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习题课

习题课. 主要内容 习题举例 学生练习. 主要内容. 数域： P （ ）对四则运算封闭 数环： P （ ） 对加减乘运算封闭 一元多项式：形式表达式 ，第 k 项、第 k 项的系数、首项系数、多项式的次数 多项式的运算： 定义、运算法则、加减乘法运算中的次 数性质，多项式的乘积为零的充要条件、 消去律成立的条件. 带余除法定理：. 多项式的整除性： 整除的定义与性质、多项式的因式、倍式、公因式、最大公因式、最大公因式定理 多项式互素的定义；互素的充要条件、互素的性质.

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Presentation Transcript

  1. 习题课 主要内容 习题举例 学生练习

  2. 主要内容 数域：P（ ）对四则运算封闭 数环：P（ ） 对加减乘运算封闭 一元多项式：形式表达式 ，第k项、第k项的系数、首项系数、多项式的次数 多项式的运算： 定义、运算法则、加减乘法运算中的次 数性质，多项式的乘积为零的充要条件、 消去律成立的条件

  3. 带余除法定理： • 多项式的整除性： • 整除的定义与性质、多项式的因式、倍式、公因式、最大公因式、最大公因式定理 • 多项式互素的定义；互素的充要条件、互素的性质 请你说出其内容

  4. 多项式因式分解定理 • 不可约多项式的定义和性质 • 多项式的标准分解式： • 多项式函数：值、根、零点 • 重因式和重根的定义、性质、判定定理 • 会求两个多项式公共根、一个多项式的重因式和重根。

  5. 复数域、实数域和有理数域上的多项式C：代数基本定理 根与系数的关系 标准分解式R：实系数多项式的虚根成对出现 标准分解式Q：在Q上存在任意阶数的不可约多项式 有理根的求法（有理根的必要条件，不可约的充分条件）

  6. 习题举例 • 1. 证明：反证法 不然 矛盾。 • 2.若 ,则 • 3.叙述并证明实系数多项式的因式分解定理.

  7. 5.设f(x)是一个整系数多项式，如果 f(0)和f(1)都是奇数，则f(x)不能有整数根。 证明：用反证法，设a是f(x)的整数根， 则（x-a)|f(x),从而有f(x)=(x-a)g(x）其中 g(x)是整系数多项式。有条件得到 f(0)=(0-a)g(0) 和 f(1)=(1-a)g(1)都是奇数 而g(0),g(1)是整数,（0-a)与(1-a)的奇偶性相反，从而f(0)和f(1)不可能都是奇数。 假设不成立， f(x)不能有整数根。

  8. 6.证明：多项式 互素的充分必要条件是多项式f(x)和g(x)分别与多项式h(x) 互素。 证明：必要性：由于多项式 互素，有 从而有 即多项式f(x)和g(x)分别与多项式h(x) 互素。 充分性: 如果多项式f(x)和g(x)分别与多项式h(x) 互素,则有

  9. 证明:由于, 所以 是 的公因式, 又因 有 所以 是 的公因式,从而

  10. 证明:用反证法 假设 是可约多项式,就有 令 , 则 与条件矛盾。

  11. 10.证明: 次数大于零且首项系数为1的f(x)是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件为,对任意多项式

  12. 充分性 (反证法)不然 中的标准 分解式为

  13. 11. 证明: 次数大于零且首项系数为1的多项式f(x)是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件是:对任意多项式

  14. 充分性 (反证法)不然 中的标准 分解式为

  15. 学生练习 • 一.填空题

  16. 二.判断题(以下命题是否正确,为什么?)

  17. 三.解答题

  18. 证明题

  19. 如果首项系数为一,有什么结果? • 思 考 题 • 一元n次多项式的根与系数的关系?

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