第二十章曲线积分

1. 第二十章曲线积分 §1 第一型曲线积分 §2第一型曲线积分

2. §20.1第一型曲线积分 一、第一型曲线积分的概念与性质 二、第一型曲线积分的计算 首页 上页 返回 下页 结束 铃

3. 一、第一型曲线积分的定义 1. 问题的提出 实例:曲线形物体的质量 设曲线形物体Ω，密度函数f(P) 在Ω上连续， 求该物体的质量. 均匀物体的质量= 密度×长度

4. 为计算此物体的质量M,采用 分割: 把曲线 Ω分成 n个可求长度的小曲线段 近似代替: 求和: 取极限:

5. 2. 定义 设L是平面上可求长度的曲线段,f (x,y) 为定义在L上的函数, 对曲线L作分割T，把L分成 n个可求长度的小曲线段 Li ( i = 1, 2, …, n ), Li的弧长记为 Δsi， 分割 T的细度为 在 Li上任取一点 (ξi ,ηi ) ( i = 1, 2, …, n ), 若极限 存在，则称此极限为f (x, y ) 在 L上的第一型曲线积分， 记为

6. 积分弧段 被积函数 积分和式 由定义得，曲线的质量 如果 L 是闭曲线 , 则记为

7. 思考: (1) 若在L上 f (x, y)≡1, (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds  0 , 但定积分中 dx可能为负.

8. 3. 性质 1. 若 i = 1, 2, …, k存在，ci为常数， 则 也存在，且 2. 若曲线L由曲线段 L1 , L2, …, Lk首尾相接而成， 且 i = 1, 2, …, k都存在，则 也存在，且

9. 3. 若 与 都存在， 则 且在 L上 存在，则 4. 若 也存在，且 存在，L的弧长为 s , 则存在常数 c， 5. 若 使得 其中

10. 二、第一型曲线积分的计算 在光滑曲线 定理20.1:设 存在，且 上连续, 则曲线积分

11. 计算： 曲线积分 定积分 (1) 因此积分限必须满足 说明:

12. 例1.计算 其中L: x2+y2=a2, y≥0 解:L: x=acos t, y=asin t, 0≤t≤

13. (2) L：y=y(x), a≤x≤b. 假设 y(x)C1([a, b]). 有 ( a < b ) (3) L：x=x(y), c≤y≤d. 假设 x(y)C1([c, d]). 有 ( c < d ) (4) 方程为极坐标形式: 有

14. 解2： 0≤y≤4 解1： 0≤x≤1. y 4 y2=4x 1 0 x 例2.计算 其中 L 为y2=4x自点(0, 0)到点(1, 2) 的一段弧.

15. y B 2 OA: y=0, 0≤x≤1 A x O 1 例.计算 L: 连接O(0, 0), A(1, 0), B(0, 2)的闭折线OABO. 解：L分段光滑 ds=dx

16. AB: y=22x, 0≤x≤1 y BO: x=0, 0≤y≤2 B 2 x A O 1 ds=dy =2

17. 其中 L 是抛物线 上点 O (0,0) 例.计算 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解:

18. 例5 解

19. 例8 解

21. 设 L是空间可求长曲线段, f ( x, y, z ) 为定义在 L上的函数， L上的第一型曲线积分， 则可类似地定义 f ( x, y, z ) 在空间曲线 并记作 如果 L 是闭曲线 , 则记为

22. 设空间曲线的参数方程为 则

23. 解：直线段 AO 方程： 例4.计算 其中：从点A(3, 2, 1)到点O(0, 0, 0)的直线段. 化成参数方程：x=3t, y=2t, z=t, 0≤t≤1.

24. 例3.计算 其中L为球面 被平面 所截的圆周. 解: 由对称性可知

25. 其中为螺旋线 例. 计算曲线积分 的一段弧. 解:

26. 其中L为双纽线 例. 计算 在第一象限部分. 解:在极坐标系下 其中

27. 例.设均匀螺旋形弹簧L的方程为 求它的重心 . 解: 设其密度为ρ (常数). L的质量 有 设重心坐标为 故重心坐标为

28. 例9 解 (1) L： (2) L：

29. 内容小结 1. 定义 ( l曲线 L 的长度)

30. 2. 计算 • 对光滑曲线弧 • 对光滑曲线弧 • 对光滑曲线弧

31. 推广: