广义相对论课堂三几何物理（继续）

广义相对论课堂三几何物理（继续） 2011.9.16

课程安排 • 上交作业：第一次！每周五课前； • 复习内容：特征参数、球面几何 • 新内容：球面几何（续）、几何与坐标、测量、时空图 • 学习要求：测地线偏离决定曲率的直观几何分析、球面三角面积公式、线元与度规 • 作业：主页周六上午更新；

交作业 • 每周五课前 • 整个学期允许最多2次迟交——有正当理由 • 否则扣分 • 最好散张纸、不要厚本子

参考书补充 梁灿彬——应用数学专业（包括数学物理）——质量过硬！李淑娴翻译MTW 台湾出版 General Relativity Without Calculus: A Concise Introduction to the Geometry of Relativity电子书公理化《GR in a nutshell》

教与学——策略——复习 • 艾宾浩斯记忆曲线——Buzan复习曲线 • ——2个pdf页面 • 螺旋式“上升”，由浅入深（Hartle优点） • 定性定量；直观几何抽象代数；归纳演绎；数学与物理剥离学习；理论与实验 • 讲课2-3次、作业1-2、测试1

回顾：特征参数GM/RC^2 • 无量纲 • 能量比值：牛顿/相对论性 • 相对论性vs牛顿：加强 • Martin J. Rees科普《Just Six Numbers: The Deep Forces That Shape The Universe (May 8, 2001) 》星系团/h Mpc，30个星系10^14/h太阳质量（千亿颗10^11）第五个数10^-5 • 补充习题3.6

Martin Rees • 理论宇宙学家、天体物理学家 • 理论预言1966年视超光速pp.61 Box4.3、CMB偏振 • Dennis Sciama—Dirac—Fowler—Chandra • Role model——文献如数家珍--Alan Guth

思路总结 • spacetime tells mass how to move and mass tells spacetime how to curve ----John A. Wheeler

弯曲时空=引力场——引力的度规理论：GR • 弯曲时空3+1维 • 1维，内禀无曲率 • 2维，最简单球面

模式：从欧式到非欧几何

测地线间隔（偏移）变化曲率

球面：初始平行 • 局域平面上平行 • 赤道开始，两经圈切矢量 • 第20章

球面——比较平面几何 • 点——南北极点=对极点（共轭）、赤道圈上 • 直线=大圆弧——经度圈、赤道圈 • 距离=短大圆弧 • 角=长度比 • 平行——no • 三角——二角形 • 圆circle——内禀、周径比 • 技巧：无量纲化，半径=单位长度

车轭——颈脖处 • 共轭——球面的直径 • 习题6.12、8.2——二阶变分 • 分析力学主要用的数学工具是泛函变分分析（变分法、路径积分），入门讲的最好的是以下几本数学方法书——电子书时：Michio Masujima,Applied mathematical methods in theoretical physicsHassani Sadri, Mathematical Methods For Students of Physics and Related Fields, Springer 2009 2nd EditionRiley Hobson 2002 Mathematical Methods For Physics

球面三角

球面三角面积公式——推导 • 对极点，共轭二角形、共轭三角形 • 二面角A+B+C向外=半个球面（ABA’B’右半）+三角形重复一次+对顶三角形A’B’C’

球面三角面积公式推论 • 1、多边形 • 2、全等4+1种（SSS、SAS、AAS、ASA，AAA3） • 3、不全等而相似——不再有 • 4、大小：内角和、面积减小或半径增大——Gauss测量实验 • 5、地图变形vs理想地图投影2方面——a、保证直线，b、保角/形变换

黎曼几何 • Hartle 土豆面 • MTW 船——由测量决定、精度！ • 局域平面——Gauss • 3+ ——Riemann

微分几何 • 点集拓扑 • 微分拓扑——流形 • 仿射几何 • 黎曼几何 • MTW part III • 事实上，微积分基础，例如Jacobi变换

线元——距离决定几何，坐标系是次要的！ • 平面，微分，勾股定理 • 球面 • 1、几何完全由一个函数——线元——决定，线元给出2个相邻点距离。 • 2、沿着路径paths的距离=（黎曼）线积分 • 3、直线=最短程线（路径） • 4、一个弧arc所张角=弧长/弧到弧心（弧所在圆的圆心）距离 • 5、面积和体积=面元和体元的多重积分7.6

球面几何djvu42

几何与坐标 • 几何是本质——（坐标变换）不变性！——Klein变换几何、变分原理 • 坐标是人为引入，为了理论计算——对比实验测量结果——模式 • 例：Pi=周径比

坐标 Orthogonal正交=independent vs skew 斜交 Coordinate grids (latticework) coordinates origin

What is the single most important thing you have learned about thus and so? • ----John Wheeler, • Few questions focus the mind so clearly. • ----《BLACK HOLES AND TIME WARPS 》

Wheeler's first moral principle • "Never make a calculation until you know the answer". • Make an estimate before every calculation, try a simple physical argument (symmetry! invariance! conservation!) before every derivation, guess the answer to every paradox and puzzle. Courage: No one else needs to know what the guess is. Therefore make it quickly, by instinct. A right guess reinforces this instinct. A wrong guess brings the refreshment of surprise. In either case life as a spacetime expert, however long, is more fun!出自E.F. Taylor and J.A. Wheeler, Spacetime Physics, W.H. Freeman and Company, New York, 1992, Second edition, p.20 • 更一般表述Wheeler's First Moral Principle: "Know the answer before you begin the problem". • 最开始只能裸猜，慢慢能形成物理感觉，频繁总结修正调动培养，最后形成直觉。Einstein就是将这个做到极致。实验物理学家同样需要。这也是好教师和好教材的重要地方之一：将最重要最常用的简单例子讲透彻，能培养对复杂问题的洞察力。

Wheeler's first moral principle • "Never make a calculation until you know the answer". • "Know the answer before you begin the problem". • 直觉 • 方向最重要

课堂讨论 不清楚立即打断或问清反应要快——2秒发言大声发言前报（系别、）姓名，如：我是（近代物理系）章一超

Einstein火车思想实验 • 你认为测量是如何进行的？

由测量决定 • 非欧几何是可能的物理空间（3维位形空间） • 牛顿第一定律 • 同时相对性 • Heisenberg原子频率vs电子轨迹

时空图 坐标图——区分x-y坐标图！！！技术、工具；表达、阐述、澄清 Feynman图<——John Archibald Wheeler 热学——相图 c=1 附录A必读！ ict MTW Box 2.1 ；习题解答5.11

学习目标 • 1、测地线偏离决定曲率的直观几何分析——中学生能听懂 • 2、球面三角面积公式及其推论 • 3、线元与度规 • 4、几何与坐标——一体两面

广义相对论课堂三 几何物理（继续）