第二章 物理实验数据的处理方法

1. 第二章物理实验数据的处理方法 一、学习物理实验数据处理方法的意义 二、测量的基本术语及其解释 1.测量 2.测量结果 3.实验标准差 对同一物理量重复测量n次，得到一列数据 （也叫测量列），当 时各个测量值的算术平均值 趋近与真值， 称为总体均值.

2. 而 称为总体标准差。 当n有限时, 的算术平均值 称为样本均值， 可作为 的最佳估计值。 而 的估计值由贝塞尔公式给出 称为测量值的实验标准差，有时也称样本标准差。 4.测量不确定度 最新的定义是：“表征合理地赋予被测量之值的分散性， 与测量结果相联系的参数。”

3. 测量不确定度来源于多个因素，因而它由多个分量组成。其中一些分量可用测量列的统计分布计算，称为A类评定，用实验标准差表征,记为 。另一些分量用不同于统计分布的方法计算，称为B类评定，也用标准差来表征，记为 。 5.合成标准不确定度 在间接测量的情况下，测量结果y是其它直接测得量 的函数 当各 彼此不相关时，按这些量的方差 算得不确定度，称为合成标准不确定度，以 表示 式中 是 的标准不确定度， 是 的传播系数.

4. 6. 扩展不确定度 扩展不确定度是确定测量结果区间的量，在这个区间内，包含了合理赋予被测量量值的大部分。假如测量结果的最佳值为 ，扩展不确定度为U ，则这个区间是指 。 扩展不确定度U 与合成标准不确定度 的区别在于：U 所确定的区间比 所确定的区间有更大的置信概率来包含被测量之值。为了求得扩展不确定度U ，需对合成标准不确定度 乘以包含因子 ，即 ,通常取 。 7. 测量误差 测量结果减去被测量的真值称为测量误差 若以 表示测量结果，以 表示真值，则测量误差为

5. 8. 随机误差 由随机效应导致的误差称为随机误差。 随机误差的量值等于测量结果减去总体均值。若以 表示测量结果， 表示测量列的总体均值，则随机误差可表示为 当测量次数充分多时，各测得值的随机误差分布服从统计规律，主要可归纳为有界性和对称性。 当误差分布呈现正态分布，三角分布和矩形分布时,随机误差还具有单峰性，如图

6. 9. 系统误差 由系统效应导致的误差称为系统误差。 系统误差的量值等于总体均值减去被测量的真值。若以 表示总体均值， 表示真值，则系统误差为 可得 即测量误差等于随机误差与系统误差的代数和。 三. 直接测量的数据处理 在物理实验教学中，直接测量数据处理的一般程序是 (1) 以测量列 为样本 (2) 求出样本均值 作为测量结果的最佳值 (3) 根据样本进行A类评定求出

7. (4) 根据测量仪器的性能进行B类评定，求出 (5) 再求出标准不确定度 (6) 求出扩展不确定度 ，写出结果表达式 具体内容： 1. 测量结果的最佳估计值 测量列 最佳值 2. A类评定 实验标准差 平均值的标准差 A类评定得到的标准不确定度分量

8. 3. B类评定 测量仪器的“最大允许误差”，以 来表示 B类评定得到的标准不确定度分量 4. 标准不确定度和扩展不确定度的计算 的标准不确定度 即 的扩展不确定度 5. 测量结果表达式

9. 6. 直接测量数据处理举例 例1 用 =0.02mm的游标卡尺测某物长度,测量数据是 29.18, 29.24, 29.28, 29.26, 29.22, 29.24 mm 求: （1）样本均值 （2）单次测量值的实验标准差 （3）平均值 的标准差 （4）A类评定的不确定度分量 （5）B类评定的不确定度分量 （6）扩展不确定度U （7）写出测量结果表达式 解： :29.236 666 67 mm :0.034 444 813 4mm :0.014 063 392mm

10. A类分量 0.014 063 392mm B类分量 0.011 547 005mm 扩展不确定度 0.036 392 984mm 测量结果表达式 mm

11. 例2 电压表制造厂说明书说明：仪器校准后1-2年内，在1V内示值最大允许误差为 ，设校准后20月在1V内测量电压，在重复性条件下测得电压的平均值,平均值的标准差为 。试计算出测量结果的扩展不确定度，写出结果表达式。 所以 解：根据说明书 又知 这样 标准不确定度是 扩展不确定度是 测量结果表达式为 还可以写成

12. 例3 某一数字多用表，最大允许误差为 用此仪表测高值电阻共测量10次，数据如下 999.31，999.41, 999.59，999.26，999.54，999.23，999.14， 999.06，999.92，999.62 kΩ 试写出测量结果表达式 解：测量结果 实验标准差 平均值的标准差 由随机效应（读数重复性）引入的不确定度分量按A类评定

13. 由系统效应（仪表准确性）引入的不确定度分量按B类评定由系统效应（仪表准确性）引入的不确定度分量按B类评定 测量结果的标准不确定度 扩展不确定度为 因为的U 首位数是1，所以取两位有效数。 相对扩展不确定度 结果表达式为 也可以写成

14. 四、间接测量的数据处理 被测量y与其他量有函数关系,测量结果由函数计算而得： 在这种情况下，数据处理程序是 (1)用直接测量的数据处理方法分别计算出 和 (2)计算出y的最佳估计值 (3)计算出y的合成标准不确定度 及扩展不确定度U (4)写出结果表达式 具体步骤： 1 .间接测量的最佳值

15. 2. 合成标准不确定度的评定 如果函数f的表现形式为 按不确定度传播律，有 例如一长方体的体积 ，则 的相对合成标准不确定度为

16. 3. 间接测量的结果表达式 还可以写成 4.间接测量的数据处理举例 例1．在20℃条件下，用一级千分尺测量某金属圆柱体的体积，测量数据如下 /cm:1.0071，1.0073，1.0069，1.0078，1.0070，1.0074 /cm :2.0105，2.0110，2.0108，2.0112，2.0104，2.0100 体积计算公式为 ，试写出测量结果表达式。 解： 经统计运算得到

17. 由测量重复性导致的不确定度分量 由千分尺准确性导致的不确定度分量，可根据千分尺的最大 允许误差求出，按GB1216-75规定，量程为25mm的一级千分尺，其最大允许误差 其标准不确定度为 直径 的标准不确定度为 高 的标准不确定度为

18. 体积的最佳估计值 的相对合成标准不确定度为 的相对扩展不确定度为 结果表达式为 表达式还可以写成

19. 例2．间接测得量y与直接测得量x1，x2有如下函数关系，例2．间接测得量y与直接测得量x1，x2有如下函数关系， 已知 试写出y的测量结果表达式。 解 （1）的最佳估计值 （2）扩展不确定度 另一种算法： 式中的 扩展不确定度 （3）测量结果表达式

20. 五、 双变量测量的数据处理 测量中，当待求量有两个时称作双变量测量 一般地说，若两个变量x,y，满足线性关系， 为了求它们的函数关系式 ，只要求出a和b即可。通常做法是在 的一系列不同取值下，测得一系列 值 再根据这n对数据，按着一定的数据处理程序得到两个待求量a和b。这个问题实际上是一元线性方程的回归问题。a称为回归常数，b称为回归系数，最常用的数据处理方法有做图法、逐差法和最小二乘法。

21. 1.作图法 直线应通过观测值的中值点 ;大部分观测点应在直线上，其它观测点均匀分布在该直线的两侧。中值点的坐标是 。画好图之后，在图线上靠近两端取两个坐标点 ，可算出回归系数

22. 若横轴起点为零，则直线与纵轴交点 即是回归常数 若横轴起点不为零，可用下式计算 或 作图的步骤： (1)选择坐标纸的尺寸在坐标纸上画坐标轴，注明单位，标出分度值 (2)根据观测数据计算出 (3)根据观测数据，在坐标纸上逐一描点，数据点的符号为 ＋、⊙、△等，任选其一 、 (4)根据数据点的分布趋势，连结成一条直线（过中值点） (5)在图线上选择“取用点”（非实验点）计算 (6)在图纸的适当部位写上图注,最后将图纸粘贴在实验报告上

23. 2.逐差法 把n对数据分成两组，用第二组的一对数据作被减数，用第一 组相应的一对数据作减数 。利用公式 求出b值. 最佳值是 回归常数为 选用数据的原则： (1) 所有的数据都要用上 (2) 任一数据都不要重复使用 3.最小二乘法(略)

24. 4.双变量测量的数据处理举例 例1 用牛顿环装置测平凸透镜的曲率半径的公式是 式中, ,是钠光波长；k是干涉圆环级次；是 第k级干涉圆环的直径。 测得的数据如下表 试用逐差法求透镜的曲率半径R。 解因为 与k满足线性关系，所以 对k的变化率 ，

25. 为了用逐差法求b，首先列出的数据表： 将k=6.0~10.0分为第一小组，k=11.0~15.0分为第二小组， 逐5相减，则 最佳值 由 得到：

26. 六、有效数字及其运算 1.测读数据的取位 （1）实验仪器或仪表给出仪器的允许误差 时，应读到 仪器误差所在的那一位 。 （2）测量仪器的读数装置带有标尺时，应在标尺的两刻线 间估读一位数，因为仪器的误差往往是分度值的十分之几。 2.运算结果的取位 （1）加减运算 运算结果的末位数的数位应与参与运算的各分量中末位数 的数位最高者相同。 （2）乘除运算 运算结果的有效数字位数与参与运算的各分量中有效数字 位数最少者相同。

27. （3）对数运算 对数的有效数字其小数点后的位数与真数的位数相同。 （4）指数运算 今有 ,运算结果y应按科学计数法表达，其小数点前 取1位数，小数点后的位数与x小数点后的位数相同。 （5）三角函数运算 今有y=sinx,若x的末位是“度”，则y取2位数，若x的末位 为“分”，则y取4位数。 附录1 附录2