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离散数学

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离散数学. 计算机系 陈玉泉. 联系方式. 陈玉泉: chen-yq@cs.sjtu.edu.cn Cc.sjtu.edu.cn( 课程网站 ) 离散数学( 2 ) 34204406 电院楼群 3-525 助教:张晨 chase.zhang@sjtu.edu.cn 电院楼群 3-508. 教材和辅导书. 1 、教材: 数理逻辑:莫绍揆,科学文献出版社 离散数学:董晓蕾,机械工业出版社 2 、 辅导书: 数理逻辑与集合论:石纯一,清华大学出版社 图论与代数结构:戴一奇,清华大学出版社

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离散数学

计算机系

陈玉泉

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联系方式
  • 陈玉泉:
    • chen-yq@cs.sjtu.edu.cn
    • Cc.sjtu.edu.cn(课程网站)离散数学(2)
    • 34204406
    • 电院楼群3-525
  • 助教:张晨

chase.zhang@sjtu.edu.cn

电院楼群3-508

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教材和辅导书

1、教材:

数理逻辑:莫绍揆,科学文献出版社

离散数学:董晓蕾,机械工业出版社

2、辅导书:

数理逻辑与集合论:石纯一,清华大学出版社

图论与代数结构:戴一奇,清华大学出版社

数理逻辑教程:莫绍揆,华中工学院出版社。

集论与逻辑:沈恩绍,科学出版社。

Discrete Mathematics and Its Applications,第5版,K. Rosen,机械工业出版社,2003.

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课程说明
  • 讲授内容:
    • 数理逻辑(公理系统)
    • 集合论
    • 代数结构
  • 作业:
    • 每周一交作业
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什么是离散数学?
  • 离散数学(discrete mathematics)是研究离散对象的数学分支.
    • 离散:由分离的元素组成.如自然数集.
      • 相对应的是连续对象. 如实数集.
        • 微积分就是研究连续函数的数学分支.
  • 内容包括:
    • 集合,关系,函数
    • 数理逻辑
    • 图论
    • 抽象代数
    • 组合数学
    • 数论, ……
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为什么学离散数学?
  • 提高数学论证和求解能力
  • 培养抽象思维能力和逻辑推理能力
  • 是计算机科学和技术的数学基础
    • 数据结构,算法,数据库理论,自动机理论,形式语言,编译理论,计算机安全,操作系统,人工智能,数字电路
  • 也是运筹学,化学,工程,生物学等很多领域的数学基础
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数理逻辑与计算机科学
  • 1946年,德国数学家Von Neumann提出计算机模型
  • 计算机模型根植于数理逻辑、图林机与布尔代数。
  • Turing机:数字电子计算机的抽象雏形
  • 布尔代数:设计数字电子计算机的数学工具
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数理逻辑与计算机科学
  • 计算机科学的核心算法
  • 程序设计语言
  • 程序设计方法学
  • 计算复杂性理论

均涉及到数理逻辑的知识和理论

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戴克斯特拉
  • Edsger Wybe Dijkstra (1930-2002)
    • 最伟大的计算机科学家(之一?)
    • “搞了这么多年软件,错误不知犯了多少,现在觉悟了.我想,假如我早年在数理逻辑上好好下点功夫的话,我就不会犯这么多的错误,不少东西逻辑学家早就说了,可我不知道.要是我能年轻二十岁的话,就要回去学逻辑.”
    • 成就很多,例如图论中的Dijkstra最短路径算法
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什么是数理逻辑?
  • 逻辑:是对人类推理过程的研究。
  • 数理逻辑:是用数学的方法对人类推理过程作研究。
  • 数学研究方法:使用符号
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数理逻辑史
  • 数理逻辑前史时期——古典形式逻辑时期
  • 数理逻辑初创时期——逻辑代数时期
  • 数理逻辑奠基时期
  • 数理逻辑发展初期
  • 数理逻辑现代发展时期
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古典形式逻辑时期
  • 亚里士多德 三段论
  • 斯多阿学派的命题逻辑
  • 中世纪的形式逻辑
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古典逻辑
  • 亚里士多德的三段论(syllogism)
    • 从两个前提推出一个结论的逻辑论证形式:

1.大前提(major premise) 人都是两足动物

2.小前提(minor premise) 希腊人都是人

3.结论(conclusion) 希腊人都是两足动物

  • 斯多葛学派(Stoics)的命题逻辑
    • Zeno of Citium于301BC创立的哲学派别
    • Chrysippus发展了Stoic logic
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亚里士多德
  • Aristotle (384BC-322BC)
    • 形式逻辑的奠基人
    • 第一个逻辑学家
    • 三段论:第一个形式演绎逻辑系统
    • 三段论是传统演绎推理的核心,在西方逻辑中一直处于统治地位,直至19世纪被数理逻辑(一阶谓词逻辑)所取代.

附:欧几里德(Euclid,330BC-275BC)的《几何原本》第一次以公理化方式演绎地处理数学.

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逻辑代数时期
  • 数理逻辑产生的时代背景
    • 笛卡尔
    • 霍布斯
  • 数理逻辑创始人——莱布尼兹(Leibniz,1646-1716,德)
  • 莱布尼兹的数理逻辑思想
    • 理性演算
    • 普遍语言
  • 逻辑代数——布尔
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莱布尼茨
  • Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
    • 数理逻辑的先驱
      • 首先使用“数理逻辑”这个术语
  • Leibniz’s Dream:推理归结为符号计算.
    • “普遍语言”和“思维演算”的思想正是数理逻辑的主导思想.
    • “发生争论时我们可以简单地说:让我们计算一下吧,看谁正确.”
  • Russell说:Leibniz未发表手稿中发展的逻辑的水平只在200年后才重新达到.
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布尔
  • George Boole (1815-1864)
    • 数理逻辑创始人之一
      • 如1847年的论文:逻辑的数学分析:论演绎推理的演算法.
    • 首次应用数学(代数)方法研究逻辑,发明了布尔代数(逻辑代数,命题代数,布尔逻辑)
      • 初步实现了Leibniz梦想.
      • 亦可解释成集合代数,开关代数
      • 是计算机数字逻辑的基础

附:Augustus de Morgan (1806-1871)几乎同时独立地做出重要贡献.

Charles Sanders Peirce (1839-1914)发展了这两人的工作.

Ernst Schröder (1841-1902)进一步总结发展前三人的工作.

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数理逻辑奠基时期
  • 逻辑演算的建立和发展——Frege(1848-1925,德)
  • Peano的符号体系
  • 罗素(B.Russell, 1872-1970, 英)的逻辑演算和罗素悖论
  • 逻辑主义学派(Russell)
  • 直觉主义学派(Brower)
  • 形式主义学派(Hilbert)
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弗雷格
  • Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848-1925)
    • 数理逻辑主要创始人
    • 分析哲学,语言哲学创始人
  • 重要著作:Begriffsschrift (1879)
    • 《概念文字:一种模仿算术语言构造的纯思维的形式语言》.
    • 第一个公理化谓词逻辑系统
    • 自Aristotle以来逻辑的最重要进展
    • 基本实现了Leibniz梦想
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数学基础危机(1)
  • 19世纪早期发现数学一直存在缺陷.如:
    • 非欧几何(Lobachevsky,Riemann)
    • 分析(微积分及其扩展)的基础
  • 19世纪后期的公理化运动:去除基于直觉或经验的朴素概念的模糊之处,使数学严密化.如:
    • 算术公理化(Dedekind 1888, Peano 1889)
    • 几何公理化(Hilbert 1899)
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数学基础危机(2)
  • 1900年国际数学大会
    • Poincare:“借助集合论…可以建造数学大厦…今天我们可以宣称绝对的严密已经实现了!”
    • Hilbert则认为还有漏洞.
      • 如23个问题中的2nd:初等算术的协调性.
  • 随后发现了Cantor集合论中的一些悖论:如1902年的罗素悖论.
  • 弗雷格:当大厦竣工时基础却动摇了.
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解决危机的四大派别
  • Russell:逻辑主义,主张从逻辑推出数学.
  • Hilbert:形式主义,对全部数学进行形式化,并证明其协调性.
  • Brouwer:直觉主义.反对排中律,强调构造性.
  • Zermelo:公理化集合论
  • 22
  • 22
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罗素
  • Bertrand Arthur WilliamRussell (1872-1970)
    • 逻辑主义创始人之一
    • 主张从逻辑推出全部数学.
  • 重要论著
    • Principia Mathematica,1910
      • 与Whitehead合著
      • PM系统是完备的命题演算和谓词演算.
      • 逻辑演算的经典系统.
  • 23
  • 23
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希尔伯特
  • David Hilbert (1862-1943)
    • 数理逻辑中形式主义学派
    • 证明论创始人之一
  • Hilbert’s program:将理论至于逻辑演算中加以形式化,重点研究系统中证明的逻辑性质,希望得出系统的协调性.强调证明要使用有穷方法.
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数理逻辑发展初期(20世纪三十年代)
  • Gödel (1906-1978)
    • 完全性定理
    • 不完全性定理
    • 连续统假设的一致性
g del
Gödel不完备性定理
  • Gödel于1931年发表的不完备性定理是对Hilbert’s program的致命一击.
  • 大意:任何足够强的形式系统都有无法证明的真命题.且系统自己不能证明自己无矛盾.
  • 显示了形式化方法的本质局限.
  • 20世纪数理逻辑的顶峰.
  • 有评论说是20世纪最重要的数学定理
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哥德尔
  • Kurt Gödel (1906-1978)
  • 证明了一阶谓词演算的完备性.
    • 实现了Leibniz梦想.
  • 证明了更加重要的成果:不完备性定理.
  • Einstein:自己的工作不再要紧,来研究院只是为了享有和Gödel一起步行回家的特权.
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数理逻辑现代发展时期(20世纪四十年代~)

各种非经典逻辑演算和四论:

  • 集合论(公理集合论)
  • 模型论(形式语言语法与语义间的关系)
  • 递归论(可计算性和可判定性)
  • 证明论(数学本身的无矛盾性)
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公理集合论
  • 研究公理集合论,是整个数学的基础.
  • Cantor的朴素集合论有缺陷
    • Burali-Forti悖论,罗素悖论,Richard悖论,…
  • Ernst Zermelo:第一个公理化集合论(1908)
    • 经Fraenkel(1922)改进成为经典的ZF集合论
    • 避免了罗素悖论
  • Gödel和Paul Cohen(1963)在CH方面的工作
    • CH在ZF系统中不可判定
    • Cohen的新方法(力迫法)让人们证明了许多不可判定的问题.数学绝不是“非真即假”那么单纯!
  • 29
  • 29
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模型论
  • 建立形式理论的模型,研究模型之间的关系等
    • 模型是对形式理论进行具体解释的一种结构.
    • 语法与语义的关系
  • Alfred Tarski奠定了模型论的基础
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递归论
  • 亦称(能行)可计算性理论,研究能行可计算的函数.
    • 从递归函数和图灵机的等价产生可计算函数的概念
  • 代表人物
    • Gödel:递归函数
    • Alonzo Church(丘奇):演算
    • Alan Turing(图灵):图灵机
      • 现代计算机设计思想的创始人之一
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证明论
  • 研究数学理论系统的形式证明问题,即以证明为研究对象,用数学方法分析之.主要关注系统的协调性.
  • 代表人物
    • Hilbert:首先提出
    • Gerhard Gentzen:发展了证明论的重要成果.
      • 证明了算术形式系统的协调性.
        • 系统外证明,且不是有穷主义的.与Gödel的结果不矛盾.
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数理逻辑与计算机科学
  • 计算机图灵机
  • 计算机能做什么,算法是什么可计算性理论
  • 计算机不能做什么 算法不可解问题
  • 逻辑程序设计(Prolog) 谓词逻辑
  • 程序设计语言的语义学模型论
  • 形式规格说明与程序验证模型论
  • AI,知识表示,自动定理证明  逻辑演算
  • 从形式证明产生程序  证明论(Gentzen)
  • ……
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