polinomska interpolacija n.
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
POLINOMSKA INTERPOLACIJA PowerPoint Presentation
Download Presentation
POLINOMSKA INTERPOLACIJA

play fullscreen
1 / 14
Download Presentation

POLINOMSKA INTERPOLACIJA - PowerPoint PPT Presentation

262 Views
Download Presentation

POLINOMSKA INTERPOLACIJA

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

  1. POLINOMSKA INTERPOLACIJA

  2. Interpolacioni polinom: Interpolacioni zahtevi:

  3. - polinom stepena ne većeg od n sa osobinom Greška interpolacije: Interpolacioni polinomi: - za neekvidistantne čvorove - za ekvidistantne čvorove 1. LAGRANŽOV INTERPOLACIONI POLINOM

  4. 2. NJUTNOV INTERPOLACIONI POLINOM ZA NEEKVIDISTANTNE ČVOROVE Podeljene razlike: , ( prvog reda u čvoru ) , ( k-tog reda u čvoru ) Lema ( veza podeljenih razlika i vrednosti funkcije ): Npr. ( Dokaz leme možete pogledati na strani 121 )

  5. Teorema 1.: Neka je funkcija definisana na segmentu . Dalje neka su različite tačke segmenta . Polinom stepena n kojim se funkcija f interpolira u čvorovima je Osobine podeljenih razlika: 1. 2. Podeljena razlika je simetrična funkcija čvorova, što znači da redosled čvorova nije važan Oblik Njutnovog polinoma:

  6. Poredeći ovu jednakost sa (1), za dobijamo Dokaz: Razmotrimo grešku interpolacije Lagranžovim interpolacionim polinomom stepena k tj. Razmotrimo razliku (1) Razlika je polinom stepena k+1, čije su nule čvorovi jer je . Zbog toga je (2) Ako poslednju jednakost napišemo za i uzmemo u obzir da je dobićemo

  7. (3) Iz (2) i (3) sledi da je Iz jednakosti sledi da je

  8. OCENA GREŠKE POLINOMSKE INTERPOLACIJE (T1) Teorema 2.: Neka segment sadrži svih n+1 čvorova interpolacije . Neka je, dalje . Tada, za proizvoljno , postoji takvo da je

  9. Dokaz: Neka je proizvoljan ali fiksiran element i gde je K konstanta određena tako da je . Za tako izabranu konstantu K funkcija g ima n+2 nule na segmentu . Rolova teorema nam daje: - ima bar n+1 nulu na segmentu - ima bar n+2 nule na segmentu ... - ima bar jednu nulu na segmentu - postoji takvo da je tj. odakle je za neko . Iz prethodnog sledi da je

  10. KONAČNE RAZLIKE Definicija: Ako i , onda je konačna razlika prvog reda u tački x. Konačne razlike višeg reda: Ako je onda je Veza između podeljenih i konačnih razlika Lema: Neka je . Tada je za

  11. Pretpostavimo da je za neko m<n. Dokaz: Tada je Njutnov interpolacioni polinom za ekvidistantne čvorove smena:

  12. Prema tome je: Inverzna interpolacija Zadatak: rešavanje po x jednačine f(x)=y ako je data tabelarno 1. f je monotona: postoji i može se aproksimirati npr. Lagranžovim interpolacionim polinomom:

  13. Takođe, 2. f nije monotona: (alg. jedn. n - tog stepena) Čvorovi ekvidistantni