第六章梁弯曲时的位移

第六章梁弯曲时的位移 第一节概述第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分第三节叠加法求梁的位移第四节梁的刚度校核提高梁的刚度措施第五节梁内的弯曲应变能

第一节概述 一.研究弯曲变形的目的 1.限制构件的变形，使其满足刚度要求。在工程中，对某些受弯构件，要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证正常工作。工程实例桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。

2.利用弯曲变形 在一些情况下，却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。工程实例车辆上的钢板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。 3.求解超静定问题。

梁弯曲时的位移 F x B1 y 二.基本概念 1.梁的挠曲线deflection curve：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。注:(1)平面弯曲中，挠曲线是一个平面曲线，且连续光滑； (2)梁的挠曲线是弹性曲线；(3)以挠曲线的曲率度量弯曲变形的程度。平面弯曲时，其弯矩与曲率的物理关系: 曲率公式的特征： (1)公式推导中应用了胡克定律，故适用于线弹性范围内。并不计剪力对弯曲变形的影响。 (2)等直梁在纯弯曲时，弯矩为常量，挠曲线的曲率也是常量，其挠曲线是一段圆弧线。 (3)等直梁在横力弯曲时，其曲率与该处的弯矩成正比，曲率是位置坐标的函数。

q F x q v B1 y x ③挠曲线方程：挠度是位置坐标的函数— v=f(x) ④转角方程(小变形下)：转角是位置坐标的函数。转角与挠度的关系— 2.梁位移的度量： ①转角rotation：梁横截面绕中性轴转动的角度q。单位：rad，顺时针转动为正。 ②挠度deflection：梁横截面形心的竖向位移v。单位：mm。向下的挠度为正。

x x y y 第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分一、挠曲线近似微分方程deflection equation 1.力学关系：梁平面弯曲时曲率：曲线 v= f (x) 的曲率为 2.数学依据： 3.挠曲线近似微分方程：

梁弯曲时的位移 1. F A B 二、积分法求梁的挠曲线式中C1、C2为积分常数，由梁边界、连续条件确定。 2.支承条件与连续条件: 1) 支承条件： 2) 连续条件：挠曲线是光滑、连续、唯一的

3.积分法确定梁弯曲变形的步骤： ①建立坐标系，确定支反力。 ②写出弯矩方程；若弯矩不能用一个函数给出,则要分段写出。 ③写出挠曲线近似微分方程，并积分得到转角、挠度函数。 ④利用边界条件、连续条件确定积分常数。如果分 n 段写出弯矩方程，则有 2 n 个积分常数 ⑤代入积分常数，得到转角方程和挠度方程，从而得到各截面上的挠度和转角沿跨长的变化情况。 ⑥确定最大挠度和最大转角。

梁弯曲时的位移 x x qmax fmax y F 例一图示B端作用集中力P的悬臂梁，求其挠曲线方程。解：建立坐标系如图 x处弯矩方程为：

例二求图示梁受集中力F作用时的挠曲线方程。梁弯曲时的位移 F A B C b a l FB FA 解： 1、求支反力

梁挠曲线大致形状的绘制 步骤： (1)绘制梁的弯矩图。 (2)由梁弯矩的变化规律，确定挠曲线曲率的变化规律。由M 的方向确定轴线的凹凸性。 (3)根据梁的支座情况，考虑变形连续光滑性、协调性，确定挠曲线的大致形状及位置。注：挠曲线的曲率与该处的弯矩成正比，弯矩越大，则曲率也最大。

梁弯曲时的位移 第三节叠加法求梁的位移说明： 1.在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。 2.当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。 3.若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各载荷单独作用下的变形，然后叠加。

如图示，要计算三种载荷作用下在某截面如C截面挠度，则可直接查表求出各载荷单独作用下的挠度，然后叠加（代数和）。如图示，要计算三种载荷作用下在某截面如C截面挠度，则可直接查表求出各载荷单独作用下的挠度，然后叠加（代数和）。如果不能直接查表，则要采用分段刚化法将其化成可查表形式。

梁弯曲时的位移 qBF vBP vCq F F q vBq q 例三如图所示悬臂梁，其抗弯刚度EI为常数，求B点转角和挠度。 1.在F作用下： 2.在q作用下： 3.在F和q共同作用下：

例若图示梁B端的转角θB=0，求力偶矩m和P的关系？解：

P B C A P 刚化EI= C vc1 θc1 例7.求外伸梁C处的位移。解：刚化AB P BC引起的位移 B C A L a

vc2 刚化EI= P Pa 刚化BC，AB部分引起的位移 θB2 P B C A θB2

梁弯曲时的位移 第四节梁的刚度校核提高梁的刚度措施一、梁的刚度校核除满足强度条件外，梁的位移也需加以控制，从而保证其正常工作。在土建工程中，通常对梁的挠度加以控制，例如：梁的刚度条件为：通常情况下，强度条件满足，刚度条件一般也满足。但是，当位移限制很严，或按强度条件所选截面过于单薄时，刚度条件也起控制作用。

梁弯曲时的变形 F=35kN A B 2m 2m l=4m M 例四一简支梁受载如图示，已知许用应力[σ]＝160 MPa，许用挠度[δ]=l /500，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢型号。解： 1、作出梁的弯矩图 2、根据弯曲正应力强度条件，要求 3、梁的刚度条件为：由此得由型钢表中查得，NO.22a工字钢的抗弯截面系数Wz＝3.09xl0-4m3 ，惯性矩Iz=3.40x10-5m4，可见．选择NO.22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。

梁弯曲时的变形 q A B l q A B l q A B 二、提高梁的刚度措施 1.增大梁的抗弯刚度 EI；主要增大I值，在截面面积不变的情况下，采用适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远的地方。例如：工字形、箱形等。 2.调整跨长和改变结构；缩短跨长：如将简支梁改为外伸梁；或增加支座等。

梁弯曲时的位移 F vB 第五节梁内的弯曲应变能纯弯曲时梁的弯曲应变能为：横力弯曲时梁的弯曲应变能为：例五计算图示悬臂梁的弯曲应变能，并计算B点的挠度vB，已知梁的弯曲刚度为EI。解： 1、梁任一截面的弯矩为： 2、弯曲应变能为： 3、计算B点的挠度

q A B FB MA q A B 第六节简单超静定梁超静定问题 A q B l 用“多余未知力” 代替“多余”约束，就得到一个形式上的静定梁，该梁称为原静不定梁的相当系统,亦称基本静定系。基本静定系1 基本静定系2

例4.已知:q,l,求图示静不定梁的支反力。 q A B l

q A B l q A B FB 解：将支座B看成多余约束，变形协调条件为：

1、钢筋缠绕一大圆滚筒上，关于钢筋的最大正应力( )。 ③ ①与圆滚筒的半径无关 ②与圆滚筒的半径成正比 ③与圆滚筒的半径近似成反比 ④与圆滚筒的半径严格成反比分析：

2、等抗弯刚度梁发生平面弯曲时，挠曲线的最大曲率在( )处。 ④ ①转角最大 ②挠度最大 ③剪力最大 ④弯矩最大分析：

y x y x y (b) (c) (d) x 3、与小挠度微分方程相对应的坐标系为（）？ ② x y (a) ①、(a)和(c) ②、(a)和(b) ③、(a)和(d) ④、 (c)和(d) 分析：y坐标向下为右边负号

4、多跨静定梁的用二次积分法求变形时，正确的为( )。 ④ ①弯矩方程和挠曲线方程可只分二段 ② C处连续条件为：挠度和转角连续 ③ A处边界条件为：挠度为零，转角不为零 ④弯矩方程和挠曲线方程必须分三段

①按二次积分法为圆弧 ②实际为圆弧 ③按积分法为抛物线，可见圆弧假设是近似 ④以上均不对分析： ② 5、等截面梁纯弯曲时，关于挠曲线 ( )。按积分法为抛物线，因微分方程近似而得。

A B 6.不计自重的圆截面梁，外力作用于自由端，如只有梁的长度增加一倍，外力作用于自由端，则自由端的挠度为原来的（）。 ③ ①2倍 ②4倍 ③8倍 ④16倍分析：

A B 7.不计自重的圆截面梁，外力作用于自由端，如只使外力增加一倍，其他不变，则自由端的挠度为原来的（）。 ② ①2倍 ②4倍 ③8倍 ④16倍分析：

A C B 8.弯曲刚度为EI梁，正确说法为（）。 ④ ①A、B、C处转角相等 ②B、C处转角不相等 ③B处挠度为C处的二倍 ④B处和C处转角相同

A C B ② 9.弯曲刚度为EI的梁， B处转角等于（）。 ① ② ③ ④

10.图示力偶矩 ,则梁B端的转角为（ ）。 A ①、 ②、 ③、 ④ 、

11.一等截面悬臂梁，在均匀自重作用下， 自由端的挠度与（）。 ④ ①梁的长度成正比 ②梁的长度的平方成正比 ③梁的长度的立方成正比 ④梁的长度的四次方成正比分析：

11.简支梁，一为钢梁，另一为铝梁。两者长度，刚度都相同，不计自重下， 跨中在相同的外力作用下，二者的（）不同。 ④ ①最大挠度 ②最大转角 ③约束反力 ④最大正应力分析： ③显然不选; ①、 ②性质上并列

分析：

12.一水平梁的挠曲线方程为 则（）。 ④ ①梁的弯矩图为圆弧部分 ② 梁的弯矩图为抛物线部分 ③梁的弯矩图为斜直线 ④ 以上均不对

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