第三章曲线拟合的最小二乘法

第三章曲线拟合的最小二乘法

3.1.最小二乘法的提法 需要从一组给定的数据中，寻找自变量X与变量y之间的关系例：60年代世界人口增长情况如下：年 1960 1961 1963 1964 1965 1966 1967 1968 人口 30.61 31.51 32.13 32.34 32.85 33.56 34.20 34.83 有人根据以上数据预测2000人口会超过60亿，现在已经成为现实

给出一组离散点，确定一个函数逼近原函数，插值是这样的一种手段。在实际中，数据不可避免的会有误差，插值函数会将这些误差也包括在内。给出一组离散点，确定一个函数逼近原函数，插值是这样的一种手段。在实际中，数据不可避免的会有误差，插值函数会将这些误差也包括在内。问题：因此，我们需要一种新的逼近原函数的手段： ①不要求过所有的点（可以消除误差影响）； ②尽可能表现数据的趋势，靠近这些点。设近似函数为：函数值与观测值之差称为残差可以用残差来衡量近似函数的好坏

3.2.1多项式拟合 设已知点求m次多项式来拟合函数需要求出多项式的m+1个待定系数即可，且使得以下函数值达到最小 F（a0，a1，…，am）= = 拟合问题的几何背景是寻求一条近似通过给定离散点的曲线，故称曲线拟合问题。

要是函数值达到最小，由高等数学知识有： 即 j=0，1，2，…，m 于是得到法方程可以证明该方程组有唯一解

例1：求数据 xi－1 －0.75 －0.5 －0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 yi－0.2209 0.3295 0.8826 1.4392 2.0003 2.5645 3.1334 3.7601 4.2836 的最小二乘二次拟合多项式。解：设二次拟合多项式为P2（x）=a0＋a1x＋a2x2，将数据代入得线性方程组解得最小二乘二次拟合多项式为 P2（x）=2.0034＋2.2625x＋0.0378x2

法方程组的一般形式： 法方程组可写成以下形式令则法方程系数矩阵为：常数项为：

由，可以先做 3.2.2 指数拟合对已知点在坐标上描点，这些点若近似一条指数曲线，则考虑用指数函数来拟合可以先做出的一次线性拟合例2设一发射源强度公式为观测数据如下 ti 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Ii 3.16 2.38 1.75 1.34 1.00 0.74 0.56 试用最小二乘法确定I与t的关系式。

解：将观测数据化为 ti 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 lnIi 1.1506 0.8671 0.5596 0.2827 0.0000 －0.3011 －0.5798 求最小二乘拟合直线，代入法方程公式得：解得所以 I0= =5.64 a=－2.89 则 I=5.64e－2.89t

3.2.3 最小二乘法一般形式 为线性无关的基函数求驻点，令即令 j，k=0，1，2，…，m j=0，1，2，…，m

① ② 则法方程组可写成以下形式函数空间的基然后列出法方程函数空间的基然后列出法方程

，然后列出法方程 解：函数空间的基例3

由，可以先做

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