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第二章 行列式

第二章 行列式 . 第一节 行列式的概念 第二节 行列式值的计算 第三节 若干应用. 第一节 行列式的概念. 2.1.1 行列式的概念 2.1.2 行列式的性质. 返回. 2.1.1 行列式的概念. 例1 我们知道二、三阶行列式可以分别表示为 = a 11 a 22 -a 12 a 21 = - + = a 11 a 22 a 33 +a 13 a 21 a 32 +a 12 a 23 a 31

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第二章 行列式

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Presentation Transcript

  1. 第二章 行列式 • 第一节 行列式的概念 • 第二节 行列式值的计算 • 第三节 若干应用

  2. 第一节 行列式的概念 • 2.1.1 行列式的概念 • 2.1.2 行列式的性质 返回

  3. 2.1.1 行列式的概念 • 例1 我们知道二、三阶行列式可以分别表示为 =a11a22-a12a21 = - + =a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31 -a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31

  4. 定义1 对任一n阶矩阵 (2-1) 用 （2-2）式表示一个与A相联 系的数，常称表达式(2-2)为A的行列式，记作 detA, 而把相联的那个数称此行列式的值.把A 的行或列称为detA的行或列.

  5. 定义2 对（2-1）的n阶矩阵A，把删去第i行第j列后得到的(n-1)阶子矩阵称为A对应元素的余子矩阵，并以Sij记之. • 定义3 对n阶矩阵A或n阶行列式detA，称detSij为aij的余子式，而称(-1)i+jdetSij为aij的代数余子式，记作Aij，即 Aij (-1)i+jdetSij

  6. 例2 对于3阶行列式 A11=(-1)1+1detS11= =4 A12=(-1)1+2detS12= =1

  7. 定义4n阶行列式的值定义写成 detA= (2-3) 其中A1k是a1k对A的代数余子式. 返回

  8. 2.1.2 行列式的性质 • 定理1 对n阶矩阵A，有 detA= ( ) • 推论 将行列式的各行依次换成同序号的列，其值不变，即行列式通过转置，其值不变： (detA) detAT=detA

  9. 定理2 对换两列（或行）的位置，行列式值反号： det[a1,…,ai,…,aj,…an] =(-1)det[a1,…,aj,…,ai,…an] • 推论 有两列（或行）全同的行列式，其值为零.

  10. 定理3 数 乘行列式detA，等于用 乘它的某一列（或行）的所有元： det[a1,…,ai,…an]=det[a1,…, ai,…,an] • 推论1 一列（或行）元全为零的行列式值为零. • 推论2 若有两列（或行）元对应成比例，行列式值为零. • 推论3 对n阶矩阵A，有det A=( )ndetA.

  11. 定理4 若将detA的某一列（或行）ai写成两个向量之和，ai=ci+di,则detA等于两个行列式之和，这两个行列式分别是在detA中用ci及di代替ai的结果， det[a1,…,ai,…,an]=det[a1,…,ci+di,…,an] =det[a1,…,ci,…,an]+ det[a1,…,di,…,an] • 推论 将行列式的某一列（或行）的任意 倍加到另一列（或行）去，值不变.

  12. 例3 计算下列行列式 ， ， 解：利用行列式等值变形法则，可使行列式计算得到极大的简化.

  13. = =45 =(b-a)(c-a)(c-b)

  14. 定理5 对于n阶行列式detA，有 detA= (i=1,…,n) ( ) detA= (j=1,…,n) ( ) 两组等式表明行列式可按任意第i行或第j列 展开计算，而( )是其j=1的特款.

  15. 定理6 对于n阶行列式detA， 若i k，有 =0 ( ) 若j k，有 =0 ( ) 两组等式分别表明一个行列式的某行（或列） 之元与另一行（或列）对应元的代数余子式乘 积之和等于零.

  16. 定理7 若A,B是两个同阶方阵， 则det(AB)=detAdetB 返回

  17. 第二节 行列式值的计算 返回

  18. 例1若 计算 的值. • 解：

  19. 例2 计算D= • 解： = =6 =6=6=68=48 返回

  20. 第三节 若干应用 • 2.3.1 伴随矩阵 逆阵公式 • 2.3.2 Cramer 法则 返回

  21. 2.3.1 伴随矩阵 逆阵公式 • 定义5 对任一n阶矩阵A=(aij)，用A*记与之同阶的伴随阵，有A*[Aij]T ,其中Aij是元aij在A中的代数余子式.

  22. 例1 设A= ,求A*. • 解：A11=(-1)1+1 =10 A12=(-1)1+2 =-1 A13=(-1)1+3 =3

  23. A21=(-1)2+1 =-8 A22=(-1)2+2 =4 A23=(-1)2+3 =-4 A31=(-1)3+1 =2 A32=(-1)3+2 =-1 A33=(-1)3+3 =3

  24. A*= =

  25. 定理8 设A是n阶矩阵，A*为其伴随矩阵，则有 AA*= A*A=(detA)E (2-8) 证 因为 AA*=

  26. = =

  27. 其中每一个求和号，均是对i自1到n求和. AA*==(detA)I 用类似的方法，可推得 A*A=(detA)I

  28. 例2(续)

  29. 定理9n阶矩阵A为可逆阵的充分必要条件是detA 0，此时有逆阵公式 A-1= A* (2-9) • 证 必要性 因A可逆，故有A-1使成立AA-1=I 利用行列式乘法定理，得 detAdetA-1=1 故必detA 0，由此可推知detA-1=(detA)-1.

  30. 充分性 由（2-8）知 A*A= A A* =(detA)I 当detA 0时，可得 ( A*)A=A A*=I 由逆矩阵的唯一性，即知(2-9)是成立的.

  31. 例5判断矩阵 是否可逆？若可逆， 则求出 . • 解:首先计算的行列式值，由例2知 故 为可逆.按公式(2-9)计算 ，

  32. 可利用上例算出的伴随矩阵，有

  33. 加6`： 回忆第一章例5引入的炼油厂模型，要确定它们的生产能力，以及满足对燃料油、柴油和汽油的需求. 现在让我们对线性方程组（1-7）的系数矩阵求逆.

  34. 若我们已知炼油厂方程组的新右端向量为 那么可通过计算x*=A-1b*可得新解 x*=A-1b*= 返回

  35. 2.3.2 Cramer法则 • 定理10 对nn线性代数方程组Ax=b，当系数行列式 detA 0时，有唯一解 x1= ，x2= ，…，xn= • 推论1 对于nn齐次线性代数方程组 Ax=0 当detA 0时，只有一组零解（未知数全取零值的解） x1=0,x2=0,…,xn=0

  36. 定义6 齐次方程组的零解为平凡解. • 定义7 各个xi不全为零的解为非平凡解或非零解. • 推论2 若nn齐次线性代数方程 Ax=0有非零解，则必detA=0.

  37. 例8讨论线性代数方程组 的解. • 解利用例2的计算结果

  38. 按Cramer法则，方程组有唯一解，此时 返回

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