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MFS 的雙層勢能問題

MFS 的雙層勢能問題. 河工系 碩一 A 許哲瑋 M95520079. 大綱. 前言 數值方法概述 method of fundamental solutions (MFS) 算例 結論 參考文獻. 前言. 在一般實際的工程問題中，其定義域的幾何形狀較為複雜，解析解通常較不易求得，因此必須藉由數值方法來求解，而比較常用的數值方法則有以下三種： 有限元素法 (FEM) 邊界元素法 (BEM) 有限差分法 (FDM). 邊界元素法 邊界元素法是以基本解和勢能理論為基礎，並配合相關的奇異積分或超奇異積分，去對邊界做離散而得到聯立方程式，進而求解。

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MFS 的雙層勢能問題

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  1. MFS 的雙層勢能問題 河工系 碩一A 許哲瑋 M95520079 MFS雙層勢能問題

  2. 大綱 • 前言 • 數值方法概述 • method of fundamental solutions (MFS) • 算例 • 結論 • 參考文獻 MFS雙層勢能問題

  3. 前言 在一般實際的工程問題中，其定義域的幾何形狀較為複雜，解析解通常較不易求得，因此必須藉由數值方法來求解，而比較常用的數值方法則有以下三種： • 有限元素法(FEM) • 邊界元素法(BEM) • 有限差分法(FDM) MFS雙層勢能問題

  4. 邊界元素法 邊界元素法是以基本解和勢能理論為基礎，並配合相關的奇異積分或超奇異積分，去對邊界做離散而得到聯立方程式，進而求解。 而邊界元素法，又可概分為直接法與間接法等兩類主軸。 數值方法概述 U( s, x) T( s ,x) L( s ,x) M( s ,x) MFS雙層勢能問題

  5. Method of Fundamental Solutions (MFS) • MFS介紹 • MFS單層勢能問題(單極) • MFS雙層勢能問題(單極) • MFS單層勢能問題(偶極) • MFS雙層勢能問題(偶極) • 混合方法 MFS雙層勢能問題

  6. Method of Fundamental Solutions (MFS) • 基本解法(MFS)介紹 基本解法(MFS)是以積分化黎曼和的觀念，以離散及疊加的技巧去處理邊界値問題的一種方法，而其近似解可由符合PDE問題的基底，以線性組合來表示(例如 cos t + sin t) 。而其通常被歸類為是邊界方法的一種。 MFS雙層勢能問題

  7. Method of Fundamental Solutions (MFS) • MFS單層勢能問題(單極) 勢能函數u 在場點 若具有齊性等向性則滿足Laplace equation 其式子為： MFS雙層勢能問題

  8. Method of Fundamental Solutions (MFS) • MFS單層勢能問題(單極) 任意一源點 對場內ㄧ點 所造成的勢位場，可由二維的勢能問題基本解表示式來表示： 其中 為源點 和場點 間的距離 MFS雙層勢能問題

  9. Method of Fundamental Solutions (MFS) • MFS單層勢能問題(單極) 而對所有在場內源點勢能加總的表示式可表示為： 其中 為在 點感受到的強度，為一虛擬的單層密 度函數。 MFS雙層勢能問題

  10. Method of Fundamental Solutions (MFS) • MFS雙層勢能問題(單極) 若 為過 的通量，其勢流場核函數 MFS雙層勢能問題

  11. Method of Fundamental Solutions (MFS) • MFS雙層勢能問題(單極) 其系統方程矩陣可表示為： MFS雙層勢能問題

  12. MFS勢能問題(偶極) 基本上與單極勢能問題並無太大出入，主要的差異在於偶極勢能問題是在領域外用兩個極點去處理問題。並也可進而推廣到多個極點。 Method of Fundamental Solutions (MFS) MFS雙層勢能問題

  13. Method of Fundamental Solutions (MFS) • MFS單層勢能問題(偶極) 根據單極的勢能公式，單層勢能(偶極)的公式可改寫成 令 令h趨近0取極限且 可得 MFS雙層勢能問題

  14. Method of Fundamental Solutions (MFS) • MFS單層勢能問題(偶極) 又 代入整理可得 其中 MFS雙層勢能問題

  15. Method of Fundamental Solutions (MFS) • MFS雙層勢能問題(偶極) 其勢流場的表示式為 當 MFS雙層勢能問題

  16. Method of Fundamental Solutions (MFS) • MFS雙層勢能問題(偶極) 以系統矩陣形式表達為 其中 MFS雙層勢能問題

  17. 混合方法 混合的方法可用不同的邊界點排列得到，其系統方程與上述相同。其源點可沿著放大區域的邊界任意安置。 根據經驗，為了得到較好的效果，放大區域的比例大約介於1.5~1000之間。 Method of Fundamental Solutions (MFS) MFS雙層勢能問題

  18. 算例 • 一塊方形區域，其邊界位移條件(Dirichlet conditions)給定如圖所示： MFS雙層勢能問題

  19. 通常在其放大區域的倍率介於2到1000之間的表面，使用一些組合去佈4~40個邊界點。在這裡分12個邊界點及24個邊界點，在放大倍率5的區域表面上去討論。通常在其放大區域的倍率介於2到1000之間的表面，使用一些組合去佈4~40個邊界點。在這裡分12個邊界點及24個邊界點，在放大倍率5的區域表面上去討論。 而由圖形可觀察其平均誤差值之比較。 算例(續) MFS雙層勢能問題

  20. 而在使用雙極點，或是雙極點與單極點組合的方法下，也可發現振盪的強度很有效的減少。而在使用雙極點，或是雙極點與單極點組合的方法下，也可發現振盪的強度很有效的減少。 算例(續) MFS雙層勢能問題

  21. 結論 此方法在驗證後可得到以下結論： • 用(D)或(MDD)或 (MDS)的極點排列方法，可以發現其誤差值較小，比用(M) 好。 • 用(D)(MDD)或(MDS)的方法，可以減少源點振盪的強度。 • 用(D)(MDD)或(MDS)可以減少在圖形上源點安置的數目，因此特別在一個狹小圖形卻需要安置大量源點時，可用此降低源點數。 MFS雙層勢能問題

  22. 參考文獻 • Dipoles formulation for the method of fundamental solutions~applied to potential problems~George S.A. Fam Youssef F. Rashed~The British University in Egypt (BUE), P.O. Box 43, El-Sherouk City 11837, Egypt • THE METHOD OF FUNDAMENTAL SOLUTIONS: A WEIGHTED LEAST{SQUARES APPROACH~YIORGOS{SOKRATIS SMYRLIS • http://www2.nsysu.edu.tw/csmlab/fem/project/ansysprj.htm • 邊界元素法~陳正宗、洪宏基 教授 MFS雙層勢能問題

  23. 報告結束 謝謝各位 MFS雙層勢能問題

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