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第 19 课　特殊三角形

第 19 课　特殊三角形. 基础知识 自主学习. 要点梳理. 1 ．等腰三角形： (1) 性质： 相等， 相等，底边上的高线、中线、 顶角的角平分线“三线合一”； (2) 判定：有两边相等、两角相等或两线合一的三角形是等腰 三角形． 2 ．等边三角形： (1) 性质： 相等，三内角都等于 ； (2) 判定：三边相等、三内角相等或有一个角是 60° 的等腰三 角形是等边三角形．. 两腰. 两底角. 三边. 60°. A. b c a. c 2.

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第 19 课　特殊三角形

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  1. 第19课　特殊三角形

  2. 基础知识 自主学习 要点梳理 • 1．等腰三角形： • (1)性质：相等，相等，底边上的高线、中线、 • 顶角的角平分线“三线合一”； • (2)判定：有两边相等、两角相等或两线合一的三角形是等腰 • 三角形． • 2．等边三角形： • (1)性质：相等，三内角都等于； • (2)判定：三边相等、三内角相等或有一个角是60°的等腰三 • 角形是等边三角形． 两腰 两底角 三边 60°

  3. A b c a c2 • 3．直角三角形：在△ABC中，∠C＝90°. • (1)性质：边与边的关系：(勾股定理)a2＋b2＝； • (2)角与角的关系：∠A＋∠B＝； • (3)边与角的关系： 若∠A＝30°，则a＝ ____ c，b＝ ____c； • 若a＝ c，则∠A＝30°； • 若∠A＝45°，则a＝b＝____c； • 若a＝b，则∠A＝45°； • 斜边上的中线m＝ c＝R.其中R为三角形外接圆的半径． • (4)判定： 90° C B ①有一个角是直角的三角形是直角三角形； ②如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形； ③如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

  4. [难点正本　疑点清源] • 1．等腰三角形的特殊性 • “等边对等角”是今后我们证明角相等的又一个重要依据．“等 • 角对等边”可以判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明 • 两条线段相等的重要依据． • 等边三角形是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角 • 形，等边三角形拥有等腰三角形的所有性质，但不分顶角、底角、 • 腰、底边．因为等边三角形任何一个角都为60°，任何一条边都 • 可看做腰或底边． • 解答等腰三角形的有关问题时，常作辅助线，构造出“三线合 • 一”的基本图形．在添加辅助线时，要根据具体情况而定，表达辅 • 助线的语句，不能限制条件过多，如一边上的高并且要平分这条 • 边；作一边上的中线并且垂直平分这条边；作一个角的平分线并 • 且垂直对边等等，这些都是不正确的．

  5. 2．直角三角形的特殊性 • 直角三角形是重要的基本图形之一，它的特征和识别应用非 • 常广泛，把勾股定理运用到实际生活中解决实际问题，常常渗透 • 着数形结合、方程思想． • 在利用勾股定理时，一定要看清题中所给的条件是不是直角 • 三角形，所给的边是直角边还是斜边，如果题目无法确定是直角 • 边还是斜边，则需要分类讨论．勾股定理的逆定理是把数转化为 • 形，是通过计算判定一个三角形是否为直角三角形． • 实际问题可根据实际情况转化为直角三角形去解，图中无直 • 角时，可通过添加辅助线来构造直角三角形．若图形中有特殊 • 角，如30°、45°、60°的角，在作辅助线时，要注意保留其完 • 整性，以便应用特殊三角形的性质．

  6. 题型分类 深度剖析 题型一　等腰三角形有关边角的讨论 • 【例 1】(1)方程x2－9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为() • A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定 • 答案　C • 解析　解方程x2－9x＋18＝0，得x1＝3，x2＝6，周长为3＋6＋6＝15，应选C. • (2)如果等腰三角形的一个内角是80°，那么顶角是________度． • 答案　80或20 • 解析　顶角是80°，或当底角是80°时，顶角是180°－2×80°＝20°. • 探究提高　在等腰三角形中，如果没有明确底边和腰，某一边可以是底， • 也可以是腰．同样，某一角可以是底角也可以是顶角，必须仔细分类讨 • 论．

  7. 知能迁移1(1)(2011·烟台)等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为___________________．知能迁移1(1)(2011·烟台)等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为___________________． • 答案　4或6 • 解析　①等腰三角形的底边为4；②等腰三角形的两腰为4时，则底边等于14－4－4＝6.

  8. (2)(2011·株洲)如图， △ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC. • ①求∠ECD的度数； • ②若CE＝5，求BC长． • 解　①∵DE垂直平分AC， • ∴CE＝AE，∠ECD＝∠A＝36°. ②解法一： ∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°. ∵∠ECD＝∠A＝36°， ∴∠BCE＝∠ACB－∠ECD＝36°， ∴∠BEC＝180°－36°－72°＝72°＝∠B， ∴ BC＝EC＝5. 5 • 解法二： • ∵AB＝AC，∠A＝36°， • ∴∠B＝∠ACB＝72°， • ∴∠BEC＝∠A＋∠ECD＝72°， ∴∠BEC＝∠B， ∴BC＝EC＝5.

  9. 题型二　等腰三角形的性质 • 【例 2】　如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，且AE＝BF，试判断△DEF的形状． 归纳小结 • 　作等腰三角形的底边中线，构造等腰三角形“三线合一”的基本图形，是常见的辅助线的作法之一．

  10. 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ • 解：连接AD，在等腰Rt△ABC中， • ∵AD是中线， • ∴AD⊥BC，∠DAE＝∠BAC＝45°，AD＝BD. • 又∵∠B＝∠C＝45°， • ∴∠B＝∠DAE.[2分] • 在△BDF和△ADE中， • ∴△BDF≌△ADE(SAS)．[4分] • ∴DF＝DE，∠1＝∠2. • 又∵∠3＋∠1＝90°， • ∴∠2＋∠3＝90°，即∠EDF＝90°. • ∴△DEF也是等腰直角三角形．[6分]

  11. 知能迁移2　 已知：如图，D是等腰△ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF.当D点在什么位置时，DE＝DF？并加以证明． 解　当点D在BC的中点时，DE＝DF. • 理由如下：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. • ∵DE⊥AB，DF⊥AC， • ∴∠DEB＝∠DFC＝90°. • ∵点D是BC的中点， • ∴BD＝CD， • ∴△BDE≌△CDF(AAS)， • ∴DE＝DF.

  12. 题型三　等边三角形 • 【例 3】(1)已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的度数． 解　∵AP＝PQ＝AQ，∴△APQ是等边三角形． • ∴∠PAQ＝60°，∠APQ＝60°. • ∵AP＝BP，∴∠B＝∠BAP＝×60°＝30°. • 同理：∠C＝∠CAQ＝30°， • ∴∠BAC＝30°＋60°＋30°＝120°.

  13. (2)(2010·大兴安岭)如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边(2)(2010·大兴安岭)如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边 • 三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点 • O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG， • 则下列结论： • ①AE＝BD； • ②AG＝BF； • ③FG∥BE； • ④∠BOC＝∠EOC. • 其中正确结论的个数() • A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D • 归纳小结　在解题的过程中要充分利用等边三角形特有的性质，每个角都相等，每条边都相等，这可以让我们轻松找到证明全等所需的条件．

  14. 解析　由△BCD≌△ACE， • 可得①AE＝BD成立； • 由△ACG≌△BCF， • 可得②AG＝BF成立； • ∵△ACG≌△BCF， • ∴CG＝CF， • 又∠ACD＝60°， • ∴△FCG是等边三角形， • ∴∠CFG＝60°＝∠ACB， • ∴③FG∥BE成立； • 过C画CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别是M、N， • ∵△BCD≌△ACE， • ∴CM＝CN， • ∴点C在∠BOE的角平分线上，OC平分∠BOE， • 即④∠BOC＝∠EOC成立．

  15. 解　(1)在等边△ABC中， • AB＝AC，∠BAC＝∠CBA＝60°， • 又BD＝AE， • ∴△ABD≌△CAE， • ∴AD＝CE. • (2)∵△ABD≌△CAE， • ∴∠BAD＝∠ECA. • ∵∠DFC是△AFC的外角， • ∴∠DFC＝∠ECA＋∠DAC • ＝∠BAD＋∠DAC • ＝∠BAC＝60°. • 知能迁移3　如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F. • (1)求证：AD＝CE； • (2)求∠DFC的度数．

  16. 题型四　直角三角形、勾股定理 • 【例 4】(1)如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且l1、l2之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则AC的长是__________

  17. (2)如图，在钝角三角形ABC中，BC＝9，AB＝17， • AC＝10，AD⊥BC，交BC的延长线于D，求AD • 的长． 17 10 9 • 归纳小结 　在线段的长无法直接求出时，可利用另一线段把这一线段表示出来，然后利用勾股定理得到一个方程，最后得解，这是利用勾股定理解决线段长的常用方法．

  18. 知能迁移4(1)如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5和11，则b的面积为()知能迁移4(1)如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5和11，则b的面积为() • A．4B．6 C．16 D．55 • 答案　C

  19. (2)(2011·鸡西)已知三角形相邻两边长分别为20 cm和 • 30 cm，第三边上的高为10 cm，则此三角形的面积 • 为__________cm2.

  20. 基础自测 • 1．(2011·济宁)如果一个等腰三角形的两边长分别是5 cm和6 cm，那么此三角形的周长是() • A．15 cm B．16 cm • C．17 cm D．16 cm或17 cm • 答案　D • 解析　这个三角形的周长是5＋5＋6＝16或6＋6＋5＝17.

  21. 2．(2011·铜仁)下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是()2．(2011·铜仁)下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是() • A．等腰三角形两底角相等 • B．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互 • 相重合 • C．等腰三角形是中心对称图形 • D．等腰三角形是轴对称图形 • 答案　C • 解析　等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．

  22. 3．(2011·芜湖)如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°， F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为() • A．2 B．4 C．3 D．4 • 答案　B • 解析　在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，可得AD＝BD，易证△BDF≌△ADC，所以DF＝CD＝4.

  23. 5．(2011·鸡西)如图，在Rt△ABC中，AB＝CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连结DE、EF.下列结论：5．(2011·鸡西)如图，在Rt△ABC中，AB＝CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连结DE、EF.下列结论： • ①tan∠ADB＝2； • ②图中有4对全等三角形； • ③若将△DEF沿EF折叠， • 则点D不一定落在AC上； • ④BD＝BF； • ⑤S四边形DFOE＝S△AOF， • 上述结论中正确的个数是() • A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案　C

  24. 答题规范 9．三角形的高可能在形外 • 考题再现　在△ABC中，高AD和高BE相交于H，且BH＝AC，求∠ABC的度数． • 学生作答 • 解：如图1， • 在Rt△BHD和Rt△ACD中， • ∠C＋∠CAD＝90°， • ∠C＋∠HBD＝90°， • ∴∠HBD＝∠CAD. • 又∵BH＝AC，∴△BHD≌△ACD， • ∴BD＝AD. • ∵∠ADB＝90°，∴∠ABC＝45°. 图1

  25. 规范解答 • 解：这里的∠ABC有两种情况，∠ABC是锐角(图1)或 • ∠ABC是钝角(图2)． • 如图2，在Rt△BHD和Rt△ACD中， • 易得∠DCA＝∠DHB. • 又∵AC＝BH， • ∴△DHB≌△DCA， • ∴AD＝DB， • ∴∠DBA＝45°， • ∴∠ABC＝135°. • 综上：∠ABC＝45°或∠ABC＝135°. 图2

  26. 老师忠告 • 1．同学们都知道，三角形的高有可能在形外，但在实际解题中，常因忽略这一点而造成错误．为什么常常会忽略三角形的高可能在形外呢？一个主要原因就是同学们头脑中已形成思维定势，一画三角形就不由自主地画成锐角三角形，从而造成漏解的失误． • 2．在解答几何问题时，如果没有给出具体的图形，都应该先考虑是否有多种情况，有些命题在一种情况下成立是真命题，而在另一种情况下就可能不成立，是假命题．

  27. 10．易出错的等腰三角形问题 • 考题再现　已知△ABC是等腰三角形，由A所引BC边上的高恰好等于BC边长的一半，试求∠BAC的度数． • 学生作答 图3

  28. 规范解答　 • 解：题目中并没有指明BC是等腰△ABC的底或腰． • 当BC为底时，可求得∠BAC＝90°； • 当BC为腰时，还应对∠B的大小进行讨论： 图5 图4

  29. 老师忠告 • 1．对于等腰三角形问题，当给出的条件(如边、角情况)不明时，一般要分情况逐一考察，否则，容易出现错解或漏解的错误． • 2．当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角为直角时，腰上的高与另一腰重合；当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外．这是在解与等腰三角形腰上的高有关的问题时，应考虑的几个方面.

  30. 思想方法 感悟提高 • 方法与技巧 • 1. 掌握分类的思想和方法，可深入理解，有效记忆，便于应 • 用．例如：从三角形三边长的比较，可把三角形分为不等边三角 • 形和等腰三角形，等腰三角形又分为等边三角形和其它等腰三角 • 形；而从最大内角的大小出发，又可以把三角形分为锐角三角形、 • 直角三角形和钝角三角形． • 由于两种分类的标准不同，所以一个具体的三角形，在两种 • 分类中，必各属于其中的一类．如等腰直角三角形，在第一种分 • 类中，属于其它等腰三角形；在第二种分类中，属于直角三角形． • 2. 在一个三角形中“等边对等角，等角对等边”，当所要求证 • 的两边、两角位于同一个三角形中，利用等腰三角形来论证它们的 • 相等关系是常用的方法．

  31. 3. 等腰三角形“三线合一”的性质，运用广泛而又灵活，在于 • 三线中只要有任两线重合，则可判定三角形等腰，即第三线也重 • 合． • 4. 证明等边三角形的方法一般有两种：一是直接论证三边或 • 三角相等；二是先证明是等腰三角形，再证明其中一角为60°. • 5. 在直角三角形中斜边上中线等于斜边的一半，同时这条中 • 线将直角三角形分成了两个等腰三角形，这一特征在解题中时有 • 运用；在直角三角形中，含锐角30°、45°这两类是较为特殊 • 的，它们的边、角有一些特殊的数量关系，应该熟记在心．

  32. 失误与防范 • 1．在解有关等腰三角形的问题时，有一种习惯上的认识，总 • 认为腰大于底，这是造成错解的原因．实际上底也可以大于腰， • 此时也能构成三角形． • 2．有关等腰三角形的问题，若条件中没有明确底和腰时，一 • 般应从某一边是底还是腰这两个方面进行讨论，还要特别注意构 • 成三角形的条件；同样，在底角没有被指定的等腰三角形中，应 • 就某角是顶角还是底角进行讨论．我们要细心谨慎，注意运用分 • 类讨论的方法，将问题考虑全面，不能想当然． • 3．在已知三角形三边的前提下，判断这个三角形是否为直角 • 三角形，首先要确定三条边中的最大边，再根据勾股定理的逆定 • 理来判定．在解题时，往往受思维定式的影响，误认为如果是直 • 角三角形，则c就是斜边，从而造成误解．

  33. 完成考点跟踪训练22

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