slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
KFY/PMFCH PowerPoint Presentation
Download Presentation
KFY/PMFCH

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 12

KFY/PMFCH - PowerPoint PPT Presentation


  • 111 Views
  • Uploaded on

Lekce 10 Metoda Monte Carlo I Úvod. Osnova 1. Princip metody 2. Numerický výpočet integrálů 3. Metropolisův algoritmus 4. „Počáteční“ podmínka 5. Varianty metody MC 6. MC simulace. KFY/PMFCH. Lekce 10 – Metoda Monte Carlo I. Princip metody.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'KFY/PMFCH' - melyssa-bauer


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

Lekce 10Metoda Monte Carlo IÚvod

Osnova

1. Princip metody

2. Numerický výpočet integrálů

3. Metropolisův algoritmus

4. „Počáteční“ podmínka

5. Varianty metody MC

6. MC simulace

KFY/PMFCH

Lekce 10 – Metoda Monte Carlo I

slide2

Princip metody

Termodynamické (makroskopické) parametry počítáme jako souborové střední hodnoty parametrů dynamických (mikroskopických) - viz lekce 4,

V užším slova smyslu s MC spojujeme kanonický soubor

Obvykle je možná separace integrace přes impulsy a souřadnice, integrace přes impulsy je možno provést analyticky

V kanonickém souboru

Výpočet souborové střední hodnoty je matematicky výpočtem 3N-rozměrného integrálu.

KFY/PMFCH

Lekce 10 – Metoda Monte Carlo I

slide3

Numerický výpočet integrálů

Jednorozměrné integrály

Široká škála metod, např. metoda obdélníková

Zobecněním obdélníkové metody je metoda „crude“ Monte Carlo

kde body xi jsou náhodně vybírány z intervalu

Obdélníková metoda – rovnoměrně rozmístěnébody, „crude“ MC metoda – náhodně rozmístěné body.

Problém: Jak náhodně vybrat body ze zadaného intervalu? Viz lekce 12.

KFY/PMFCH

Lekce 10 – Metoda Monte Carlo I

slide4

Numerický výpočet integrálů

Jednorozměrné integrály

Porovnání výpočtu metodou obdélníkovou a „crude“ MC.

Závěry- nevýhoda : „crude“ MC méně přesná než obdélníková metoda, - výhoda : výpočet možno průběžně monitorovat a operativně ukončit.

KFY/PMFCH

Lekce 10 – Metoda Monte Carlo I

slide5

Numerický výpočet integrálů

Vícerozměrné integrály

Deterministické metody (zobecnění metody obdélníkové, lichoběžníkové atd.) jsou použitelné jen pro nízké dimenze ( 12), v případě mnohorozměrných integrálů nic jiného než MC použít nelze!

Výpočet vícerozměrného integrálu ,kde , metodou MC

a) zvolíme co nejmenší interval takový, že   I,

b) vygenerujeme náhodnou posloupnost bodů

takových, že

c)

KFY/PMFCH

Lekce 10 – Metoda Monte Carlo I

slide6

Numerický výpočet integrálů

Silně lokalizovaný integrand

tj. integrovaná funkce je nenulová jen na velmi malé části integračního oboru.

Potíž s „crude“ MC – naprostá většina náhodně generovaných bodů padne do oblasti, ve které je funkce nulová, a tedy nijak nepřispěje k hodnotě integrálu  prudké snížení účinnosti metody.

Možné řešení pro jednorozměrné integrály

yi vybíráme náhodně z intervalu

Řešení pro vícerozměrné integrály

- Metropolisův algoritmus.

KFY/PMFCH

Lekce 10 – Metoda Monte Carlo I

slide7

Metropolisův algoritmus

Při výpočtu integrálu , kde  je silně lokalizovaná funkce na , generu-jeme náhodné body ne rovnoměrně na I  , ale tak, aby jejich hustota byla úměrná .

Naprostá většina bodů takto padne do oblasti, která přispívá k hodnotě integrálu podstatnou měrou, a jen minimum bodů bude vybráno z oblasti, která je pro výpočet integrálu nepodstatná.

Pro  splňující platí

Principiální otázkaJak správně generovat posloupnosti bodů ? Zodpovíme v následující lekci.

A ještě jedna otázkaJak velké musí být n? V principu n , prakticky n  105-109. Závisí na dostupném výpočetním výkonu, studovaném systému a počítaných parametrech.

KFY/PMFCH

Lekce 10 – Metoda Monte Carlo I

slide8

Metropolisův algoritmus

Výpočet konfiguračních integrálů

předpokládáme

  • Postup
  • vygenerujeme náhodnou posloupnost bodů , která je v konfiguračním prostoru rozložena s hustotou INT (jak? – ukážeme v následující lekci),

KFY/PMFCH

Lekce 10 – Metoda Monte Carlo I

slide9

Počáteční podmínka

  • Podobně jako v případě MD simulace musíme i na začátku MC výpočtu vygenerovat počáteční konfiguraci
    • pravidelné nebo náhodné rozložení částic uvnitř předem definované nádoby.

Další součásti počáteční podmínky

- počet částic, - velikost (a tvar) nádoby, - periodické okrajové podmínky.

Podrobnosti viz lekce 7.

KFY/PMFCH

Lekce 10 – Metoda Monte Carlo I

slide10

Varianty metody MC

Různé Gibsovy soubory – různé varianty metody MC lišící se navzájem distribucemi INT

  • kanonický:
  • mikrokanonický:
  • izobaricko-izotermický:
  • grand-kanonický.

KFY/PMFCH

Lekce 10 – Metoda Monte Carlo I

slide11

MC simulace - shrnutí

Postup

  • volba statistického – termodynamického souboru,
  • volba interakčního modelu,
  • volba počtu částic,
  • určení velikosti základní buňky („nádoby“),
  • volba počáteční konfigurace,
  • generování posloupnosti dalších konfigurací- ekvivalence (ustavení termodynamické rovnováhy), - simulace (sběr dat),
  • vyhodnocení dat (výpočet souborových středních hodnot)- záznam konfigurací, - průběžný výpočet.

KFY/PMFCH

Lekce 10 – Metoda Monte Carlo I

slide12

Doporučená literatura

I. NEZBEDA, J. KOLAFA, M. KOTRLAÚvod do počítačových simulací, kap. 4, 5, 6, 7 Karolinum, Praha 2003

D. P. LANDAU, K. BINDERA Guide to MC Simulations in Statistical PhysicsCambridge University Press, Cambridge 2005

M. M. WOOLFSON, G. J. PERTAn Introduction to Computer Simulation, kap. 4Oxford University Press, New York 1999

A. HINCHLIFFEMolecular Modelling for Beginners, kap. 10J. Wiley, Chchester 2006

KFY/PMFCH

Lekce 10 – Metoda Monte Carlo I