第四章 态和力学量的表象

1. 第四章 态和力学量的表象 在前面，我们基本是用坐标函数描述体系的状态并讨论其性质的，但正如在经典力学中我们可以选择不同的坐标来描述粒子的运动一样，量子力学中我们也可以选用其他变量的波函数来描述体系的状态。 量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。以前所采用的表象是坐标表象。这一章我们讨论其他表象，并介绍文献中常用的狄喇克符号。

2. §4.1 态的表象 一、坐标表象的波函数—— 是位置几率

3. 二、动量表象的波函数—— 和 可以互求，它们包含同样多的信息。我们称这样做是变换到了动量表象, 可以称为动量表象中的“波函数”

4. 基谐振子基点：

5. 三、 表象的波函数（ 为任意力学量）

6. §4.2 算符的矩阵表示 在坐标表象中： 在 表象中： 于是有： 可见 必是一矩阵。

7. 一、算符的矩阵表示 以um*乘以上式并积分，得

8. 写成矩阵形式如下

9. 二、厄密算符的矩阵 1. 以二阶矩阵为例： 2.厄密共轭矩阵和厄密矩阵 厄密共轭矩阵是厄密共轭算符的对应物。对任意算符A得到下述矩阵元之间的关系

10. 于是我们知道，一个矩阵取其厄密共轭，相当于矩阵转置于是我们知道，一个矩阵取其厄密共轭，相当于矩阵转置 后再取复共轭。即 当一个矩阵等于它的厄密共轭矩阵，即满足条件 时，称厄密自共轭矩阵，简称厄密矩阵。由(4.2-6)式和(4.2-8)式可知，厄密矩阵的矩阵元满足下述关系 这一式子意味着，厄密矩阵的对角元（ ）为实数；而其余的 各个非对角元素，对于主对角线是复数共厄反射对称的。量子 力学中要用厄密算符来描写力学量，所以同它们对应的矩阵必 是厄密矩阵。由于厄密矩阵的对角元是实数，由此也可得到厄 密算符的本征值必定是实数的结论。

11. 厄密算符的矩阵是厄密矩阵： 三、算符在自身表象中为对角阵 在其自身表象中的矩阵元 因此我们常说 表象为以 为对角线的表象。在 ， 为对角的表象即以 ， 的共同本征函数为基矢的表象。

12. 四、连续谱

13. 在连续谱情况下，所有矩阵都是象征性的。

14. §4.3 量子力学公式的矩阵表示 一、平均值公式（ 不显含t）

15. 二、薛定谔方程 左边乘以 并积分：

16. 三、本征方程 1. 本征方程 2. 求解本征值和本征矢 将(4.3-9)式中等号右边部分移至左边，得：

17. 方程（4.3-10）是一个线形齐次代数方程组： 这个方程组有非零解的条件是系数行列式等于零，即： 方程（4.3-11）称为久期方程。求解久期方程 可得到一组λ 值 它们就是F的本征值。把求得的λi分别代入 （4.3-10）式中就可以求得与这λi对应的本征矢 其中i=1,2, …n, …。

18. 四、例题 设已知在 和 的共同表象中，算符 和 的矩阵分别为 求它们的本征值和归一化的本征函数，最后将 和 对角化。 解： （1）求 的本征值和本征函数。 设在 和 的共同表象中， 的本征函数为 ， 为所对应的本征值。 本征方程为 即

19. 齐次方程有非零解的条件是系数行列式等于零，即齐次方程有非零解的条件是系数行列式等于零，即

20. 展开后整理得 即 即 的本征值为 利用归一化条件，确定常数a1. 因此，对应于m=0 的本征函数是

21. 利用归一化条件求a3. 即 因此，对应于m=0 的本征函数为

22. 利用归一化条件求a2, 即 因此对应于m=-1的本征函数为

23. （2）求 的本征值和本征函数 设 的本征函数为 ，对应于 。即 令 ，并将 的矩阵形式代入本征方程，即有

24. b1,b2,b3有非零解的条件是 由此得m=0, ±1.对应于

25. 所以 同样步骤得

26. (3)将 、 对角化 所谓对角化，即将 、 变换到自身的表象中去， 这里s为幺正变换矩阵 , 即将 在 和 的共同表象中 的本征函数按列排成矩阵而得： 于是

27. 变换矩阵R具有如下性质： 是转置矩阵，I是单位矩阵) 因为 R* = R （实数），所以： （R+是共轭矩阵） 满足上式的矩阵是幺正矩阵

29. 对于 ，幺正变换为 于是

31. §4.4 狄喇克(Dirac)符号 在几何或经典力学中，常用矢量形式讨论问题而不指明坐标系。同样，量子力学中描写态和力学量，也可以不用具体表象。这种描写的方式是狄喇克最先引用的，这样的一套符号就称为狄拉克符号。 微观体系的状态可以用一种矢量来表示，它的符号是 ，称为刃矢（右矢），简称为刃，表示某一确定的刃 矢A，可以用符号 。微观体系的状态也可以用另一种 矢量来表示，这种矢量符号是 ，称为刁矢（左矢）， 简称为刁。表示某一确定的刁矢B可以用符号 。刃和 刁是两种性质不同的矢量，两者不能相加，它们在同一种 表象中的相应分量互为共厄复数。

32. 刃和刁二者的关系是： 对于两个态 和 ，定义 代表一个复数，称为二者的内积，并且 又，假定 态的归一是 两态正交是 Hermitian算符满足条件 所以 是实数。本征方程是

33. 平均值公式是: 基矢量集 的正交归一性可表为 态矢量在表象 中的分解是 算符F在表象 中的矩阵元是 S-方程

34. 现将一些公式的通常写法与用狄拉克符号的写法对照如下：现将一些公式的通常写法与用狄拉克符号的写法对照如下：

35. 典型例题 用坐标轮换的方法，写出 时， 的全部本征 函数，用球函数 表达。 例1、 解：我们知道 的全部本征函数为：

36. 上面是 的一组本征函数。根据问题的对称性， 当 的取值同样有 ，而 的本征函数，由上式将z 换为x, x换为y,y 换为z 得到，用 表示：

37. 同样的想法，通过同样的方法，可找到对于 的 的全 部本征函数，即满足 对于所得 （ ）的全部本征函数的正确性，我们 可以验证。例如对于

38. 即 的确是 的本征函数，本征值是 。

39. 四 、Hilbert （希耳伯特）空间及波函数 选用不同的表象来描写态函数和经典力学中选用不同的坐标来表示一矢量是完全类同的：选定力学量 （表象）相当于选定某种坐标， 的本征函数{ }相当于坐标的基矢，而{ }相当于矢量在基矢上的投影（分量） 事实上，我们把以力学量本征函数为基矢构成的空间称为Hilbert空间，而把量子态称为态矢量。并表示为：