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Kombinatorische Optimierung mit Ameisensystemen

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Kombinatorische Optimierung mit Ameisensystemen - PowerPoint PPT Presentation


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Kombinatorische Optimierung mit Ameisensystemen. Daniel Schiller. Inhalt. Kombinatorische Optimierungsprobleme Heuristiken & Metaheuristiken Natürliche Algorithmen Ameisensysteme Beispiel Hausaufgabe Zusammenfassung & Fragen?. Lösungsraum durch Ganzzahligkeitsbedingung eingeschränkt

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Presentation Transcript
inhalt
Inhalt
  • Kombinatorische Optimierungsprobleme
  • Heuristiken & Metaheuristiken
  • Natürliche Algorithmen
  • Ameisensysteme
  • Beispiel
  • Hausaufgabe
  • Zusammenfassung & Fragen?
slide3

Lösungsraum durch Ganzzahligkeitsbedingung eingeschränkt

  • klassisches „Aufsuchen“ des Optimums entlang des Polyeders nicht möglich

Kombinatorische Optimierungsprobleme

Heuristiken & Metaheuristiken

Natürliche Algorithmen

Ameisensysteme

Beispiel

Hausaufgabe

Zusammenfassung & Fragen?

slide4

Lösungsverschlechterung

  • Zeitaufwand oft nicht polynomiell von Problemgröße abhängig

 schwer zu lösen

  • oft fehlen effiziente exakte Lösungsverfahren

 Heuristiken

Kombinatorische Optimierungsprobleme

Heuristiken & Metaheuristiken

Natürliche Algorithmen

Ameisensysteme

Beispiel

Hausaufgabe

Zusammenfassung & Fragen?

slide5

Heuristik

  • „(auf)finden, entdecken“
  • mit begrenztem Wissen eine gute Lösung in angemessener Zeit finden
  • problemspezifisches Wissen nutzen
  • Optimalität nicht garantiert

Metaheuristik

  • Rahmenwerk aus allgemeineren algorithmischen Regeln zur Erzeugung einer spezifischen Heuristik
  • Ausgestaltung indivduell

Kombinatorische Optimierungsprobleme

Heuristiken & Metaheuristiken

Natürliche Algorithmen

Ameisensysteme

Beispiel

Hausaufgabe

Zusammenfassung & Fragen?

slide6

Natürliche Algorithmen

  • Vorgänge oder Prinzipien der Natur werden nachgebildet
  • neue Lösungsstrategien für Probleme abgeleitet
  • effizientere Verfahren gesucht
  • oft allgemeingültiger

 nicht problemspezifisch

  • Beispiele:

SimulatedAnnealing,

Genetischer Algorithmus,

Sintflutalgorithmus,

Ameisensysteme

Kombinatorische Optimierungsprobleme

Heuristiken & Metaheuristiken

Natürliche Algorithmen

Ameisensysteme

Beispiel

Hausaufgabe

Zusammenfassung & Fragen?

slide7

Reale Ameisenkolonien

  • Ameisen sind einfache Individuen

 begrenzte Leistungsfähigkeit

  • Kolonien bewältigen komplexe Probleme
  • hier: Aufbau eines effizienten (kurzen) Transportnetzwerks zwischen Nest und Futterstellen

Kombinatorische Optimierungsprobleme

Heuristiken & Metaheuristiken

Natürliche Algorithmen

Ameisensysteme

Beispiel

Hausaufgabe

Zusammenfassung & Fragen?

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Ameisenexperiment 1

  • einfache Umgebung
  • Ameisen schwärmen aus
  • jede Ameise sucht individuell nach einem Weg
  • Beobachtung:
    • Ameisen finde den kurzen Weg als Lösung

Kombinatorische Optimierungsprobleme

Heuristiken & Metaheuristiken

Natürliche Algorithmen

Ameisensysteme

Beispiel

Hausaufgabe

Zusammenfassung & Fragen?

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Erklärung

  • jede Ameise trifft individuelle Entscheidung

 Zufall

  • jede Ameise markiert ihren Weg (ihre Lösung) mit Pheromonspur
  • Pheromonspur beeinflusst Zufallsentscheidung der Nachfolger
  • nach einer Zeit T sind mehr Ameisen auf kurzen Wegen gelaufen

 stärkere Spur auf diesen Wegen

 mehr Ameisen folgen diesen Wegen

 Lösung der Kolonie konvergiert

  • nicht alle Ameisen folgen den stark markierten Wegen

 Erkundung

Kombinatorische Optimierungsprobleme

Heuristiken & Metaheuristiken

Natürliche Algorithmen

Ameisensysteme

Beispiel

Hausaufgabe

Zusammenfassung & Fragen?

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Ameisenexperiment 2

  • dynamische Änderung der Umgebung

 neue optimale Lösung

  • Beobachtung:
    • Ameisen verlassen erste Lösung oft nicht

Kombinatorische Optimierungsprobleme

Heuristiken & Metaheuristiken

Natürliche Algorithmen

Ameisensysteme

Beispiel

Hausaufgabe

Zusammenfassung & Fragen?

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Identifizierte Eigenschaften

  • jede Ameisen entscheidet individuell
  • Markierung macht individuelle Entscheidung den Nachfolgern bekannt
  • Kolonie erwirbt Wissen über Umgebung
  • Mehrheit folgt einer Lösung

 Konvergenz in eine Lösung

 Konvergenz in lokalen Optima möglich

  • Verlassen einer Lösung nur schwer möglich

 globales Optimum nicht garantiert

Kombinatorische Optimierungsprobleme

Heuristiken & Metaheuristiken

Natürliche Algorithmen

Ameisensysteme

Beispiel

Hausaufgabe

Zusammenfassung & Fragen?

slide12

Bewertung

  • Ameisen sind einfache Individuen einfach zu simulieren
  • hohe Leistungsfähigkeit in komplexen Umgebungen Erfolgspotential

 Schwarmintelligenz

  • allgemeine einfache Voraussetzungen geringe Problemspezifik
  • algorithmische Umsetzung am Computer

Kombinatorische Optimierungsprobleme

Heuristiken & Metaheuristiken

Natürliche Algorithmen

Ameisensysteme

Beispiel

Hausaufgabe

Zusammenfassung & Fragen?

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AntColonyOptimization

  • Elemente
    • graphische Repräsentation des Problems
    • Ameisenkolonie
    • Pheromonspur
    • Zeit
  • algorithmische Besonderheit
    • diskrete Zeitschritte

Kombinatorische Optimierungsprobleme

Heuristiken & Metaheuristiken

Natürliche Algorithmen

Ameisensysteme

Beispiel

Hausaufgabe

Zusammenfassung & Fragen?

slide14

Graph

  • Knoten
    • Orte
    • Aufträge
    • Gegenstände
  • Kanten
    • mögliche Beziehungen zwischen den Knoten

 Wege der Ameisen

    • bewertet mit Kosten/Entfernungen
    • Pheromonmatrixτij
    • Heuristikmatrixηij

Kombinatorische Optimierungsprobleme

Heuristiken & Metaheuristiken

Natürliche Algorithmen

Ameisensysteme

Beispiel

Hausaufgabe

Zusammenfassung & Fragen?

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Ameisen

  • Individuen mit Verhaltensregeln
    • laufe durch das Netz
    • probalistische Entscheidung über Weg
    • Nebenbedingungen

 bauen Lösung

  • individuelles Gedächtnis
    • Weg
    • Länge
  • Bewertung der eigenen Lösung
  • Markierung der eigenen Lösung

Kombinatorische Optimierungsprobleme

Heuristiken & Metaheuristiken

Natürliche Algorithmen

Ameisensysteme

Beispiel

Hausaufgabe

Zusammenfassung & Fragen?

slide16

Pheromonspur

  • Stärke der Markierung triff Aussage über Qualität & Häufigkeit
    • Kante Teil eines kurzen Wegs
    • Kante Teil eines oft genutzten Wegs

 Aussage über Vorteilhaftigkeit des Wegs

  • Verdunstung
    • Verlassen einer Lösung ermöglichen

 vorzeitige Konvergenz verhindern

    • stärkere Erkundung

Kombinatorische Optimierungsprobleme

Heuristiken & Metaheuristiken

Natürliche Algorithmen

Ameisensysteme

Beispiel

Hausaufgabe

Zusammenfassung & Fragen?

slide17

Entscheidung der Ameise

  • von wo komme ich? wo darf ich nicht mehr hin?
  • was sehe ich?
  • wie riecht es?
  • Zufallsentscheidung

Kombinatorische Optimierungsprobleme

Heuristiken & Metaheuristiken

Natürliche Algorithmen

Ameisensysteme

Beispiel

Hausaufgabe

?

Zusammenfassung & Fragen?

slide18

Simulation der Zufallsentscheidung

  • Berechnung der Wahrscheinlichkeiten
    • Längen d der offenen Wege

 lokale Informationen

 ηij=1/dij : Kehrwert der Länge von Weg ij

    • Pheromonspuren auf offenen Wegen

 Wissen der Kolonie aus Erkundung

 τij,h : Pheromonspur auf Weg ij

    • α,β : Gewichtungs-/Steuerparameter
  • „Würfeln“  Zufallsexperiment

Kombinatorische Optimierungsprobleme

Heuristiken & Metaheuristiken

Natürliche Algorithmen

Ameisensysteme

Beispiel

Hausaufgabe

Zusammenfassung & Fragen?

α

β

(η ij)

(τij)

pij =

Σ

α

β

(η ij)

(τij)

slide19

Pheromonspuraktualisierung

    • nach jeder Iteration h
    • auf jedem Wegstückij
  • Verdunstung der alten Spur/Lösung
    • Verdunstungsrate ρ lässt Spur langsam schwächer werden
  • Markierung der neuen Spur/Lösung
    • jede Ameise legt eine neue Spur
    • ihre WeglängeDk bestimmt Stärke

 Qualität der eigenen Lösung

Kombinatorische Optimierungsprobleme

Heuristiken & Metaheuristiken

Natürliche Algorithmen

Ameisensysteme

Beispiel

Hausaufgabe

Zusammenfassung & Fragen?

τij,h+1=

τij,h(1-ρ)

+ 1/D1

+1/D2

+…+1/Dk

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Verhalten des Algorithmus

  • Koloniegröße
    • vorgegebene Rechenzeit
    • viele Ameisen  breite Erkundung
    • wenige Ameisen  viele Iterationen
  • Pheromonspur / Verdunstungsrate
    • großes ρ Wahrscheinlichkeit neue Lösungen zu finden
    • kleines ρ schnelle Konvergenz auf eine Lösung
  • Gewichtungsparameter α,β
    • α<β heuristische Information betont
    • α>β iterierte Information betont

Kombinatorische Optimierungsprobleme

Heuristiken & Metaheuristiken

Natürliche Algorithmen

Ameisensysteme

Beispiel

Hausaufgabe

Zusammenfassung & Fragen?

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Abwandlungen

  • Elitäre Ameisen
    • beste Ameisen markieren stärker
  • Begrenzung der Pheromonspur
    • Obergrenze (max)

 gute Lösungen nicht zu stark gewichtet

 Wirkung von Anfangszufällen begrenzt

    • Untergrenze (min)

 schlechte Lösungen bleiben erhalten

 gegen zu frühes Einschränken

  • Senken der Pheromonspur
    • direkte Nachfolger werden zum Erkunden anderer Wege angeregt

. . .

Kombinatorische Optimierungsprobleme

Heuristiken & Metaheuristiken

Natürliche Algorithmen

Ameisensysteme

Beispiel

Hausaufgabe

Zusammenfassung & Fragen?

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Anwendungen

  • TSP
  • Vehicle-Routing
  • Zuordnung
  • Ablaufplanung
  • Rucksackprobleme
  • Proteinfaltung

Kombinatorische Optimierungsprobleme

Heuristiken & Metaheuristiken

Natürliche Algorithmen

Ameisensysteme

Beispiel

Hausaufgabe

Zusammenfassung & Fragen?

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Maschinenbelegung

  • Auftrag
  • Vorgang
  • Maschinen
  • Dauern bekannt und fest
  • keine Unterbrechung
  • Ziel:
    • Reihenfolge der Aufträge/Vorgänge mit minimalen Kosten/Zeit
  • Besonderheiten:
    • absolute Position von Aufträgen in der Reihenfolge wichtig

Kombinatorische Optimierungsprobleme

Heuristiken & Metaheuristiken

Natürliche Algorithmen

Ameisensysteme

Beispiel

Hausaufgabe

Zusammenfassung & Fragen?

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Single Machine Total Tardiness

  • eine Maschine
  • n Jobs mit Dauern di und End-Fristen fi
  • Ziel:
    • Anordnung der Jobs, die summierte „Fristüberschreitung“ minimiert
  • Graph:
    • Knoten
      • n Positionen
      • n Jobs
    • Kanten
      • mögliche Zuordnungen Job  Position

Kombinatorische Optimierungsprobleme

Heuristiken & Metaheuristiken

Natürliche Algorithmen

Ameisensysteme

Beispiel

Hausaufgabe

Zusammenfassung & Fragen?

slide25

3

2

Beispiel

  • Graph
    • n=3 Positionen + n=3 Jobs
    • Fristen fj
    • Dauern dj
    • Kanten
  • Lösungskonstruktion
    • Ameisen ordnen die Jobs den Positionen der Reihe nach zu
  • Nebenbedingungen
    • alle Jobs müssen zugeordnet werden
  • Pheromonspur τij
    • Vorteilhaftigkeit Job j an Position i zu setzen
    • Aktualisierung nach jedem Durchlauf

3

3

7

3

slide26

3

2

Ameise 1 im ersten Durchlauf

  • wählt zufällig

3

3

Job

Zeit

Überschreitung

1

2

0

7

2

5

2

3

3

8

1

3

slide27

3

2

Ameise 2 im ersten Durchlauf

  • wählt zufällig

3

3

Job

Zeit

Überschreitung

2

3

0

7

3

6

0

3

1

8

5

5

slide28

3

2

Ameise 3 im ersten Durchlauf

  • wählt zufällig

3

3

Job

Zeit

Überschreitung

1

2

0

7

3

5

0

3

1

8

5

5

slide29

Pheromonspuren

  • abhängig von Überschreitung

 je kleiner desto stärker

  • neue Ausgangslage beim nächsten Durchlauf

Ameise

Überschreitung

Spur

1

3

6

2

5

4

3

5

4

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3

2

Ameise 1 im zweiten Durchlauf

3

3

Job

Zeit

Überschreitung

7

1

2

0

3

3

5

0

2

8

5

5

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3

2

Ameise 2 im zweiten Durchlauf

3

3

Job

Zeit

Überschreitung

7

1

2

0

3

2

5

2

3

8

1

3

slide32

3

2

Ameise 3 im zweiten Durchlauf

3

3

Job

Zeit

Überschreitung

7

3

3

0

3

2

6

3

1

8

5

8

slide33

Pheromonspuren

Ameise

Überschreitung

Spur

1

5

4

2

3

6

3

8

1

slide34

Cluster im Tarifraum finden

    • ähnliche Elemente gruppieren
    • unterschiedliche Elemente separieren
  • Ameisen und Clusteranalyse
    • Objekte (Haltestellen)
      • frei „auf Fläche“
      • Distanzmatrix zu allen Haltestellenals Maß für Ähnlichkeit/Unterschied
    • Ameisen
      • laufen frei auf Fläche
      • leere Ameisen wollen Objekte aufnehmen
      • beladene Ameisen wollen Objekte ablegen
      • Wahrscheinlichkeit der Aufnahme/Ablage wir durch Unterschied/Ähnlichkeit zu Nachbarn bestimmt

Kombinatorische Optimierungsprobleme

Heuristiken & Metaheuristiken

Natürliche Algorithmen

Ameisensysteme

Beispiel

Hausaufgabe

Zusammenfassung & Fragen?

slide36

Zusammenfassung

    • allg. Prinzipien
    • einfache Umsetzung
    • breite Anwendung
    • vielfältige Ausgestaltung
    • oft leistungsfähig
  • Fragen?

Kombinatorische Optimierungsprobleme

Heuristiken & Metaheuristiken

Natürliche Algorithmen

Ameisensysteme

Beispiel

Hausaufgabe

Zusammenfassung & Fragen?