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  1. TEOREMADETHALES

  2. LO QUE DICE EL TEOREMA DE TALES Si las rectas a, b, c son paralelas y cortan a otras dos rectas r y s, entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales. o bien Una aplicación inmediata del teorema de Thales es la división de un segmento en partes iguales y también en partes proporcionales a números dados.

  3. DIVIDIR UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES La figura muestra paso a paso el procedimiento para dividir el segmento AB en 5 partes iguales. Desde uno de los extremos (A)  del segmento se traza una semirrecta cualquiera. Y con centro en A se traza una circunferencia de radio arbitrario que corta en 1 a la semirrecta. Se hacen circunferencias de igual radio a la primera hasta completar tantas como número de partes se desea dividir el segmento. Se une el ultimo punto (5) con B, y a continuación se trazan paralelas al segmento anterior por los puntos intermedios. Las intersecciones con el segmento inicial AB determinan la división del segmento buscada.

  4. REPARTIR UN SEGMENTO EN PARTES PROPORCIONALES A OTROS VARIOS A AB, Segmento que deseamos repartir B C D E F Segmentos en proporción a los que deseamos dividirlo H G B A Colocamos el segmento Ponemos una línea auxiliar “r” Sobre esta línea llevamos los segmentos Unimos el extremo de estos segmento con el extremo del segmento que queremos dividir Finalmente trazamos paralelas por los extremos de los segmentos. r

  5. DIVIDIR UN SEGMENTO EN PARTES PROPORCIONALES A NÚMEROS Basta con trasladar a la semirrecta auxiliar la medida de los segmentos. Ejercicio. Divide un segmento de 8,2 cm. en partes proporcionales a 2, 1 y 3. Este Procedimiento geométrico también nos sirve para resolver problemas aritméticos de repartos proporcionales. Ejercicio. Tres amigos de 10, 12 y 15 años deben repartirse 350 €uros en partes proporcionales a sus edades. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

  6. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS DEFINICIÓN Dos triángulos son semejantes si tienen los mismos ángulos y los lados correspondientes proporcionales. CRITERIOS DE SEMEJANZA: (Requisitos mínimos para saber si dos triángulos son semejantes) 2.-Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo que forman. 3.- Dos triángulos son semejante si sus lados son proporcionales. Consulta los gráficos

  7. DIVIDIR UN SEGMENTO EN PARTES PROPORCIONALES A OTROS VARIOS El procedimiento es similar al anterior. Basta con trasladar a la semirrecta la medida de los segmentos. Ejercicio. Divide un segmento de 8,2 cm. en partes proporcionales a 2, 1 y 3. Este Procedimiento geométrico también nos sirve para resolver problemas aritméticos de repartos proporcionales. Ejercicio. Tres amigos de 10, 12 y 15 años deben repartirse 350 €uros en partes proporcionales a sus edades. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

  8. Hallar la cuarta proporcional numérica y geométrica a) Numérica b) Geométrica Hallar la cuarta proporcional de 3, 6, 9 Hallar la cuarta proporcional de los segmentos AB, CD, EF B A D C F E Tomo dos rectas concurrentes “r” y “r’ “ y sobre ellas llevo los segmentos como se indica G r Unimos los puntos B(E) y D Trazamos una paralela a ED que pase por F El segmento DG es la cuarta proporcional D C A B E F r’

  9. Hallar la tercia proporcional numérica y geométrica a) Numérica b) Geométrica Hallar la tercia proporcional de 3, 6 Hallar la cuarta proporcional de los segmentos AB, CD, EF B A D C Tomo dos rectas concurrentes “r” y “r’ “ y sobre ellas llevo los segmentos como se indica G r Unimos los puntos B(E) y D Trazamos una paralela a BD que pase por D El segmento DG es la cuarta proporcional D C A B C’ D’ r’

  10. Hallar la media proporcional numérica y geométrica a) Numérica b) Geométrica Hallar la media proporcional de 3, 12 Hallar la media proporcional de los segmentos AB, CD A B C D Llevamos ambos segmentos consecutivos ( En línea recta y seguidos ) Media geométrica En el punto de unión de los dos segmentos Levantamos una perpendicular , que cortará con la circunferencia Ese segmento es la media de los otros dos

  11. PROBLEMA Los números 2, 5 y 7 y los números 14, 35, 49 ¿son proporcionales? ¿Cuál es la constante que permite pasar de los primeros a los segundos? ¿Y al revés? Verifico si puedo realizar proporciones entre los números. Mayo de los tres primeros a mayos de los segundos; menor a menor y mediano a mediano … Verifico si puedo realizar proporciones entre los números. Mayo de los tres primeros a mayos de los segundos; menor a menor y mediano a mediano … Vemos que si son proporcionales, producto de medios igual a producto de extremos. Vemos que si son proporcionales, producto de medios igual a producto de extremos. La constante de proporcionalidad de los primeros a los segundos “x7” La constante de proporcionalidad de los primeros a los segundos “x7” La constante de proporcionalidad de los segundos a los primeros “: 7 “ La constante de proporcionalidad de los segundos a los primeros “: 7 “

  12. PROBLEMA Las siguientes tablas expresan las valores de dos magnitudes. a) Indica si son magnitudes directamente proporcionales b) Pon caso afirmativo, determina la constante de proporcionalidad. • Las magnitudes de la primera tabla no son proporcionales, Pues ningún factor puede pasar de la magnitud M a la M’ b) La magnitudes de la segunda tabla si son proporcionales y la constante de proporcionalidad es “7” para pasar de M a M’ y “:7” para pasar de M’ a M

  13. PROBLEMA Dibuja la figura semejante a la siguiente si la razón de semejanza es 3, en una cuadricula que tiene el lado triple que el lado de la otra cuadrícula. Para obtener la figure semejante, se multiplica por 3. tanto les longitudes de las líneas de la figura, como la longitud del lado de la cuadrícula original.

  14. PROBLEMA Construye las figuras semejantes a las siguientes si la razón de semejanza es 2.

  15. PROBLEMA Construye las figuras semejantes a las siguientes si la razón de semejanza es 2. Observar que la razón de semejanza de los lados es dos , pero que del área es 2x2 = 4. La razón de semejanza de las áreas es la de las longitudes al cuadrado.

  16. PROBLEMA Mide los siguIentes dibujos a) ¿Son figuras semejantes? b) ¿Cuál es la razón de semejanza?

  17. PROBLEMA En los siguientes dibujos, mide el largo y el ancho. Compara con las medidas reales que están expresadas y escribe la razón de semejanza. • La farola mide 3,5 centímetros de alto y en la realidad mide 2,8 metros. • Luego la razón de semejanza es • b) El perro mide 2 centímetros de alto y en la realidad mide 40 centímetros. • Luego la razón de semejanza es:

  18. PROBLEMA Para las siguientes figuras expresa la razón de semejanza teniendo en cuenta que las medidas que se indican son las reales. a) El avión mido 3,3 centímetros de largo y en la realidad mide 60 metros. Como 60 metros son 6 000 centímetros, la razón de semejanza es: 3,3:6000 b) El árbol mide 2 centímetros de alto y en la realidad mido 5 metros. Como 5 metros son 500 centímetros, la razón de semejanza es: 2:500 equivalente a 1:250 e) La silla mide 2,4 centímetros de alto y en realidad mide 120 centímetros. Luego la razón de semejanza es: 2,4:120 = 0,02 d) La televisión mide 1,5 centímetros de alto y en la realidad mide 60 centímetros. Luego la razón de semejanza es:1,5:60 o lo que es lo mimo 3:120 ó 1:40

  19. PROBLEMA Con ayuda del teorema de Tales construye un triángulo semejante al ABC siendo la razón de semejanza 1,5. Sobre la semirrecta CA, llevo medio segmento de CA (CA/2), y lo mismo hago sobre la semirrecta BC, así obtengo los puntos A’ y C’, que al unirlos me dan el tercer lado del triángulo Se modo que CA’ = 1,5.CA y BC’ = 1,5.BC de modo que

  20. PROBLEMA Con ayuda del teorema de Tales construye un triángulo semejante al triángulo ABC sabiendo que la razón de semejanza es 2. Sobre la semirrecta BA, duplico la distancia BA, y lo mismo hago sobre la semirrecta BC, así obtengo los puntos A’ y C’, que al unirlos me dan el tercer lado del triángulo Se modo que BA’ = 2.BA y BC’ = 2.BC de modo que

  21. PROBLEMA Construye un triángulo semejante al triángulo ABC sabiendo que la razón de semejanza es 1/4 Trazo una paralela a uno de los lados , y me quedarán dos triángulos en posición de Tales y por tanto semejantes. La paralela debo trazarla por la cuarta parte de uno de los lados , midiendo, trazando mediatrices o dividiendo por el teorema de Tales uno de los lados en 4 partes iguales

  22. PROBLEMA Divido el segmento AB de longitud 16 centímetros en 5 partes Iguales. Dibujamos el segmento de 16 cm. En al extremo A colocamos una línea auxiliar y concurrente con ella AH, sobre esta semirrecta llevamos un segmento que tomamos como unidad 5 veces , con lo que llegamos al punto G Unimos G con B, y luego trazamos paralelas a GB, por los puntos C,D,E,F Y obtenemos los puntos C’, D’, E’, F’ que dividen al segmento en 5 partes iguales. Unidad-tamaño libre H

  23. PROBLEMA Divide el segmento MN de longitud 13 centímetros en 7 parte, Iguales. Dibujamos el segmento de 13 cm. En al extremo M colocamos una línea auxiliar y concurrente con ella MK, sobre esta semirrecta llevamos un segmento que tomamos como unidad 7 veces , con lo que llegamos al punto I Unimos I con N, y luego trazamos paralelas a IN, por los puntos C,D,E,F,G,H, Y obtenemos los puntos C’, D’, E’, F’, G’, H’ que dividen al segmento en 7 partes iguales. Unidad-tamaño libre K

  24. PROBLEMA En a escalera de la figura, ¿cuánto medirá el peldaño AB? Tenemos triángulos en posición de Tales: Realizamos la siguiente proporción que nos permite hallar AB

  25. PROBLEMA Halla los puntos medios do los lados de un triángulo ABC cualquiera: A’ punto medio de BC B’ punto medio de CA C’ punto modio do AB a) Dibuja el triánguloA’B’C’. b) ¿Es A’B’C’ semejante a ABC? Por ser A’, B’, C’ puntos medios de los lados entonces se producen las siguientes igualdades Hacemos proporciones entra los lados que se corresponden (los opuestos a ángulos iguales ) AC=2.A’C’ AC=2.A’C’ AC=2.A’C’ Ángulo B  Son semejantes ya que siempre obtenemos la misma razón. Ángulo C  Ángulo B 

  26. PROBLEMA En la figura se ha construido un pentágono semejante al ABCOE. Las medidas que aparecen en la figura están expresadas en centímetros. Sirve para encontrar la razón , que vale para toda la figura Sabiendo que AB´mide 7,5 halla las siguientes distancias B’C’, C’D’, D’E’ y AE’. Por ser figuras puedo establecer proporciones entre los lados homólogos, los que se corresponden, los opuestos a ángulos iguales AE’=7,5 B’C’=7,5.3/5 C’D’=7,5.4/5 B’C’=7,5.6/5

  27. PROBLEMA • Indica cuáles de las siguientes parejas de triángulos son semejantes y cuáles no. En caso afirmativo determina la razón de semejanza: • 3,4,5 y 6.8,10 • b) 6,7,8 y 7,8,9

  28. PROBLEMA Escribe los lados de cinco triángulos semejantes a un triángulo de lados 3 cm, 4cm y 5cm. Por ser semejantes los nuevos triángulos tienen que formar proporción con este La proporciones se obtenían multiplicando por un mismo número. Por lo cual es suficiente con que multipliquemos a los lados por un mismo número a todos Ej x3 = 3.3; 4.3; 5.3  9, 12, 15 x7 = 3.7; 4,7; 5.7  21, 28, 35

  29. PROBLEMA Halla el triángulo de lados enteros más pequeño semejante a cada uno de los casos siguientes a) 6cm, 8cm, 10cm c) 12cm, 16cm, 20cm b) 9cm, 12cm, 15cm d) 15cm, 20cm, 25cm Se trata de buscar otros triángulos que tengan números proporcionales y menores ( divididos por un número , lo más pequeños posibles, o sea divididos por el máximo común divisor a) m.c.d ( 6,8,10) = 2 , luego los lados serán 6/2, 8/2, 10/2  3,4,5 b) m.c.d ( 9,12,15) = 3 , luego los lados serán 9/3, 12/3, 15/3  3,4,5 c) m.c.d ( 12,16,20) = 4 , luego los lados serán 12/4, 16/4, 20/4  3,4,5 d) m.c.d ( 15,20,25) = 5 , luego los lados serán 15/5, 20/5, 25/5  3,4,5

  30. PROBLEMA • Las siguientes parejas de triángulos Semejantes • 3,4,5 6,x,y • 6,6,6 x,y,24 • X, 5, 8 12, y, 16 • Calcula la razón de semejanza y los valores de los lados desconocidos. Al decirnos que son semejantes han de cumplir que sus lados sean proporcionales por tanto

  31. PROBLEMA • Indica cuáles de las siguientes parejas de triángulos con semejantes y cuáles no: • 3cm, 3 , 6 cm 30º, 60º, xº • 10 cm ; 10 cm; 10 b) 45º; 45º; xº • El 2º es rectángulo por tener un ángulo de 180-(30+60) = 90º • Pero 32=9, ,62=36 Luego ambos son triángulos rectángulos pero es insuficiente para asegurar que son semejantes b) El segundo es triángulo isósceles 45º y 45º y rectángulo ya que tiene un ángulo de 180º-(45º+45º)=90º Y el primero también es isóscele 10, 10 y rectángulo ya que

  32. PROBLEMA El terreno de un padre viene representado por el triángulo ABC, Le quiere dar una parte a su hijo, para lo cual a construido el triángulo BED. ¿Son los triángulos ABC y BED semejantes ? a) Ambos tienen un ángulo recto a) Ambos tienen un ángulo recto a) Ambos tienen un ángulo recto a) Ambos tienen un ángulo recto b) Ambos tienen un ángulo en común , el ángulo B b) Ambos tienen un ángulo en común , el ángulo B b) Ambos tienen un ángulo en común , el ángulo B b) Ambos tienen un ángulo en común , el ángulo B c) El tercer ángulo es por tanto igual, juntos valen 180º c) El tercer ángulo es por tanto igual, juntos valen 180º c) El tercer ángulo es por tanto igual, juntos valen 180º c) El tercer ángulo es por tanto igual, juntos valen 180º Por tanto, los triángulos tienen los tres ángulos iguales- Aplicando el criterio segundo de semejanza de triángulos, son semejantes. Por tanto, los triángulos tienen los tres ángulos iguales- Aplicando el criterio segundo de semejanza de triángulos, son semejantes. Por tanto, los triángulos tienen los tres ángulos iguales- Aplicando el criterio segundo de semejanza de triángulos, son semejantes. Por tanto, los triángulos tienen los tres ángulos iguales- Aplicando el criterio segundo de semejanza de triángulos, son semejantes.

  33. PROBLEMA La sombra de una torre en un momento del día mide 20 metros. En ese momento la sombra de una vara vertical de 1 metro mide 40 centímetros. Calcule la altura de la torre. Como los rayos solares son paralelos, forman ángulos iguales con la horizontal. Por tanto, los triángulos formados por las sombras de la torre y de la vara son semejantes. (Tres ángulos iguales – El recto el de incidencia en el suelo, inclinación del rayo) Luego los triángulos son semejantes y se pueden hacer proporciones .

  34. PROBLEMA Los lados correspondientes de dos triángulos semejantes miden 8 cm y 12 cm. El área del primer triángulo mido 32 cm2. Halla el área del segundo triángulo. T1 T2 8 12 Razón de los lados es Razón de las áreas Luego

  35. PROBLEMA En un mapa a escala 1:500 000 se tienen las siguientes distancias: a) 3,5cm b) 15cm Halla las distancias reales.

  36. PROBLEMA En un mapa a escala 1 : 750000 se tienen Las siguientes distancias: a) 6,5cm b) 12,7cm c) 16cm d) 3cm Halla las distancias reales.

  37. PROBLEMA En un mapa, la distancia entre dos ciudades es de 2 centímetros ¿Cuál será la distancia real sabiendo que el mapa está realizado a escala 1: 800 000?

  38. PROBLEMA La distancia entre dos ciudades es de 3cm. Halla la distancia real sabiéndo que: a) La escala del mapa es 1: 4 000 000. b) La escala del mapa es 1: 500 000. o) La escala del mapa es 1 175 000.

  39. PROBLEMA Indica qué escala se aplica cuando en una fotocopiadora: a) Se reduce al 25 %. b) Se amplía al 300 %. Luego las escalas son a) 1:4 y b) 3:1

  40. PROBLEMA En un mapa la distancia entre dos ciudades es de 5,5 centímetros ¿Cuál será a distancia real sabiendo que el mapa está realizado a escala 1:500000?

  41. PROBLEMA En un mapa, la distancia entre dos ciudades es de 3 centímetros. Halla la escala sabiendo que ambas ciudades están a una distancia de 66 kilómetros. Escala 1: 2200000

  42. PROBLEMA La superficie real de una casa es de forma rectangular, de 12 metros de argo y 10 metros de ancho. ¿Qué medidas tendrá en un plano que está realizado a escala 1: 50? Medidas del dibujo 24x20cm

  43. PROBLEMA En el plano de una casa, el salón mide 2 centímetros de ancho y 3 centímetros de largo. Como el plano realizado a una escala 1:200, ¿cuáles serán las dimensiones del salón? Las medidas son 4 m x 6 m

  44. PROBLEMA Determina la escala a la que se ha hecho el plano de una ciudad si 100 metros de la realidad se representan por 1 centímetro en el plano. Escala por tanto 1:10000

  45. Largo Ancho Alto PROBLEMA Un edificio tiene forma de ortoedro y sus medidas reales Son 40 metros de largo, y 25 metros de ancho y 30 de alto. Halla las dimensiones de una maqueta realizada a: a) Escala 1 :10. b) Escala 1:50 A escala 1:10 A escala 1:50 Largo Ancho Alto

  46. PROBLEMA La maqueta de un puente tiene 1,5 metros de largo y 0,03 metros de ancho. ¿Cuáles serán las medidas reales sabiendo que está realizada a escala 1:1000? Longitud Ancho

  47. PROBLEMA Un topógrafo va a hacer un plano de un terreno de forma de hexágono regular de 10 metros de lado, a) ¿Cuánto medirá el lado del hexágono del plano si este se realiza a escala 1:100? b) Dibuja el plano del terreno a dicha escala

  48. PROBLEMA • Observa la figura: • Encuentra dos triángulos semejantes . • Establece una proporción para hallar la anchura del río. • Calcula la anchura del río sabiendo que AB=1,5 cm AN=1,2 cm, AC=8,5 M Los triángulos AMC y ANB, son semejantes por ser NB paralela a MC Por ser semejantes se pueden formar las siguientes proporciones N A C B Haciendo uso de las medidas tenemos Anchura del río NM =6,8 -1,2=5,6

  49. PROBLEMA En un plano la escala es 1:50000, dos puntos distan 4 cm, Calcula mentalmente la distancia entre esos dos puntos en la realidad. Sobre un mapa a escala 1: 800000, dos dudadas distan 9 cm. Calcuta mentalmente la distancia entre esas ciudades la realidad. En una maqueta realizada a escale 1:40 la distancia del tejada al suelo es de 60cm. Calcula mentalmente dicha distancia en la realidad.

  50. PROBLEMA Averigua si los siguientes pares de triángulos son semejantes o no. Razónalo utilizando algún criterio semejanza de triángulos. • Se aplica el criterio de proporcionalidad de lados • primer criterio , lados proporcionales. • b) Se aplica el criterio de proporcionalidad de los lados • c) Los tres ángulos iguales ( en posición de Tales) • d) Son semejantes ya que Dos ángulos iguales