第五节 函数的微分

1. 第五节 函数的微分 一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式与运算法则 四、微分在近似计算中的应用

2. 引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边长由引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边长由 变到 问此薄片面积改变了多少? 时为 高阶无穷小 称为函数在 的微分 一、微分的定义 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 当 x 在 取 得增量 时, 面积的增量为 关于△x的线性主部 故

3. 在点 可微, 则称函数 而 称为 在点 的微分, 例1 设 ，求 处的微分. 这是因为： 具有 形式 是 的高阶无穷小量 所以 在 处的微分是： 定义1: 若函数 在点 的增量可表示为 ( A为不依赖于△x 的常数) 上式可以看成两部分组成， 记作 即 解：

4. 在点 可微的充要条件是 已知 在点 可微 ,则 故 且 在点 的可导, 定理1:函数 即 证明: “必要性”

5. 已知 在点 的可导, 当 时 , 所以 时 与 是等价无穷小, 故当 很小时, 有近似公式 说明: “充分性” 则 即

6. 当 很小时, M T P N 二、微分的几何意义 切线纵坐标的增量 当 时, 记 称 为自变量的微分, 记作 则有 从而 导数也叫作微商

7. 三、基本初等函数的微分公式与运算法则

8. 例1 设 求 运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C为常数) 推论： 解

9. 例2、 求 微分形式 不变 5. 复合函数的微分 分别可微 , 则复合函数 的微分为 解:

10. 例3、设 求 解

11. 在 附近用切线 近似代替曲线 当 很小时, 得近似等式: 使用原则: 四、 微分在近似计算中的应用 特别当 很小时,

12. 可用 ,但是计算量太大，容易出错！还有其他方法吗？ 当r由4米增加到4+0.1米时,V的增加为 例4 一个充好气的气球，半径为4米，升空后，因外部气压降低气球半径增大了10厘米。问气球的体积近似增加了多少？ 解 球的体积公式是 即 而 此处 代入上式得体积近似增加了

13. 很小) 以上公式可以很方便的直接使用， 但是要记得条件是： 要很小哦！ 常用近似公式: 证明: 令 得

14. 内容小结 1. 微分概念 • 微分的定义及几何意义 可微 • 可导 2. 微分运算法则 微分形式不变性 : ( u是自变量或中间变量 ) 近似计算 3. 微分的应用 估计误差