有限温度において 有限質量ボソンと結合する有限質量クォークの準粒子描像

1. 2007/11/19~21原子核・ハドロン物理：横断研究会@KEK2007/11/19~21原子核・ハドロン物理：横断研究会@KEK 有限温度において有限質量ボソンと結合する有限質量クォークの準粒子描像 三ツ谷和也（京大基研） in collaboration with 北沢正清（阪大） 国広悌二（京大基研） 根本幸雄（名大） arXiv:0710.5809

2. Contents • 導入 plasmino、Tc近傍におけるクォーク、ソフトモード、3ピーク構造 • 模型 • スペクトル関数 • ポール構造 • 準位混合からの議論 • まとめ

3. Perturbative expansion is valid : HTL scheme （クォークとグルオンの準粒子からなる気体） • “強相関QGP” 描像 • RHICにおける流体模型の成功 • 小さなずれ粘性 • lattice QCD CalculationsJ/Y , hcスペクトル • T ~ 1.6－2 Tc　にわたって強度を持つ • （Matsufuru et.al, Asakawa et.al, Datta et.al） QCD phase diagram T QCD の漸近自由性 → 高温高密度で結合が弱くなる. Tc QGP相 c-symmetric RHIC 閉じ込め相 c-S.S.B カラー超伝導 m

4. k p << T p - k 「プラズミーノ」 H.A.Weldon, PRD40(1989)2410 k ~ T がループ積分に おいて支配的 Quark at high T Hard Thermal Loop Approximation (E. Braaten and R. D. Pisarski) T >> w, p, mfのとき有効 • 二つの分散関係が存在する • ひとつの分散関係は極小点を持つ • →プラズミーノ • 熱質量: 温度に比例する質量を持つ （×CF） （プラズミーノの初出は V. V. Klimov, Yad. Fiz 33, 1734 (1981)）

5. Tc 近傍でのクォーク準粒子 • 格子QCDにおけるクォークスペクトル F.Karsch and M.Kitazawa (2007) • δ関数的な2ピーク構造による近似がよい＠T=1.5Tc • cf : 別の lQCD の計算では T/Tc ~ 1.6-2 程度までチャーモニウムが残るとされている。 • SD eq.　を用いた解析 M.Harada, Y.Nemoto and S.Yoshimoto (2007) • 有限温度の強結合ゲージ理論においてクォークスペクトルが2つのピークを持つ Tc近傍でもクォークは基本的自由度として振舞うであろう

6. 相転移の次数が二次または弱い一時のとき相転移の臨界点近傍でオーダーパラメーターの揺らぎが大きな強度を持つ。カイラル相転移の場合はカイラル凝縮の揺らぎであるσおよびπ中間子的励起がTc近傍でソフト化する。相転移の次数が二次または弱い一時のとき相転移の臨界点近傍でオーダーパラメーターの揺らぎが大きな強度を持つ。カイラル相転移の場合はカイラル凝縮の揺らぎであるσおよびπ中間子的励起がTc近傍でソフト化する。 • Quark Spectrum Near And Above Tc 3-peak structure In NJL Model mq = 0 ( chiral limit) M.Kitazawa , T.Kunihito and Y.Nemoto. (2006) Soft Mode And Quark Quasi-Particle • Softening of Mesonic Mode • Chiral Soft Mode T.Hatsuda and T.Kunihiro, (1985)

7. Effect Of Quark Mass • 北沢らの計算 : mq = 0 (カイラル極限)　→　3-ピーク 構造 • ⇔ 現実のクォークは質量を持つ：カレント質量、動力学的質量 有限質量クォークではどのようになるだろう ? 湯川模型を用いて解析を行う • スペクトル関数 • 伝播関数のポール構造 • 温度依存性に注目

8. P－K K P Model And Approximation • Self Energy (1-loop) フェルミオンとスカラー場の湯川結合 p = 0 only • 温度依存性に集中するため • w-T平面上へのプロットを行う クォークグリーン関数 g = 1 : 結合定数を変えても結果の定性的な振舞は変わらなかった

9. The spectral function projection op. クォーク成分のみを扱う cf : parity property

10. The spectral function Quark spectrum in Yukawa models was shown in Kitazawa et al, Prog.Theor.Phys.117, 103 (2007) mf= 0 • T = 0 では d-関数的なピークのみ • T ~ mb では 3-ピーク構造が見られる • 高温では 2-ピーク構造に移行し、高温で得られている描像と合致

11. The spectral function for mf/ mb = 0.1 • w < 0 のピークが抑制される • 3-ピーク構造はかすかに見られる程度

12. The spectral function for mf / mb = 0.3 負エネルギーピークの抑制が強くなる

13. Poles of the quark propagator Poles are found by solving The residue at pole which indicate the strength of the excitation Pole approximation of the spectral function A sum rule for the fermion spectral function If pole approximation is good

14. mf=0 How the poles move t = T / mb (A) • Aのポールは温度によらず原点：δ関数型ピークに対応 • BおよびCは温度上昇とともに実軸に近づいていく：集団励起ピークの成長 (C) (B)

15. The residues Sum rule is satisfied approximately • T ~ mbで三つの留数は同程度: 3ピーク構造とコンシステント

16. How the poles move (mf /mb=0.1) t = T / mb • A は初め mf の位置にあって温度が上がると原点に漸近 • C は同じ温度では B より深い位置にある：負エネルギーピークの抑制 (A) (B) (C)

17. The residues and a sum rule Sum rule is approximately satisfied • ポール (A) における留数は高温で減衰 • T ~ mbでポール (B) における留数はポール (C) におけるそれより大きい（負エネルギーピークの抑制）

18. Structural change in the pole behavior mf / mb = 0.3 mf / mb = 0.2 • ポールの軌跡の構造が変わる (A) (A) (B) (B) (C) (C) （境目となる質量は mf */ mb~ 0.21）

19. w (p=0) 0 | | 準位混合からの解釈 ImS S　＝ 自己エネルギーの虚部∝崩壊率 - ランダウダンピング - ボゾン質量有限→2ピーク →実効的に三準位系の混合 qbar b q b q q mf=0 qとqbar-holeの混合 3ピーク構造

20. w w (p=0) (p=0) 負エネルギー ピークの抑制 0 0 フェルミオン質量が有限の場合 mf* > mf >0 mf >mf* mf mf T = 0 の時のポールは より高いエネルギーへ T=0 のときのポールは準位混合が大きくなるほど原点へ

21. Summary • スペクトル関数 • mf = 0の場合には T ~ mbで3ピーク構造を持つ. • mfが増えるにつれて負エネルギーピークは抑制される • ポール構造 • 伝播関数は r(w) のピークに対応するポールをもつ • ポールの情報からの BW 近似は T ~ mbで良く r(w)を再現する （省略）： 励起をポールで記述できる • 温度を変えたときにポールの軌跡は mfを増加させていくとあるmf定性的に変わる。 • 準位混合を用いて上記の結果は理解できる

22. PS ボソンと結合する場合 (今回は省略) • 定性的には同じ • 原点付近のピークはやや大きくなる Future works • レプトン対生成率への影響の評価 • vector boson との結合　(in Stuckelberg formalism)

23. 擬スカラーボゾンの場合 • 定性的には変わらない • 原点付近のピークが大きくなる • ポールの温度依存性が定性的に切り替わる境目の質量は • mPS* ~ 0.23 になる。 mf / mb = 0.2

24. Explicit expression of T = 0 part Diverge !

25. Subtracted Dispersion Relation Kramers-Kroenig Relation for f(x) Finiteness of ReS require | f(z)| to converge as z → \ . Else one should use Those are called once “subtracted” and twice “subtracted” dispersion relation respectively.

26. The Spectral Function

27. The spectral function for mf / mb = 0.2

28. Under standing from the self-energy Imag. T （Kramers - Kronig relation） for Peaks in ImS → heaves in ReS Real • New peaks at higher temperature T cf : “quasi”-disp. rel. ＊This Analysis in Ch. Lim. Still Shown by Kitazawa, et. al. （M.Kitazawa, et.al. Phys.Lett. B633 (2006) 269）

29. Under standing from the self-energy Imag. T • Mass lower the y-int. 　（⇔ free particle peak is at w > 0） Quasi Dispersion Relation : Real T The peak with negative energy require higher temp.

30. The Pole Structure Of The Quark Propagator

31. Pole Structure Of Propagators( mf= 0 ) (A) Real • Poles of the retarded functions in the lower half plane z (C) (B) infinite #s of poles Imaginary - 2T z: complex energy variable

32. Breit-Wigner approximations T/mb= 0.5 T/mb= 1.0 T/mb= 1.5 原点付近以外では良くあっている。 原点付近で合わないのは虚軸付近の無数のポールの寄与を取り入れて無いから

33. Breit-Wigner approximations T/mb= 0.5 T/mb= 1.0 • よく合っている T/mb= 1.5

34. Residues • 高温におけるポールAとポールBの振舞が入れ替わったような形になっている。 mf / mb = 0.3 mf / mb = 0.2

35. The behavior at high temperature wQ = mb phase space for decays vanish • Imz / Rez is small at high T • mTof HTL well approximate the real part at high T ex) T/mb = 20.0 mT =gT/4

36. The Level Mixing The Physical Origin Of Multi Peak Structures

37. M.Kitazawa, et.al. Phys.Lett. B633, 269 (2006) ms ms quark anti-q hole quark | | Level Mixing~ massless fermions coupled with a massive boson ~ Kitazawa et al, Prog.Theor.Phys.117, 103 (2007) w r+(w,k) r-(w,k) k

38. Energies of the mixed levels ここまで紹介した例では放出/吸収されるボソンの運動量が0の近似の場合 →ここでは有限運動量を考える。 0 < w < |mb-mf| 0 > w > - |mb-mf| (Eb, k) (Ef, k) (Ef, k) (w,0) (Eb, k) (w,0) 混合を起こす対象の準位のエネルギー w> = Eb – Ef(>0) w< = Ef – Eb(<0) Eb = sqrt(mb2 + k2) Ef = sqrt(mf2 + k2)

39. 自己エネルギーの虚部∝崩壊率 二箇所で混合の振幅が非常に大きい →実効的に三準位系の準位混合 →3ピーク構造 負エネルギーピークの抑制 散乱の位相体積部分∝k2 分布関数 n(k), f(k) 等 w> w> w< w< M - = mb - mf

40. the structural change from the aspect of level mixing • 中間準位との混合は熱的効果で起こる • 低温すぎると準位混合の効果は弱くポールAはほとんど動かない • グラフはポールAが有意に動き出したときの温度における概念図 original level is pushed up in energy at high T original level is pushed down in energy at high T mf > m* w mf < m* w k k mf= 0,0.1,0.2 mf= 0.3 Effective mixed level

41. quark anti-qth hole quark | | Level Mixing ~ massless fermions coupled with a massless boson ~ （H.A.Weldon, PRD40(1989)2410） w r+(w,k) r-(w,k) k

42. Renormalization Of T = 0 Part • We use twice subtracted disp. rel. for regularization of integral General complex function f(x) obey to the following relation : （Dispersion Relation） Even if above expression diverge, following expression sometimes converge. This expression is called “twice-subtracted” dispersion relation

43. Mass Shell Renormalization In terms of S Mass Renorm. Wv. Fnc. Renorm. Renormalization Of T = 0 Part （dbl sign : for p0 > 0 upper , for p0 < 0 lower） （dbl sign : for p0 > 0 upper , for p0 < 0 lower） • Finite temperature part converge →disp. rel. without subtraction.

44. Im S and decay processes External line have positive quark number （I） Landau Damping （II） （III） （IV） （I） （II） （III） （IV） time

45. 0 (II) （III） Allowed Energy Region For The Processes -(mb+mf) -|mb-mf| |mb-mf| (mb+mf) mf < mb （IV） （III） （II） （I） mf > mb （IV） （II） （III） （I） Thermal excitation Landau damping processes -including thermally excited particles in the initial state

46. ImSのピークの位置と mf の比較 we use the minima in the imaginary parts of the self-energies for rough indication for effective energy of intermediate states T/mb = 0.5 at which T=0 pole start to move notably mf / mb = 0.1 mf / mb = 0.2 mf / mb = 0.3 minima exist at w < mf minima exist at w > mf