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三垂线定理. 漳州第一中学 李两火. l. D 1. C 1. M. A 1. B 1. D. C. A. B. 思考下面问题:. 如图,在长方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 的实木中,如何过上底面内的一点 M ,在上底面内画一条直线 l , 使它与 AM 垂直?. P. A. O. . a. 三垂线定理. 在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 已知 : PO 、 PA 分别是平面 的垂线、斜线, AO 是 PA 在平面内的射影, a   , a ⊥ AO .

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Presentation Transcript
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三垂线定理

漳州第一中学 李两火

slide2

l

D1

C1

M

A1

B1

D

C

A

B

思考下面问题:

如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1的实木中,如何过上底面内的一点M,在上底面内画一条直线l,使它与AM垂直?

slide3

P

A

O

a

三垂线定理

在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.

已知 :PO、PA分别是平面的垂线、斜线,AO是PA在平面内的射影,a ,a⊥ AO.

求证: a ⊥ PA.

slide4

P

A

O

a

三垂线定理的逆定理

在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.

已知:PO、PA分别

是平面 的垂线和斜线,

AO是PA在平面 内的射

影, a   ,a⊥PA.

求证:a ⊥AO.

slide5

P

A

C

O

B

例1、在空间四边形PABC中,P在底面ABC内的射影

为O ,若PA⊥BC,PC⊥AB.

求证: O是△ABC的垂心,且PB⊥ AC.

slide6

P

A

C

O

B

变式1:在空间四边形PABC中, P在底面ABC内的射

影为O ,若O是△ABC的垂心,求证:

(1)PA⊥BC,PC⊥AB,PB ⊥ AC.

(2)A在面PBC内的射影也是△PBC的垂心.

证明:(1)连接AO,BO,CO,

由题意知PO⊥平面ABC,

则AO,BO,CO分别为PA,

PB,PC在平面ABC上的射影,

∵O是△ ABC的垂心,

∴OA⊥BC,于是PA⊥BC,

同理PC⊥AB,PB ⊥ AC.

slide7

P

A

C

O

B

变式2:若P为平面ABC 外一点,且PA、PB、PC两两

互相垂直,则点P在底面ABC内的射影为O为 △ABC的 ( )

(A)外心(B)内心 (C)垂心 (D)重心

slide8

A

H

P

C

B

变式3:已知A是平面PBC 外一点, AP⊥平面 PBC , PC ⊥ PB,且点P在平面ABC内的射影为H.

求证: H为△ABC的垂心.

slide9

A

H

P

C

B

变式4:已知A是平面PBC 外一点, AP⊥平面 PBC ,

且△PBC是锐角三角形,点P在平面ABC内的

射影为H.

问:点H能否是△ABC的垂心?证明你的结论.

slide10

P

F

E

C

A

B

例2、已知P 是平面ABC 外一点, PA⊥平面 ABC , AB ⊥ BC,且点A在PB、PC上的射影分别为

E、F.

求证:EF ⊥ PC.

slide11

P

D

A

C

B

E

例3、已知ABCD为长方形,且AB=1,BC=a (a>0) ,

PA⊥平面ABCD ,在BC边上是否存在点E,

使得PE⊥ DE ?若存在,请求出a的取值范围; 若不存在,请说明理由.

4 abcd pa abcd m n ab pc 1 mn cd 2 pa ad mn pcd

P

N

A

D

M

B

C

例4、已知ABCD为矩形,PA ⊥平面ABCD,M,N分别是AB、PC的中点.(1)求证:MN ⊥CD; (2)若PA=AD,求证:MN ⊥平面PCD.
slide13

定 理

线射垂直 线斜垂直

逆定理

课堂小结:

三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.

三垂线定理的逆定理 :在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.

slide14

作业:

1.《课本》P25 6

2.《课时训练》P25 三. 1

3.《教学测试》P210 8