1 、什么叫频率分析？ 2 、频率分析的问题引入？ 3 、频率分析的仿真。 4 、频率分析的计算方法。 5 、频率分析的作用与意义 6 、幅频特性与相频特性

1. 控制系统的频率分析 1、什么叫频率分析？2、频率分析的问题引入？3、频率分析的仿真。4、频率分析的计算方法。5、频率分析的作用与意义6、幅频特性与相频特性 王选择

2. 1 频率分析的定义 当输入是一个固定频率的三角信号（正余弦信号）的时候，求解模型的输出信号？ 为什么要选正余弦信号作为输入呢？ 1、正余弦信号是个能量守恒的信号，代表了自然界的振动规律； 2、其他任何周期信号，都可以分解为不同频率正余弦信号的叠加（利用富立叶级数方法）； 3、正余弦信号的微积分形式仍然是正余弦信号，计算容易方便。 4、还因为这首诗

3. 1 频率分析的定义 正余弦之舞 我来了， 伴随着圆的轨迹， 和着能量守恒的规律， 建造起二阶系统的乐园。 我的到来， 你能看到， 电容脸上的生机； 那起伏的跳动， 是电感的雀跃； 无声的电阻， 静静地体验， 我给予， 他们那相似的划痕。 旋转的脚步， 是我悄然变身的法宝。 如影随行的我们， 又如相互追嬉的旋律， 踏着一样的步伐， 舞出无数个自己， 缓慢的移动， 那是我在沉思， 不应该， 你只看到我疲惫的身影。 珍惜我吧， 如同你的至爱， 我会带给你无穷的乐趣。

4. 2 简单的频率分析 • 对于一个积分系统，假设输入信号是sin(2π·1000t),即频率为1000hz的信号，输出信号为： 注意积分的特点：频率越大，结果越小；相位滞后90度。 直觉上怎么去理解它？结论:积分环节高频缩小,低频放大 2.对于一个微分系统，假设输入信号是cos(2π·500t),即频率为500hz的信号，输出信号为： 注意微分的特点：频率越大，结果越大；相位超前90度。直觉感知上怎么去理解它？结论:微分使高频放大,低频缩小

5. 微积分的电路仿真 This is integration circuit This is derivation circuit The simulation is from RLC2.ms10

6. 微积分的电路仿真

7. 微积分的电路仿真

8. Ui UR i Q Uo 2 频率分析的问题引入 简单的微积分系统，我们容易计算，但是对于复杂的系统，运算也会变得复杂，我们有简单的方法去求解吗？例如： 显然，如果 在仿真作了一定解释的基础上，请大家硬着头皮，用自己的方法去求解电容两端的电压信号。

9. Ui UR i Q Uo 3 频率分析的电路仿真 观察曲线： 输入信号频率与输出信号频率； 电阻两端电压与电容两端电压之间的关系； 零点位置，极大值点位置的特点。 From RC3.ms10 初步印象:输入正弦交流信号Vi经过电阻电容后,分为两个信号,UR与UC,它们与输入信号同频率,而且它们之间相差90°。 当输入信号频率改变时，UR大，则UC小；反之，UR小，则UC大，且它们之间满足幅值平方和为定值的特点。频率大， UC小，频率小， UC大。 体会与思索一下，为什么是上述原因。

10. Ui UR i Q Uo 3 频率分析的matlab仿真 From RC1.mdl

11. 3 频率分析的matlab仿真

12. >> figure,plot(ScopeData.time,ScopeData.signals.values,'LineWidth',2); >> grid on

13. >> figure,plot(ScopeData3.time,ScopeData3.signals.values,'LineWidth',2); >> grid on

14. >> figure,subplot(2,1,1),plot(ScopeData1.time,ScopeData1.signals(1,1).values,'LineWidth',2); >> grid on >> subplot(2,1,2),plot(ScopeData1.time,ScopeData1.signals(1,2).values,'LineWidth',2); >> grid on

15. ω/[(s2+ω2)(RCs+1)] ? ω/(s2+ω2) 合成，即 拉斯反变换 sinωt 分解，即 拉斯变换 Ui UR i Q Uo 4 频率分析的计算方法 显然，我们可以用传递函数的方法，来求得精确的解，如下式： 当然，我们可以计算出结果来，但总认为计算起来太复杂，能不能有种简单方法做直观计算呢？

16. Ui UR i Q Uo 4 频率分析的计算方法 sinωt Asin(ωt+φ) CAsin(ωt+φ) 大胆设想(假设), 小心求证. RCωAsin(ωt+φ+π/2) CωAsin(ωt+φ+π/2) 特别注意，这里s(乘s)的含义总结为:相位超前90°,幅值增加到ω倍。这一点至关重要，为后面简化求解建立了理论基础。 那么此模型有如下公式的成立：

17. 4 频率分析的计算方法 此公式在已知ω的条件下，如何求A与φ呢？用积化合差方法，可以吗？有没有简单方法？ 当然，在模型假设输入为cos(ωt), 同样有如下的公式： 显然，两个公式中的A与φ应该相同。 求解这样的问题不应该成为我们心中永远的痛！！！

18. 4 频率分析的计算方法 这样的三角函数运算问题，也是振动合成运算的问题，在信号处理、物理光学应用等很多方面，都需要得到解答，所以它是一个普遍的问题，必须找到简单的解答方法。 一旦当我们发现求解比较复杂困难的时候，应该想到我们的前辈科学家肯定也遇到过相似的问题，他们也会去寻求解决的办法，他们也会苦恼、傍徨与踌躇。追寻他们的思路，或许我们能发现他们为我们已经开辟了前行的捷径。布满陷阱的桃花阵，其实隐藏着一条通往坦途的幽静小径。

19. (x, y) θ 4 频率分析的计算方法 那么，他们是怎样去思考解决的办法呢？记住，决不是去死记硬背什么三角函数和差化积、积化和差的公式(解法一略)而是从sin与cos的来源中寻找答案，这两函数脱胎于什么地方，我们就从什么地方着手。 我们知道，sinωt、cosωt满足能量守恒的定律,其实从几何角度来看,它还是向量旋转的结果,与转动相关联的,有时我们说ω是转角频率，也是这个意思。我们又知道，它们两个分别是向量的横纵座标。因此，向量合成的过程，即横纵坐标加减的过程，就是三角信号合成的过程。 (解法二)

20. 1 ωRCA ωt+Φ+π/2 ωt A ωt+Φ (x, y) θ 4 频率分析的计算方法 向量合成的过程，即横纵坐标相加的过程，就是三角信号合成的过程。

21. 1 1 ωRCA ωRCA ωt+Φ+π/2 ωt -Φ A A ωt+Φ 4 频率分析的计算方法 各向量顺时针旋转ωt+Φ，即旋转 –(ωt+Φ )

22. 1 ωRCA -Φ A 4 频率分析的计算方法 直接可以看出A与Φ的值 这里从几何的角度得到了A与Φ的值

23. 4 频率分析的计算方法 我们从代数的角度如何得到了A与Φ的值呢？(解法三) 即：

24. (x, y) θ 4 频率分析的计算方法 在讲述这个求解过程之前,我们必须把j与ejθ的由来先稍微提一下,让大家有个基本认识. 我们知道,实轴上我们用一个数字可以表达一个点,但平面上我们需要两个数字表达一个点。那么，能不能针对平面也用一个数字来表达一个点呢，就是把两个数字通过某种方式合成在一起呢？于是，有人建议用x+yj来表达，j表示纵轴。但这样表达后，有什么实际意义呢？

25. ja -a a (x, y) θ 4 频率分析的计算方法 用x+yj来表达，有什么实际意义呢？ 我们知道直线运动，局限在一条线上，如果配合旋转运动可以拓展到平面上，从这个旋转角度来思考，看它有没有什么实际意义。 先假设实轴上一点a。 绕原点逆时针旋转90°，那么a→ja。也就是认为乘 j 代表逆时针旋转 90° (实际意义) 那么j到底是个什么数呢？数学家们想呀想：既然乘j表示旋转90°，再乘j表示再旋转90°。

26. ja (acosθ, asinθ) -a a a θ 4 频率分析的计算方法 既然乘j表示旋转90°，再乘j表示再旋转90°，即旋转180°。 而此时旋转值其实变为j2a=-a，那么j2=-1。(j值的由来) 我们旋转90°可以用乘j来表达，那么旋转任意角度θ呢？ 可以看出，a旋转θ后，变为a(cosθ+jsinθ）,也就是说旋转任意θ角度，我们可以用乘cosθ+jsinθ 来表达了。

27. β=α+θ θ α θ (acosθ, asinθ) a 4 频率分析的计算方法 旋转θ角度，我们可以用乘cosθ+jsinθ 来表达了。 这样旋转运动转化为乘法运算了。 欧拉又想到：旋转运动其实是相位角的变化，即相加运算，那如何把乘法运算变为加运算呢？他又联想指数函数有这个特点，根据对欧拉常数的经验，于是天才的欧拉提出一个大胆的设想，令： 表示旋转θ角度,且 这样把相角移到指数的幂次方上，并乘j以示与一般指数函数的区别。有了这个设想后，欧拉又进一步小心求证，发现这个公式非常完美，它满足一切微积分、三角函数积化和差运算等所有定律。至此，该公式正式颁布了。

28. β=α+θ θ α 以欧拉公式为准则,反过来验证此等式成立的条件是: -1/j=j, 即j2=-1. ejθ=jsinθ+cosθ. 结果相同,只是实部与虚部的位置换了一下,是不是很神奇呢? 4 频率分析的计算方法 欧拉公式满足微积分运算的要求 分别对等式左右求微分 等式两边同时除j 因此,我们说,只要j2=-1,欧拉公式满足微分的计算要求.

29. β=α+θ θ α 4 频率分析的计算方法 欧拉公式满足微积分运算的要求 分别对等式左右求积分 等式两边同时乘j 同样,按照欧拉公式,此等式成立的条件是: -j2=1, 即j2=-1. 也只是实部与虚部的位置换了一下. 因此,只要j2=-1,欧拉公式满足积分的计算要求.

30. 4 频率分析的计算方法 欧拉公式满足微积分运算的要求 因此，对ejωt函数微分（乘jω），等价于三角信号幅值乘ω，相位超前π/2 因此，对ejωt函数积分（乘1/jω），等价于三角信号幅值乘1/ω，相位滞后π/2

31. 4 频率分析的计算方法 积分传递函数与微分传递函数 ？ ？ 令s=jω ？ ？ s=jω

32. 4 频率分析的计算方法 即： so：

33. Ui UR i Q Uo 4 频率分析的计算方法 其实这个式子可以等效于传递函数的如下计算过程： Aej(ωt+φ) CAej(ωt+φ) ejωt jωCAej(ωt+φ) jωRCAej(ωt+φ) 也就是，当我们假设输入为ejωt后，代入模型（传递函数）中计算发现：除了模型中s所扮演的角色由jω替换之外，其他的参数（R、C）没有变化，就能直接得到关于时间变量t的输出函数（尽管这个函数不是一个实函数），而不需要再进行什么反拉斯变换了。

34. 4 频率分析的计算方法 通过传递函数的角度，可以得到了A与Φ的值呢？(解法四) ejωt s=jω 事实上，前面的几何与代数求解法，都是直接与间接令输入信号为ejωt，因为传递函数中，s代表的实质上就是e指数函数的系数，即这里的jω，那么，对于单位幅度的频率信号，可以直接令s=jω，认为传递函数可以变为： φ A

35. 4 频率分析的计算方法 通过传递函数的角度，可以得到了A与Φ的值呢？(解法四) 实部 cos(ωt) 虚部 sin(ωt) 再把计算结果回复过去:实部的归实部,虚部的对应虚部. ejωt s=jω s=jω，理论推导告诉我们，j代表旋转90°，即相位超前90°，因此乘s，即jω不正好代表我们前面提到的三角信号微分的含义吗？

36. 4 频率分析的计算方法 从电路理论的角度，如何得到了A与Φ的值呢？(解法五) 考虑容抗的公式为1/jωC（为什么？），利用电路的分压原理，可得： 五种解法，内在统一，其实是同一种方法的不同表述，你喜欢哪一种呢？你认为哪一种计算起来最简单呢？哪一种理解起来更简单呢？这些问题别人就无能为力了。

37. 4 频率分析的计算方法 电路理论得到了A与Φ值的解释(解法五):模型适当变形 i(t)=A·ej(ωt+Φ) Vi(t)=ejωt UR QC UC QC 把这种简化计算方法进行举一反三，达到生根发芽。 UC

38. 4 频率分析的计算方法 从电路理论的角度，如何得到了A与Φ的值呢？ 很多理论都是具体计算的抽象过程，大学里很多理论公式是高度抽象的结论。但这种高度抽象的结论有时要求我们直接记住，却没有给我们高度抽象的过程(或者很多学生没有耐心去推导与领会这个过程)。这导致我们利用这些结论的时候，不知怎么用，或者一用就错。 这是因为对这个结论的理解没有融入我们自己的思维，如果我们知道了这个结论的抽象过程，并且从内心里对之加以了认可，那么我们运用这个结论是鲜活的，是心甘情愿的，而不再是被动盲目的。

39. 4 频率分析的计算方法 总结： 对于模型计算稳态输出，当输入是三角信号的时候，要先把三角信号转化为ejωt的形式，因为只有这样，模型中的s才能被jω替换，极大地简化了计算，也实现了从几何的旋转运动到代数乘法运算的完美飞跃。 我们前面绕了一大圈回到这里的原因，是因为当输入以sin、cos的形式出现的时候，微积分的运算难以用一个简单的东西去统一表达，所以我们必须先拐一个弯，用ejωt的形式实现统一表达运算（即微分乘jω，积分乘后1/jω ）后，最后通过实部归实部，虚部归虚部的方法，把复函数转化为响应的实函数。

40. 4 频率分析的计算方法 从这个计算结果中,我们得到了什么样的结论呢? 那就是: 即使输入信号幅值相同,如果频率不同,那么输出信号的幅值也不相同（这就是传说中的幅频特性）,且对于如上的一阶RC系统,频率越高,幅值越小. 相位与频率的关系情况,大家可以根据公式具体分析（以后经常要接触到的相频特性，就体现在此公式与含义内）. 其他的系统大家也可以自己分析. 输出信号与R、C以及频率ω的关系，也可以联想我们前面类比的水池冲水问题进行自我思考，看结论是否一致。 仿真不同频率输入信号，输出信号的情况。

41. 4 频率分析的计算方法 F合=mω2Asin(ωt+φ+π) a=ω2Asin(ωt+φ+π) v=ωAsin(ωt+φ+π/2) f(t)=sinωt y(t)=Asin(ωt+φ) F阻=cωAsin(ωt+φ+π/2) F弹=kAsin(ωt+φ) 那么此模型有如下公式的成立：

42. 4 频率分析的计算方法 理解这个公式： 微分一次，相位上相当于超前π/2，等价于向量旋转π/2，也可以认为是乘上一个j，由实部变为虚部一样；幅值上，向量模乘上信号圆频率ω； 积分一次，相位上相当于滞后-π/2，等价于向量旋转-π/2，也可以认为是乘上一个-j或1/j，由实部变为负虚部一样；幅值上，向量模乘上信号圆频率倒数1/ω； 微分两次，相位上相当于超前π，等价于向量旋转π，也可以认为是乘上一个-1，由正实部变为负实部一样；幅值上，向量模乘上ω2； 积分两次，相位上相当于滞后-π，等价于向量旋转-π，也可以认为是乘上一个-1，由正实部变为负实部一样；幅值上，即向量模乘上1/ω2； 微积分三次、四次….,依次类推。对这些理解，你有直觉的感受吗？你是否仅仅停留在数学的证明上呢？能否猜想一下为什么会是这样的？

43. 4 频率分析的计算方法 微积分三次、四次….,依次类推。 微积分的直觉思考与想象上的理解： 微分的直觉思考：信号频率越大，变化越快还是越慢？显然越快，即说明这个信号的微分（或导数）越大，例如速度是位移的导数，那么位移变化越快，证明速度越大。这也解释了为什么微分与ω成正比，频率越大，微分幅值越大； 积分的直觉思考：信号频率越大，正负交替变换的速度是越快还是越慢？显然越快。我们说积分是累加的过程，正如水量是水流的累加。那么水量在什么情况下会累加得更多呢①水流方向变化很快②水量方向变化很慢；显然水量方向变化慢的情况下，会累加得更多，因为它有更长时间在一个方向上的累加。这也解释了为什么积分与ω成反比，频率越大，积分幅值越小；

44. 4 频率分析的计算方法 微积分的直觉思考与想象上的理解： 微积分相位上的变化：为什么微分是超前π/2，积分是滞后π/2呢？可以想象，如果微分是速度，相应的积分就是位移，如果没有速度，哪来位移？速度是因，位移是果。因在前，果在后。 为什么两次微分后，就变成超前π，即反相了呢？是否验证了sin的二阶导为-sin，或j2=-1等等道理呢？ 计算中与欧拉公式的统一 以上是否验证，代表微分符号的s=jω的含义呢？

45. 4 频率分析的计算方法 所以对于二阶系统，的也可直接根据其传递函数求频率响应： 令s=jω，根据解法四 也就得到

46. 微分环节 比例环节 积分环节 5 频率分析的作用与意义 从模型框图中可以看出，UR1与i 成比例； UC1与i 成积分关系； UL1与i 成微分关系； i 电阻、电感与电容两端电压与电流满足如下模型框图形式: UR1 i QC1 UC1 di/dt UL1 注意：输入是三角信号的时候，s的角色可由jω来扮演

47. 微分环节 积分环节 比例环节 i 5 频率分析的作用与意义 总结①高频遇C（积分环节）变小（在C两端电压波动小），低频遇C变大。通高频、阻低频（让高频顺利通过，在其两端不留下任何痕迹）。②高频遇L（微分环节）变大（在L两端电压波动小），低频遇L变小（在L两端波动小，显著地是直流信号在L两端不产生电压差）。 Simulation from RLC3.ms10 电流源：改变电流的频率，观察电阻、电容与电感两端的电压幅值的变化，它们的相位关系。 电压源：改变电流的频率，观察电阻、电容与电感两端的电压幅值的变化，它们的相位关系。

48. i 5 频率分析的作用与意义 信号源：三个不同频率的信号叠加而成，50hz、3khz与200khz。 输出：经过分压后，幅值减半。（看这个框图简化后与分压公式UiR2/(R1+R2)是否一致？） Ui UR1 i UR2 Simulation from RC15.ms10 from fre_ana2.mdl 目的1：我们想在该电路的基础上，去掉输出的高频成分200khz信号，因为电容对高频有抑制作用，所以我们可以加一个电容上去（相当于加了一个小水箱，稳定一下） 输出：仿真可以看出高频成分的200khz基本消失了。

49. iR1 iC1 5 频率分析的作用与意义 目的1：我们想在该电路的基础上，去掉输出的高频成分200khz信号。 输出：仿真可以看出高频成分的200khz基本消失了。 模型框图如下： UR1 Ui iR1 iC1 QC1 UC1 iR2 Simulation from RC15.ms10 from fre_ana2.mdl 结论：从模型框图中可以看出加入电容后，输出信号UC1由积分环节（即乘1/jω）所形成，因此，频率越高，所除的量越大，它本身就变得越小，也就是能抑制高频成分(积分的意义体现)。

50. 5 频率分析的作用与意义 目的2：我们想在该电路的基础上，继续去掉低频成分50hz的信号。 设想：积分可以去掉高频成分，那微分是不是可以去掉低频成分呢？我们可不可以让低频的电流不通过该电路呢？又因为电容可以阻止低频电流，因此电路可以改为： UC1 Ui QC2 iC2 iC1 QC1 UC1 模型框图如图： UR1 iR1 iR2