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8.3 抛物线

8.3 抛物线. 1 ．抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l ( F ∉ l ) 的距离 的点的轨迹叫做抛物线． 要注意点 F 不在直线 l 上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线. 相等. 2 ．抛物线的标准方程和几何性质 ( 如下表所示 ). 误区警示 关于抛物线的标准方程 由于选取坐标系时，坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的共同点在于： (1) p 的几何意义：焦参数 p 是焦点到准线的距离，所以 p 恒为正数．

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8.3 抛物线

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Presentation Transcript

  1. 8.3抛物线

  2. 1．抛物线的定义 • 平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离的点的轨迹叫做抛物线． • 要注意点F不在直线l上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线. 相等

  3. 2．抛物线的标准方程和几何性质(如下表所示)

  4. 误区警示 • 关于抛物线的标准方程 • 由于选取坐标系时，坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的共同点在于： • (1)p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正数． • (2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向. • (3)焦点的非零坐标是一次项系数的

  5. 考点一 抛物线的定义及其应用 [例1] • 　动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M(－4，0)的距离小2，则点P的轨迹() • A．直线　　　　　　　 B．椭圆 • C．双曲线 D．抛物线 • 解析：根据所给条件，结合图形可知动点P到定直线x＝4及定点M(－4,0)的距离相等，故选D. • 答案：D

  6. 跟踪练习1 • 动点P到直线x＋y－4＝0的距离等于它到点M(2,2)的距离，则点P的轨迹是 () • A．直线 B．抛物线 • C．椭圆 D．双曲线 • 解析：∵M(2,2)在直线x＋y－4＝0上，而|PM|即为P到直线x＋y－4＝0的距离 • ∴动点P的轨迹为过点M垂直于直线x＋y－4＝0的直线．故选A. • 答案：A

  7. 跟踪练习2 • 已知动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为 () • A．x2＋y2＝1 B．x2－y2＝1 • C．y2＝4x D．x＝0 • 解析：设圆心坐标为(x，y)，由题意，x－(－1)＝ ，整理得y2＝4x，故选C. • 答案：C • 点评：动圆圆心C到定点(1,0)和定直线x＝－1距离相等，∴C点轨迹是以(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线，∴p＝2，∴方程为y2＝4x.

  8. [例2]

  9. 跟踪练习3

  10. y y P P A A F F x x O O 变式 9 方法一：建立目标函数 方法二：数形结合法 Q

  11. 抛物线几何性质及标准方程 考点二 [例3]

  12. [例4]

  13. 答案：A • 点评：解决这类问题一定要抓准各种曲线的基本量及其关系．

  14. 跟踪练习4

  15. 跟踪练习5 • 若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆 ＝1的右焦点重合，则p的值为 () • A．－2B．2C．－4D．4 答案：D

  16. [例5] • 　已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝ • |AF|，则△AFK的面积为() • A．4 B．8 • C．16 D．32 • 解析：y2＝8x的焦点为F(2,0)， • 准线x＝－2，K(－2,0)，

  17. 即(x＋2)2＋y2＝2[(x－2)2＋y2]， • 化简得，y2＝－x2＋12x－4， • 与y2＝8x联立解得：x＝2，y＝±4， • 答案：B • 点评：按照题目的叙述，直接将文字语言数字化，依据所给关系或等式列方程求解是这类问题的基本解决方法．本题中关键的关系式是|AK|＝ |AF|.

  18. 跟踪练习6

  19. 考点三 抛物线与直线位置关系 [例6]

  20. 答案：B

  21. 跟踪练习7 过点P（ 0 ， 4 ）与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线有条。 3

  22. 跟踪练习8

  23. 考点四 抛物线综合问题 [例7]

  24. 分析：考查抛物线的过焦点的弦的性质. • 将抛物线的焦点弦的方程设出，代入抛物线方程，利用韦达定理等解决问题．

  25. 总结评述：(1)抛物线的焦半径与焦点弦有许多特殊的性质(特别是某点的焦半径等于这点到准线的距离，化两点间的距离为点线间的距离)应用起来非常方便，还有其它的一些性质这里就不一一证明了. 如：∠ANB＝90°，以CD为直径的圆切AB于点F等. • (2)以上证明的五个结论是抛物线中非常重要的结论，要切实掌握其推证思路．

  26. 跟踪练习9 • 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有 • () • A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| • B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 • C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| • D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|

  27. 解析：将2x2＝x1＋x3两边同时加上p得， • ∵P1、P2、P3在抛物线上，∴2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|. • 答案：C

  28. [例8]

  29. [例9]

  30. 跟踪练习10 • 　若抛物线C：y＝ax2－1(a≠0)上有不同两点关于直线l：y＋x＝0对称，则实数a的取值范围是________． • 解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线C上关于直线l对称的两点(x1≠x2)，直线AB的方程为y＝x＋b. • ∵x1≠x2，方程①有两个不等实数根 • ∴Δ＝1＋4a(1＋b)>0.② • 又设AB的中点为M(x0，y0)，由①得

  31. 点评：关于直线的对称问题等价于中点弦问题，可用点差法求解．点评：关于直线的对称问题等价于中点弦问题，可用点差法求解．

  32. 跟踪练习11

  33. 跟踪练习12

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