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§3.3 关于有限群表示的基本定理 3.3.1 幺正化定理

§3.3 关于有限群表示的基本定理 3.3.1 幺正化定理. 定义： 若一个群 G 的表示矩阵都是幺正矩阵，则这个表示称为 G 的幺正表示。 定理 1 ： 群的任何一个表示都可以经过适当的相似变换，而变为与原表示等价的么正表示。. 证：对于给定的表示 D ( G ) ，要找出相似变换 x ，使得： ——① （假定 D 非幺正） 和 ——② 经过相似变换后， 仍为 G 的表示称等价表示。. 将①式代入②式得： R ， S ∈ G 即

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§3.3 关于有限群表示的基本定理 3.3.1 幺正化定理

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  1. §3.3 关于有限群表示的基本定理3.3.1 幺正化定理 定义：若一个群G的表示矩阵都是幺正矩阵，则这个表示称为G的幺正表示。 定理1：群的任何一个表示都可以经过适当的相似变换，而变为与原表示等价的么正表示。 证：对于给定的表示D(G)，要找出相似变换x，使得： ——① （假定D非幺正） 和 ——② 经过相似变换后， 仍为G的表示称等价表示。

  2. 将①式代入②式得：R，S∈G 即 即 ——（*） 据群的性质（和群表示的性质） ∴若能找到x，使 （*）式便成立了，也就证明了定理1。 （重排定理）

  3. 显然，H矩阵是厄来矩阵，总可通过么正的相似变换U使其对角化：显然，H矩阵是厄来矩阵，总可通过么正的相似变换U使其对角化： 若令； 代入(xx+)-1, 而，定理得证。 以后的所有表示均看成幺正表示。 幺正矩阵

  4. 定理2：若群G{A1, A2, …Ak, … Ah}有两组等价的幺正表示： D(1)(A1), D(1)(A2), … D(1)(Ak), … D(1)(Ah) D(2)(A1), D(2)(A2), … D(2)(Ak), … D(2)(Ah) 且有矩阵M (或CM，C为常数) 使得 MD(1)(Ak)M-1= D(2)(Ak)(AkG) 则D(1)(G)和D(2)(G)之间相似变换可以借助于一个么正矩阵来实现。 （证明时用定理：与矩阵元各不相同的对角矩阵可对易的矩阵必为对角矩阵）

  5. 3.3.2 正交定理 Schur引理1：与群的某一不可约表示的所有矩阵可对易的矩阵（M）必为常数矩阵。（此引理对所有群均成立） 证：Ⅰ：若两个矩阵对易AB=BA，则经过相似变换后仍可对易，所以若表示矩阵不是么正，可用一相似变换使它么正，而对易性不变。 所以下面就认为D(R)为么正矩阵。

  6. Ⅱ：若对M加上厄密条件，也不影响结论： 设群G，表示 若 ， 对此式两边取转置共轭： 两边乘 即： 么正，故上式即为： 即：只要M和D(R)对易，必有M+和D(R)对易， 则 都可对易。 H1和H2均为厄密，因此，只要证明D(R)和厄密矩阵H1, H2可对易，则D(R)必和M对易。所以下面就认为M为厄密矩阵。

  7. V-1( )V Ⅲ: 对厄密矩阵M，总有幺正矩阵V，使 d为对角矩阵 么正矩阵之积仍为么正矩阵，故 仍为么正矩阵  得： 证明：

  8. 设对角矩阵d有p个对角矩阵元相等，其他n-p个对角元互不相等，作设对角矩阵d有p个对角矩阵元相等，其他n-p个对角元互不相等，作 这样的x一定存在 这时，上式变为： 即 ，其中 （∵当 ） ∴ 即： 相等

  9. 若对角矩阵元在 i j > p 时，且i和j不相等，则 或当i和j一个大于p，一个小于p时， 而这个矩阵是可约的，同我们假设它不可约矛盾，要使此矩阵不可约，则必有 ，即d为常数矩阵。又由于 。 ∴d也为常数矩阵， 也为常数矩阵。 1, 2 … … … p p+1, … … n 1 2 … p p+1 … … n

  10. Schur引理1：与群的某一不可约表示的所有矩阵可对易的矩阵（M）必为常数矩阵。（此引理对所有群均成立）Schur引理1：与群的某一不可约表示的所有矩阵可对易的矩阵（M）必为常数矩阵。（此引理对所有群均成立） Schur引理1直接应用： ① Abel群的表示矩阵一定是一维的（即常数矩阵），因为它的任何一个元素的表示矩阵必与其它所有矩阵对易。 ② 如某个不是比例于单位矩阵的矩阵(常矩阵），与表示的所有矩阵对易，则此表示是可约的。

  11. Schur引理2：设D(1)(G)和D(2)(G)是群G的两个不等价不可约表示，维数分别为m1和m2，x是一个m1m2矩阵，如果对所有元素RG有： D(1)(R)x = xD(2)(R) —（*） 则必有x = 0。 m1m2 m1m1 证明： 不妨假设D(1)和D(2)均为幺正矩阵，它们不可再约化 对（*）两边取厄米共轭： ∵ D(1)和D(2)么正，故有 即 m2m2 D(1)(R)x = xD(2)(R) ∵R是取遍整个群G，故上式可写成：

  12. 左乘x得： ∵D(1)(R)x = xD(2) (R) ，上式为： 据Schur引理1，xx+必为常数矩阵： ——（**） （ⅰ）当m1=m2时，此时x必为奇异的，即det x = 0，否则据（*）有 D(1)(R)x = xD(2)(R) 即D(1)(R)和D(2)(R) 等价，与假设矛盾，故x是奇异的 ∴对（**）两端求行列式： ∴ = 0又 ∴ x的所有矩阵元均为零（∵i,j均可变） 相当于ij

  13. （ii）当m1m2时, 设m1>m2 可对矩阵x添上m1-m2列零使得x变为x： 且： 显然： ∴ 但 重复(i)的证明可得x=0，（ ∴ x =0） 结论：不同的不可约表示不可能彼此有联系（除非用零矩阵）

  14. 定义：群G的m维线性表示可以看成G的一个矩阵函数，它的每一个矩阵元都是G的一个函数，称为群函数，共有m2个群函数。 正交定理：有限群G的不等价不可约幺正表示的矩阵元素，作为群函数，满足正交关系： ——（Δ） 其中h是群G的阶，mj是表示D(j)(G)的维数。

  15. 证明：设有一mimj矩阵Y，它只有第行第列元素不为零证明：设有一mimj矩阵Y，它只有第行第列元素不为零 即： 定义mimj矩阵X： 则： ——（ΔΔ） 么正 这就是Δ式左边 ——（ΔΔ）

  16. 另一方面 重排定理

  17. 当ij时 ，据schur引理2， （∵S是任取的） 当i=j时，据schur引理1， （∵C常数同Y有关，故同有关） 对（ΔΔ）两边取i=j， =并对求和： E=I (单位矩阵) ∴

  18. z y x 例:两种原子组成的四方晶体的对称操作所组成的群的表示 为方块对角矩阵，为右下角元素组成的1-维不可约表示D(1)及左上角元素组成的2-维不可约表示D(2)，则3-维不可约表示可写成直和的形式： 所以用(x, y, z)为基矢求得的表示是可约化的。

  19. 一维显然表示

  20. 正三角形C3v的不可约表示：

  21. 正交定理：有限群G的不等价不可约么正表示的矩阵元素，作为群函数，满足正交关系：正交定理：有限群G的不等价不可约么正表示的矩阵元素，作为群函数，满足正交关系： ——（Δ） （Δ）左边为两个群函数的内积，内积为零为正交，同一函数的内积称为该函数的模平方。 正交定理指出：作为群函数，群G的不等价不可约表示的矩阵元互相正交，同一不可约么正表示的mj2个矩阵元也互相正交，这些群函数模的平方等于h/mj。

  22. 意为：群G有C套表示： m1维, m2, …mj, …mc 则 （G的阶） 因为有限群的群函数只有h个取值，所以只有h个线性无关的群函数，因此得： Burnside定理：有限群不等价不可约表示维数平方和不大于群的阶数：

  23. 即： mj维表示中线性独立（互相正交）的矢量个数最多只有mj2个，∴所有表示的线性独立的矢量个数 不会超过群空间(无量空间)的维数。 Burnside定理的意义为：mj维的表示中可有mj2个独立的变量，可承担独立的群函数的任务，但它的空间不会大于G的空间，否则必为等价或可约的。 当 时， 变为： 即每个矢量的长度都为

  24. 正三角形C3v的不可约表示： 例 有表示： 显然这套矩阵是不可约的，因为假若是可约的，则这套矩阵必定对易，而现在是不可约的。

  25. 这套表示所构成的矢量有： C3v的h=6，而现只有四个矢量，按Burside定理，还应有两个矢 量，即：{1, 1, 1, 1, 1, 1} 和{1, -1, -1, -1, 1, 1} 长度均为 ，并且同上面四个矢量也是正交的。 这四个矢量长度均为 它们相互正交。 这四个矢量是线性独立的，但也只有四个。

  26. 正交定理：有限群G的不等价不可约么正表示的矩阵元素，作为群函数，满足正交关系：正交定理：有限群G的不等价不可约么正表示的矩阵元素，作为群函数，满足正交关系： ——（Δ） 可以看出：有限群所有不等价不可约表示的矩阵元素D(i)(G)构成群函数的正交完备函数系。任何群函数F(G)都可以按D(i)(G)展开

  27. 3.3.3 特征标的性质和第二正交关系 特征标 这是群元素RG在第j套表示中的特征标。 1）第二正交关系 正交定理 取 =p 和=，并对和求和得： 即 ——第二正交关系 mj

  28. 正三角形C3v的不可约表示：

  29. 2）特征标是相似变换下的不变量，故有： ⅰ）等价表示具有相同的特征标 ⅱ）同一共轭元素类中诸元素具有相同的特征标 （实际上，特征标是类的函数） 证：若S同R共轭，则S=T-1RT，T，S，RG 则 设群G有S个类，第类含b个元素（群元素个数）， 则第二正交关系改写为： ——第二正交关系 （也称第一正交关系）

  30. 同类元素对应的函数值相同称为类函数。 F(R) =F(SRS-1) 对任意S，RG 定理：当群G有S个类时（ b1, b2, …bs），G共有S个独立的类函数f1, f2, …fs, ，它们是类函数空间的完备基。而G的不等价不可约表示特征标1, 2, …s 在类函数空间是完备的，故S=S，故： *有限群的所有不等价不可约表示的特征标，在类函数空间是完备。 *有限群的不等价不可约表示的个数，等于群的类的个数。 *有限群两表示等价的充要条件是所有元素在两表示中的特征标对应相等。

  31. 例如：上面例举的C3v群有三组表示，它也只有三个类。例如：上面例举的C3v群有三组表示，它也只有三个类。 C3v群有三组不可约表示： {1, 1, 1, 1, 1, 1} {1, -1, -1, -1, 1, 1} C3v群的三个类： E自成一类 D、F组成一类 A，B，C组成一类

  32. 3）伴随表示的特征标： 对表示{D(G)}有伴随表示： 用 表示其特征标 ∵同R-1为同一类的元素的特征标均为(R-1)， 因此，有R属于Kr类，R-1属于Kr 类，则 ∵表示是么正的，故： ∴第二正交关系表为

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