例4 Z E Y F X

  15. 练习1

  16. 分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系 证明:

  17. 例6：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1/3=a，E、F分别是BB1、CC1上的点，且BE=a，CF=2a 。 求证: 面AEF面ACF。 z A1 C1 B1 F E A C y B x

  18. z 证明：如图，建立空间直角坐标系A-xyz ， A1 C1 不防设 a =2，则A（0，0，0），B（3 ，1，0）C（0，2，0），E（ 3，1，2） F（0，2，4），AE=（ 3，1，2）AF=（0，2，4），因为，x轴面ACF 所以 可取面ACF的法向量为m=（1，0，0），设n=（x,y,z)是面AEF的法向量，则 B1 F E A C y x B 令z=1得, n=（0，-2，1） x=0 { nAE=3x+y+2z=0 { y= -2z nAF=2y+4z=0  面AEF面ACF 显然有m n=0，即，mn

  19. P N D C M A B 练习2 • 已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝a，AD＝ ，M、N分别是AD、PB的中点。 求证：平面MNC⊥平面PBC；

  20. 小结： 利用向量的有关知识解决一些立体几何的问题，是近年来很“热”的话题，其原因是它把有关的“证明”转化为“程序化的计算” 。本课时讲的内容是立体几何中的证明“线面平行、垂直”的一些例子，结合我们以前讲述立体几何的其他问题(如：求角、求距离等)，大家从中可以进一步看出基中一些解题的“套路”。 利用向量解题 的关键是建立适当的空间直角坐标系及写出有关点的坐标。 用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发展趋势，而向量是用代数的方法解决立体几何问题的主要工具，故学会用向量法解立体几何问题是学好立体几何的基础。

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