第五章 摩擦

1. 第五章 摩擦

2. 主要内容 §5-1 滑动摩擦 §5-2 摩擦角和自锁现象 §5-3 考虑摩擦时物体的平衡问题 §5-4 滚动摩阻的概念

3. 摩擦 在第二章研究光滑面、铰链和轴承等类型的约束时，我们认为物体与约束之间是理想光滑的，它们之间的相互作用的力只存在于沿着接触处的公切面的法线方向，在公切面内没有作用力与反作用力。 实际上，这种假设是与事实不完全相符合的，为什么这么说呢？ 不论我们加工的精度有多高，物体与接触面之间总是有凹凸不平的细部构造，物理中我们还知道分子之间还有引力和静电引力等，这些因素的存在使得当物体沿着约束接触面的公切面有相对滑动（或相对滑动趋势）时，约束总会或大或小阻碍物体滑动的作用，这就是摩擦现象。

4. 摩擦 下面给出摩擦的定义，若两个物体有相对滑动或相对滑动的趋势时，那么一个物体作用于另一个物体与接触面相切的阻力称之为摩擦。 摩擦按照物体与约束的相对运动情况和产生的原因的不同，又分为滑动摩擦和滚动摩擦。下面首先看看滑动摩擦的情况。

5. 在粗糙的水平面上放置重 的物体，该物体在重力 和法向反力 的作用下处于静止状态，如下图。今在该物体上作用一大小可变化的水平拉力 ，当拉力由零逐渐增加但不很大时，物体仅有相对滑动趋势，但仍保持静止。 §5-1 滑动摩擦 1、滑动摩擦力 两个表面粗糙的物体，当其接触表面之间有相对滑动趋势或相对滑动时，彼此作用有阻碍相对滑动的阻力，即滑动摩擦力。 摩擦力特点： a.作用于相互接触处。 b.方向与相对滑动的趋势或相对滑动的方向相反。 c.大小根据主动力作用的不同，分为三种情况：静滑动摩擦力、最大静滑动摩擦力和动滑动摩擦力。 2、静滑动摩擦力

6. 可见支承面对物体除法向约束力 外，还有一个阻碍物体沿水平面向右滑动的切向约束力，此力即静滑动摩擦力，简称静摩擦力，常以 表示，方向如图，大小由平衡条件确定。 静摩擦力的大小随主动力 的增大而增大，这是静摩擦力和一般约束力共同的性质。 §5-1 滑动摩擦

7. 静摩擦力与一般约束力不同，它并不随主动力 的增大而无限地增大。当主动力的大小达到一定数值时，物体处于平衡的临界状态。这时，静摩擦力达到最大值，即为最大静滑动摩擦力，简称最大静摩擦力，以 表示。 式中 是比例常数，称为静摩擦因数，它是量纲一的量。静摩擦因数的大小需由实验测定。它与接触物体的材料和表面情况（如粗糙度、温度和湿度等）有关，而与接触面积的大小无关。 §5-1 滑动摩擦 3、最大静滑动摩擦力 此后，如果主动力再继续增大，但静摩擦力不能再随之增大，物体将失去平衡而滑动。 静摩擦定律（库仑摩擦定律）：

8. 当滑动摩擦力已达到最大值时，若主动力 再继续加大，接触面之间将出现相对滑动。此时，接触物体之间仍作用有阻碍相对滑动的阻力，这种阻力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力，以 表示。实验表明： 式中 是动摩擦因数，它与接触物体的材料和表面情况有关。 §5-1 滑动摩擦 4、动滑动摩擦力 一般情况下，动摩擦因数小于静摩擦因数，即 实际上动摩擦因数还与接触物体间相对滑动的速度大小有关。

9. 当有摩擦时，支承面对平衡物体的约束力包含法向约束力 和静摩擦力 。这两个分力的几何和 称为支承面的全约束力。 全约束力的作用线与接触面的公法线成一偏角 ，如图。 当物体处于平衡的临界状态时，静摩擦力达到最大静摩擦力，偏角 也达到最大值 ，如图。全约束力与法线间的夹角的最大值 称为摩擦角。 §5-2 摩擦角和自锁现象 1、全约束力 2、摩擦角

10. 当物体的滑动趋势方向改变时，全约束力作用线的方位也随之改变；在临界状态下， 的作用线将画出一个以接触点 为顶点的锥面，如图，称为摩擦锥。 设物块与支承面间沿任何方向的摩擦因数都相同，即摩擦角都相等，则摩擦锥将是一个顶角为 的圆锥。 §5-2 摩擦角和自锁现象 由图可得： 即：摩擦角的正切等于静摩擦因数。可见，摩擦角与摩擦因数一样，都是表示材料的表面性质的量。

11. 物体平衡时， ，所以 a.若作用于物块的全部主动力的合力 的作用线在摩擦角 之内，则无论这个力怎样大，物块必静止。这种现象称为自锁现象。 在这种情况下，主动力的合力 与法线间的夹角 ，因此， 和 必能满足二力平衡条件，且 ，如图 §5-2 摩擦角和自锁现象 3、自锁现象 由于静摩擦力不可能超过最大值，因此全约束力的作用线也不可能超出摩擦角以外，即全约束力必在摩擦角之内。

12. b.若全部主动力的合力 的作用线在摩擦角 之外，则无论这个力怎样小，物块一定会滑动。 在这种情况下，主动力的合力与法线间的夹角 ，而 和 不能满足二力平衡条件，如图。应用这个道理，可以设法避免发生自锁现象。 利用摩擦角的概念，可用简单的试验方法，测定静摩擦因数。如图，把要测定的两种材料分别做成斜面和物块，把物块放在斜面上，并逐渐从零起增大斜面的倾角 ，直到物块刚开始下滑为止。这时 角就是要测定的摩擦角 ，因为当物块处于临界状态时， §5-2 摩擦角和自锁现象

13. §5-2 摩擦角和自锁现象

14. 摩擦自锁条件 动画

15. 利用自锁的实例1

16. 利用自锁的实例2

17. 利用自锁的实例3

18. a.分析物体受力时，必须考虑接触面间切向的摩擦力 ，通常增加了未知量的数目； b.为确定这些新增加的未知量，需列出补充方程，即 补充方程的数目与摩擦力的数目相同; c.由于物体平衡时摩擦力有一定的范围，即 ，所以有摩擦时平衡问题的解亦有一定的范围，而不是一个确定的值。 §5-3 考虑摩擦时物体的平衡问题 考虑摩擦时，求解物体平衡问题的步骤与前几章所述大致相同，但有如下几个特点： 工程中有不少问题只需要分析平衡的临界状态，这时静摩擦力等于最大值，补充方程只取等号。

19. 法线 F1 α α G §5-3 考虑摩擦时物体的平衡问题 例 题 5-1 物块重G，放于倾角为α的斜面上，它与斜面间的静摩擦因数为fs，如图所示。当物块处于平衡时，试求水平力F1的大小。（用几何法求解）

20. 法线 α §5-3 考虑摩擦时物体的平衡问题 例 题 5-1 解： 由图a可见，物块在有向上滑动趋势的临界状态时，可将法向约束力和最大静摩擦力用全约束力FR来代替，这时物块在G， FR，F1max三个力作用下平衡，受力如图。 F1max FR φ α G 根据汇交力系平衡的几何条件，可画得如图b所示的封闭的力三角形。 (a) FR 求得水平推力的最大值为 α +φ G F1max (b)

21. 法线 α §5-3 考虑摩擦时物体的平衡问题 例 题 5-1 同样可画得，物块在有向下滑动趋势的临界状态时的受力图 c 。 F1min α φ 作封闭的力三角形如图 d 所示。 FR G 得水平推力的最小值为 (c) α -φ G FR F1min (d)

22. 将 ≤ ≤ 代入上式，得 按三角公式，展开上式中的 ≤ ≤ 得 和 ≤ ≤ §5-3 考虑摩擦时物体的平衡问题 例 题 5-1 综合上述两个结果，可得力F1的平衡范围，即

23. d A b B M e a §5-3 考虑摩擦时物体的平衡问题 例 题 5-2 图示为凸轮机构。已知推杆和滑道间的摩擦因数为fs，滑道宽度为b。设凸轮与推杆接触处的摩擦忽略不计。问a为多大，推杆才不致被卡住。

24. y (a) d A (b) B (c) FNA (d) O (e) x a FNB F §5-3 考虑摩擦时物体的平衡问题 例 题 5-2 解: 取推杆为研究对象，受力分析如图。 列平衡方程 FA b FB 补充方程 解方程可得 代入式 (c) 解得

25. a极限 y FRA A b C B FRB O x a F §5-3 考虑摩擦时物体的平衡问题 例 题 5-2 解： 图解法 取推杆为研究对象，这时应将A，B处的摩擦力和法向反力分别合成为全约束反力FRA和FRB。这样一来，推杆受F，FRA和FRB三个力作用。 φf φf 用比例尺在图上画出推杆的几何尺寸，并自A，B两点各作与水平线成夹角φf（摩擦角）的直线，两线交于C点，如图所示。C点至推杆中心线的距离即为所求的临界值alim，可用比例尺从图上量出。 或按下式计算，得

26. F1 G §5-3 考虑摩擦时物体的平衡问题 例 题 5-3 制动器的构造和主要尺寸如图所示。制动块与鼓轮表面间的摩擦因数为fs，试求制动鼓轮转动所必需的力F1。 O r c O1 R C A B b a

27. O r c F1 O1 R C A B b a O1 C G §5-3 考虑摩擦时物体的平衡问题 例 题 5-3 1. 取鼓轮为研究对象，受力分析如图。 解: 列平衡方程 FO1y 解方程得 FO1x Ff F FN

28. O r c O F1 F1 O1 R C A B b a A B G §5-3 考虑摩擦时物体的平衡问题 例 题 5-3 2. 取杠杆为研究对象，受力分析如图。 FOy FOx

29. FOy O 补充方程 ≤ 解方程可得 F1 FOx ≤ 或 ≤ A B 得 ≤ 代入式(d)得 所以 ≤ ≥ ≤ §5-3 考虑摩擦时物体的平衡问题 例 题 5-3 列平衡方程 由于

30. F G §5-3 考虑摩擦时物体的平衡问题 例 题 5-4 图示匀质木箱重G= 5 kN，它与地面间的静摩擦因数fs = 0.4。图中h = 2a = 2 m， α=30°。（1）问当D处的拉力F = 1 kN时，木箱是否平衡？（2）求能保持木箱平衡的最大拉力。 a α D h A

31. a α D d h A §5-3 考虑摩擦时物体的平衡问题 例 题 5-4 解: 欲保持木箱平衡，必须 （1）不发生滑动，即Ff≤Fmax= fsFN。 （2）不绕点A翻倒，即d > 0。 F 1. 取木箱为研究对象，受力分析如图。 列平衡方程 FN G Ff 解方程得 因为Ff<Fmax，所以木箱不滑动。 又因为d > 0，所以木箱不会翻倒。 木箱与地面之间的最大摩擦力为

32. a α F D d h FN A Ff G §5-3 考虑摩擦时物体的平衡问题 例 题 5-4 2. 求平衡时最大拉力，即求滑动临界与翻倒临界中的最小力F。 列平衡方程 木箱发生滑动的条件为Ff=Fmax= fsFN 解得 由于F翻<F滑，所以保持木箱平衡的最大拉力为 木箱绕 A 点翻倒的条件为d= 0，则 F = F翻=1 443 N

33. §5-3 考虑摩擦时物体的平衡问题 例 题 5-5 长为l的梯子AB一端靠在墙壁上，另一端搁在地板上，如图所示。假设梯子与墙壁的接触是完全光滑的，梯子与地板之间有摩擦，其静摩擦因数为fs。梯子的重量略去不计。今有一重为G的人沿梯子向上爬，如果保证人爬到顶端而梯子不致下滑，求梯子与墙壁的夹角α。 B α G l a A

34. y B 使梯子保持静止，必须满足下列平衡方程： α l （a） （b） （c） a A （d） 同时满足物理条件 ≤ x 由式（b）和（c）得 由式（a）和（d）得 或 （e） ≤ ≤ ≤ §5-3 考虑摩擦时物体的平衡问题 例 题 5-5 解： 以梯子AB为研究对象，人的位置用距离 a 表示，梯子的受力如图。 FNB G F FNA

35. FNB B C α G φf α A ≤ FRA ≤ §5-3 考虑摩擦时物体的平衡问题 例 题 5-5 或 （e） 因0≤a≤l，当 a=l时，式（e）左边达到最大值。即就是人爬到梯子的顶端时梯子不下滑，则人在人梯子任何位置上，梯子都不会下滑。所以为了保证人沿梯子爬到顶端时而梯子不下滑，只需以a = l代入式（e），得 E 式中φf为梯子与地板间的摩擦角。

36. 设在水平面上有一滚子，重量为 ，半径为 ，在其中心 上作用有一水平力 。滚子与平面实际上并不是刚体，它们在力的作用下都会发生变形，有一个接触面，如图a,在接触面上受分布力的作用。 这些力向点 简化，得到一个力 和一个力偶，力偶的矩为 ，如图b §5-4 滚动摩阻的概念 (a) (b)

37. 力 可分解为摩擦力 和法向约束力 ，这个矩为 的力偶称为滚动摩阻力偶，它与力偶 平衡，它的转向与滚动的趋向相反，如图c 与静滑动摩擦力相似，滚动摩阻力偶矩 随着主动力的增加而增大，当力 增加到某个值时，滚子处于将滚未滚的临界平衡状态；这时，滚动摩阻力偶矩达到最大值，称为最大滚动摩阻力偶矩，用 表示 若力 再增大一点，轮子就会滚动。在滚动过程中，滚动摩阻力偶矩近似等于 §5-4 滚动摩阻的概念 (c)

38. 滚动摩阻定律：最大滚动摩阻力偶矩 与滚子半径无关，而与支承面的正压力 的大小成正比，即 其中 是比例常数，称为滚动摩阻系数，简称滚阻系数，它具有长度的量纲，单位一般用 根据力的平移定理，可将法向约束力 和最大滚动摩阻力偶 合成一个力 ，且 。力 的作用线距中心线的距离为 ，如图b §5-4 滚动摩阻的概念 滚阻系数的物理意义： 滚子在即将滚动的临界平衡状态时，受力如图a (b) (a) 比较滚动摩阻定律

39. §5-4 滚动摩阻的概念 例 题 5-6 半径为R，轮上绕的滑轮上作用有力偶有细绳拉住半径为R，重量为G的圆柱，如图所示。斜面倾角为α，圆柱与斜面间的滚动摩阻系数为δ。求保持圆柱平衡时，力偶矩MB的最大与最小值；并求能使圆柱匀速滚动而不滑动时静滑动摩擦因数的最小值。 MB R B R O A G α

40. x O A y α §5-4 滚动摩阻的概念 例 题 5-6 解： 1. 取圆柱为研究对象，当绳拉力最小时，圆柱有向下滚动的趋势。 列平衡方程 Ff G Mf , max FN 补充方程 最小拉力为

41. §5-4 滚动摩阻的概念 例 题 5-6 2. 取圆柱为研究对象，当绳拉力最大时，圆柱有向上滚动的趋势。 x 列平衡方程 O Ff y A G FN Mf , max α 补充方程 所以最大拉力为

42. 当绳拉力分别为 或 时，力偶矩的最大与最小值为 B ≤ MB 的平衡范围为 ≤ §5-4 滚动摩阻的概念 例 题 5-6 3. 以滑轮B为研究对象，受力分析如图。 FBy 列平衡方程 FBx MB

43. x O Ff y A G FN Mf , max α ≥ ≤ §5-4 滚动摩阻的概念 例 题 5-6 4. 求圆柱只滚不滑时的最小动摩擦因数fmin。 取圆柱为研究对象，列平衡方程。 补充方程 联立解得 比较上述结果，可得 满足只滚不滑的条件为