matematika ii n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Matematika II. PowerPoint Presentation
Download Presentation
Matematika II.

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 23

Matematika II. - PowerPoint PPT Presentation


  • 94 Views
  • Uploaded on

Geodézia szakmérnöki szak 2010/2011. tanév/ Műszaki térinformatika ágazat tavaszi félév . Matematika II. 1. előadás. Lineáris programozás. Miért lineáris ? Lássunk egy példát! A feladat: Szendvicsek gyártása egy házibulira! Alapanyagok: 120 dkg vaj 100 dkg sonka 200 dkg sajt

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Matematika II.' - miller


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
matematika ii

Geodézia szakmérnöki szak 2010/2011. tanév/

Műszaki térinformatika ágazat tavaszi félév

Matematika II.

1. előadás

line ris programoz s
Lineáris programozás
  • Miért lineáris ?
  • Lássunk egy példát!
  • A feladat:
    • Szendvicsek gyártása egy házibulira!
    • Alapanyagok:
      • 120 dkg vaj
      • 100 dkg sonka
      • 200 dkg sajt
      • 20 db főtt kemény tojás
line ris programoz s1
Lineáris programozás
  • A szendvicsek típusai:
    • A típus (x1 darab):
      • 3 dkg vaj
      • 3 dkg sonka
      • 2 dkg sajt
      • 1/4 db tojás
    • B típus (x2 darab):
      • 2 dkg vaj
      • 1 dkg sonka
      • 5 dkg sajt
      • 1/2 db tojás
line ris programoz s2
Lineáris programozás
  • Mi a feladat?
    • A lehető legtöbb szendvics elkészítése az alap-anyagokból (kenyér korlátlanul rendelkezésre áll).
  • Matematikai modell:

x1 >= 0; x2 >= 0 (negatív mennyiség ?)

3·x1 + 2·x2 <= 120 (vajas feltétel)

3·x1 + x2 <= 100 (sonkás feltétel)

2·x1 + 5·x2 <= 200 (sajtos feltétel)

1/4·x1 + 1/2·x2 <= 20 (tojásos feltétel)

  • Célfüggvény: z = x1 + x2 max.
line ris programoz s3
Lineáris programozás
  • Grafikus megoldás:

1. lépés:

a „vajas” egyenes

A félterek irányítása

2. lépés:

a többi egyenes

A lehetséges megoldások halmaza

A célfüggvény egyenesei

3. lépés: Optim. megoldás

line ris programoz s4
Lineáris programozás
  • Tapasztalatok a feladat kapcsán:
    • A lehetséges megoldások halmaza a síknak egyenesekkel határolt tartománya
    • Az azonos célfüggvény-értékkel rendelkező pontok egy párhuzamos egyenes-sereg valamelyik egyenesén fekszenek
    • A max. célfüggvény-értéket ezen egyenesek párhuzamos eltolásával kaphatjuk meg
line ris programoz s5
Lineáris programozás
  • A grafikus megoldás elemzése:
a szimplex m dszer
A Szimplex módszer
  • A feladat:
    • Adott egy m egyenlőtlenségből álló n változós lineáris egyenlőtlenségrendszer és egy n változós lineáris függvény;
    • Az egyenlőtlenségrendszer együtthatómátrixa legyen A;
    • Az egyenlőtlenségrendszer jobb oldalán álló paraméterek m dimenziós vektora legyen b;
    • A célfüggvény paramétereit fejezze ki a c*;n dimenziós sorvektor;
a szimplex m dszer1
A Szimplex módszer
  • A lineáris programozás általános feladata ezek alapján a következő:

Ax <= b; x >= 0

z = c* x  max.!

  • Észrevételek:
    • A feltételrendszerben lehetnek <= és >= irányú egyenlőtlenségek is.
    • Az esetleges egyenletek helyettesíthetők két megfelelő egyenlőtlenséggel.
    • A maximum-feladat helyett szerepelhet minimum-feladat is, ha a -c* vektorral dolgozunk.
a szimplex m dszer2
A Szimplex módszer
  • A lineáris programozási feladatat kanonikus alakja a következő:

Ax = b;x >= 0

z = c* x  max.!

  • Észrevételek:
    • Az általános alakkal szemben itt csak egyenletek szerepelnek;
    • Az általános alak mindig átalakítható kanonikusra, néhány új változó bevonásával.
a szimplex m dszer3
A Szimplex módszer
  • Az átalakításhoz tekintsünk egy olyan általános feladatot, amelyben a következő feltételek szerepelnek:

A1x = b1

A2x <= b2

A3x >= b3

x >= 0

z = c* x max.!.

a szimplex m dszer4
A Szimplex módszer
  • Az előző feltételrendszer új változók bevezetésével átalakítható az alábbira:

A1x=b1

A2x + Equ = b2

A3x - Erv = b3

x >= 0; u >= 0; v >= 0

z = c* x max.!.

a szimplex m dszer5
A Szimplex módszer

A Szimplex módszer induló táblája az alábbi:

a szimplex m dszer6
A Szimplex módszer
  • Az algoritmus lépései:
    • A megoldás optimális, ha a c* minden együtthatója negatív;
    • Ha van cj > 0, akkor a legnagyobb ilyen oszlopát vizsgáljuk;
    • Megkeressük azt a ak,j> 0 számot, amelyre az xk/ak,j hányados minimális lesz, ez lesz a generáló elem;
    • Elvégezzük az elemi bázistranszformációt úgy, hogy a j. és a k. elemet cseréljük ki egymással;
    • Az eljárást az elejével folytatjuk.
a szimplex m dszer7
A Szimplex módszer
  • Megállási feltétel:
    • Nincs cj > 0 elem, ekkor találtunk optimális megoldást;
    • Bár még van cj > 0, de ebben az oszlopban minden ak,j <= 0; Ebben az esetben a célfüggvény nem korlátos, tehát nincs optimális megoldás
p lda a szimplex m dszer alkalmaz s ra
Példa a Szimplex módszer alkalmazására
  • Egy üzemben öt különböző terméket lehet három korlátozott mennyiségben rendelkezésre álló erőforrás segítségével előállítani. Az erőforrások mennyiségét, a fajlagos ráfordításokat és az egyes termékek fajlagos hozamát a következő táblázat foglalja össze. Készítsük el az optimális termelési tervet, amely a maximális hozamot eredményezi!
p lda a szimplex m dszer alkalmaz s ra2
Példa a Szimplex módszer alkalmazására
  • Az induló Szimplex tábla, amely egyben egy lehetséges megoldást is tartalmaz:

Mivel van cj > 0, a megoldás még nem optimá-lis. Válasszunk generáló elemet!

p lda a szimplex m dszer alkalmaz s ra3
Példa a Szimplex módszer alkalmazására
  • Az első transzformáció nyomán kapott Szimplex tábla:

Ismét van cj > 0, a megoldás még mindig nem optimális. Válasszunk újabb generáló elemet!

p lda a szimplex m dszer alkalmaz s ra4
Példa a Szimplex módszer alkalmazására
  • A második transzformáció nyomán kapott Szimplex tábla:

Még van cj > 0, a megoldás még mindig nem optimális. Válasszunk újra generáló elemet!

p lda a szimplex m dszer alkalmaz s ra5
Példa a Szimplex módszer alkalmazására
  • A harmadik transzformáció nyomán kapott Szimplex tábla:

Itt már az összes cj < 0, a megoldás tehát opti-mális.

a mintap lda megold sa
A mintapélda megoldása
  • Az optimális termelési stratégia az előbbiek alapján tehát az, ha a vállalat a következő-képpen jár el:
    • I. termék: 20 egység
    • II. termék: 30 egység
    • V. termék: 50 egység
  • Ekkor a tiszta hozam:
    • z = 230
m dos tott mintap lda
Módosított mintapélda
  • A módosított mintapélda alapadatai (a IV. termék fajlagos tiszta hozama 1-ről 2-re nő):

Állítsuk elő a megoldást!