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第五章 離散型隨機變數及其常用的機率分配

第五章 離散型隨機變數及其常用的機率分配. 5.1 隨機變數. 5.1.1 隨機變數的意義 隨機實驗時，真正關心是將這些 確切結果 經由一有意義的 實數值函數 轉換，進而改以 函數值 表示的事件。 經實數值函數轉變後以數值表示的事件即稱為實數值事件( real value event)， 在實數裏有很多數學運算可應用，如加 法、減法、積分、微分。 例如 : 觀察投擲兩枚骰子的實驗中， 〔 確切結果 〕 : （1,3）或（3,1）或（2,2）

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第五章 離散型隨機變數及其常用的機率分配

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  1. 第五章 離散型隨機變數及其常用的機率分配

  2. 5.1 隨機變數 5.1.1 隨機變數的意義 隨機實驗時，真正關心是將這些確切結果經由一有意義的實數值函數轉換，進而改以函數值表示的事件。 經實數值函數轉變後以數值表示的事件即稱為實數值事件( real value event)，在實數裏有很多數學運算可應用，如加 法、減法、積分、微分。 例如: 觀察投擲兩枚骰子的實驗中， 〔確切結果〕 :（1,3）或（3,1）或（2,2） 〔重要意義〕： 是兩枚骰子總合〔函數〕為4〔函數值〕事件。 經一特定實數值函數，並以轉換後的函數值來表示事件，則 此實數值函數即稱為隨機變數。

  3. 5.1 隨機變數(續) 以大寫英文字母來表示此函數，也就是隨機變數。 以小寫英文字母來表示函數值，也就是隨機變數可能值。 如投擲兩枚骰子實驗，若定義隨機變數Ｙ〔函數〕：其面朝上點數總合。而其相對的可能值〔函數值〕Ｙ＝2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。以｛Ｙ＝ y｝表示原樣本空間，經此函數轉變後的實數值事件。 定義5.1.1 隨機變數（random variable）即是以樣本空間為定義域而值 域為實數的實數值函數。

  4. 5.1 隨機變數(續) 【例5.1】 考慮投擲三枚硬幣實驗，定義隨機變數Ｙ：出現正面的次數。試著 將每一樣本點所對應的函數值列出，並列出所有轉換後的實數值事 件，所各自包含的樣本點。

  5. 5.1 隨機變數(續) 解： 投擲三枚硬幣其樣本空間為：　H：正面　T：反面　　 Ｓ＝｛ HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT ｝ 隨機變數Ｙ定義為出現正面的次數，其對應關係如本頁圖5-1所示。 由此圖可知，隨機變數的可能值Ｙ＝0,1,2,3。原樣本空間經由隨機變數而轉變成4個實數值事件。其各自包含的樣本點為 ｛Ｙ＝0｝＝｛ TTT ｝ 　　　 ｛Ｙ＝1｝＝｛ THT，TTH，HTT ｝ ｛Ｙ＝2｝＝｛ HHT，HTH，THH ｝ ｛Ｙ＝3｝＝｛ HHH ｝

  6. 5.1 隨機變數(續)

  7. 5.1 隨機變數(續) 5.1.2 隨機變數的分類: 可區分為兩大類： 離散型隨機變數（discrete type random variable）:當一隨機變數其可能值的個數為有限個（finite）或可數的無限多（countably infinite）時，稱為離散型隨機變數。 連續型隨機變數（continuous type random variable）: 若一隨機變數其可能值為不可數的無限多（uncountably infinite）時，稱為連續型隨 機變數。

  8. 5.1 隨機變數(續) 【例5.3】 1. 定義隨機變數Ｘ：投擲一枚硬幣次，其出現正面的次數。則Ｘ的可能值為 x＝0,1,2,3,…...〔有限個〕。Ｘ為離散型隨機變數。 2. 定義隨機變數Ｙ：一小時內某一路口通過之車輛個數。則Ｙ的可能值 y＝0,1,2,3,……..〔可數的無限多〕。Ｙ為離散型隨機變數。 3. 定義隨機變數Ｔ：某一電視機之使用壽命。則Ｔ的可能值ｔ≧0〔不可數的無限多〕。Ｔ為連續型隨機變數。

  9. 5.2 離散型隨機變數之機率分配 定義5.2.1 一離散型隨機變數之機率分配（probability distribution），即是以表格、圖表、或公式，將隨機變數所有可能值而成的事件之機率一一列出。 • 定義5.2.2 • 一離散型隨機變數Ｙ之機率分配 • 則有下列性質： • . 0≦ ≦1，對每一可能值。 • . ＝1

  10. 5.2 離散型隨機變數之機率分配(續) 【例5.4】 台灣某一大學，企管系大二班。班上成績前五名中，有三名為男同 學，二名為女同學。由於五名同學都十分優秀，老師想以公平之標 準，隨機抽取二人擔任統計學助教。定義隨機變數Ｙ：抽取二人中， 女同學之人數。試以表格、圖表、或公式列出隨機變數Ｙ之機率分 配。

  11. 5.2 離散型隨機變數之機率分配(續) 解： 隨機變數Ｙ定義為抽取二人中女同學之人數，Ｙ 可能值 y＝0,1,2。 欲求Ｙ之機率分配，必先將P (Ｙ＝0)，P (Ｙ＝1)，P (Ｙ＝2)求出。 由於採隨機抽出，此實驗之所有樣本點，發生機率皆相同。 是故我們試著以古典法，求算事件機率。 先行介紹一組合符號 或 。此值 ＝ ＝ 代表著在個不同的個體中，隨機抽取x個，其各種不同可能抽取結 果之總數。故就本題而言，在五名學生中，抽取二名即有 個各 種可能結果。也就是此實驗之樣本空間有 ＝10個樣本點。

  12. 5.2 離散型隨機變數之機率分配(續)

  13. 5.2 離散型隨機變數之機率分配(續)

  14. 5.2 離散型隨機變數之機率分配(續)

  15. 5.2 離散型隨機變數之機率分配(續) 累積機率F (x)，我們又可將之稱為累積分配函數（cumulative distribution function），簡稱 c.d.f.。 定義5.2.3 一離散型隨機變數Ｙ之累積機率（cumulative probability）： F ( )＝P (Ｙ≦ ) = ，意即將離散型隨機變數，由Y最小的可能值的機率，累加至 Ｙ＝ 的機率為止之值。

  16. 5.3 期望值及變異數

  17. 5.3 期望值及變異數(續) 5.3.1 離散型隨機變數之期望值 假設考慮投擲一公平骰子36次，進而出現之點數如下：　　　　2,1,2,4,5,6 5,3,1,6,6,3 3,6,4,1,1,5 　 4,5,3,6,6,3 6,2,1,4,6,1 3,3,5,6,1,6 就以上資料36個數值，我們可計算其樣本平均數為 再將這些資料稍加整理之後，可得如下表所示

  18. 5.3 期望值及變異數(續) 經由上表所表示各可能值之次數分配，我們可以行另一方式，求算 該樣本平均數： 計算法則即是為 (樣本平均數)＝Σ〔點數（可能值）×相對次數〕

  19. 5.3 期望值及變異數(續)

  20. 5.3 期望值及變異數(續) 【例5.6】 考慮投擲三枚公平硬幣，定義隨機變數：三枚公平硬幣正面朝上之 個數。試求隨機變數之期望值。 解： 此隨機變數Ｙ之機率分配為： 根據期望值定義 Ｅ[y]＝

  21. 5.3 期望值及變異數(續)

  22. 5.3 期望值及變異數(續) 5.3.2 離散型隨機變數之變異數

  23. 5.3 期望值及變異數(續) 5.3.3 期望值及變異數之基本定理

  24. 5.3 期望值及變異數(續)

  25. 5.3 期望值及變異數(續) 【例5.10】 再以例5.6為例，並利用定理5.5，求出隨機變數之變異數。

  26. 5.4 二項分配及超幾何分配 接著將介紹幾個特殊且常見的機率分配： 二項分配　（binomial distribution） 超幾何分配（hyper-geometric distribution） 卜瓦松分配（Poisson distribution） 隨機變數的機率分配本是透過此隨機變數所定義的函數關係，由原實驗樣本空間轉換而來。

  27. 5.4 二項分配及超幾何分配(續) 5.4.1 二項分配

  28. 5.4 二項分配及超幾何分配(續)

  29. 5.4 二項分配及超幾何分配(續)

  30. 5.4 二項分配及超幾何分配(續)

  31. 5.4 二項分配及超幾何分配(續)

  32. 5.4 二項分配及超幾何分配(續) 5.4.2 超幾何分配

  33. 5.4 二項分配及超幾何分配(續)

  34. 5.4 二項分配及超幾何分配(續)

  35. 5.4 二項分配及超幾何分配(續) 【例5.16】超幾何分配 在一水塘池中，計有20隻魚，其中有15隻金魚，5隻吳郭魚。今從池 中抽取2隻魚，並定義隨機變數Ｙ表示抽中吳郭魚隻數。試求出： (a) 隨機變數之機率分配 (b) 期望值E [Y]，變異數V (Y)

  36. 5.4 二項分配及超幾何分配(續) 解： (a) 隨機變數Ｙ表示抽中吳郭魚隻數。且一次抽取2隻，如此即可 視為採不放回，故Y必為超幾何隨機變數。根據 定義 5.4.6 N＝20，r＝5，n＝2 P (Ｙ＝ｙ)＝ ，　　ｙ＝0,1,2

  37. 5.4 二項分配及超幾何分配(續)

  38. 5.4 二項分配及超幾何分配(續)

  39. 5.4 二項分配及超幾何分配(續) 5.4.3 二項分配與超幾何分配的關係 實務上很多抽樣檢驗，都是以一次抽取，也就是抽取不放回方式來 進行。理論上我們應以超幾何分配來求算機率，不過在 例5.13中我 們曾經提及，當母體所含個數與抽取樣本個數相差很大時，此時雖 採不放回方式，不過試驗間還是逼近“獨立”，故依舊以二項分配來 估算，為什麼呢？玆以下例說明：

  40. 5.4 二項分配及超幾何分配(續) 【例5.18】 科學園區某一工廠，元月份共出產產品1000件，可惜此批產品中有 100件為不良品。令隨機變數Y表示抽取5件中，不良品個數。則分別 以(a)超幾何分配(b)二項分配，求算機率並比較差異! 解： (a) 採超幾何分配求算，N＝1000，r＝100，n＝5 P (Ｙ＝y)＝ ，　　　y＝0,1,2,3,4,5

  41. 5.4 二項分配及超幾何分配(續)

  42. 5.4 二項分配及超幾何分配(續) 由上可知，當N，n差距很大時，分別用二項分配及超幾何分配求算 的機率值非常接近，可是求算過程中，經由超幾何分配可比起二項 分配計算繁雜的多。所以當母體所含物體個數與抽取樣本個數差距 很大時，以二項分配估算 b（n；p＝n/N）顯得容易的多，且又逼近 超幾何分配求算值。

  43. 5.4 二項分配及超幾何分配(續)

  44. 5.6 卜瓦松分配 5.6.1 卜瓦松分配的意義 考慮一隨機實驗，此實驗特色為，在某一特定區間內（一段時 間、一段距離、一部分面積、體積），觀察某特定“稀少”事件 發生的次數。所謂“稀少”，意指該事件發生的機率低，故發生 的次數少，不過理論上而言，此稀少事件發生的次數，也可能 至無限次，只不過其可能性非常的低。若令隨機變數Ｙ表示在 此實驗中，此特定事件發生的次數。則此觀察過程，我們稱之 為卜瓦松實驗（Poisson experiment），隨機變數Ｙ稱為卜瓦松 隨機變數（Poisson random variable），其可能值y＝0,1,2,…..為 無限但可數。

  45. 5.6 卜瓦松分配(續) 卜瓦松實驗有下列特性： 1. 在一單位區間，如單位時間或單位面積內，此特定稀少事件發生 平均次數（λ），通常為已知且固定。 2. 此事件在單位區間內發生平均次數（λ），通常與區間大小（t） 成正比。 3. 不管此事件在該區間中何點發生，發生的機率必皆相同。 4. 假設此實驗可分割成極小的區間，每一區間至多可發生一件此特 定事件(成功)，或是無該事件發生(失敗)。換句話說，每一小區間， 可能發生結果只有兩類。 5. 事件在各小區間中發生與否，相互獨立。

  46. 5.6 卜瓦松分配(續)

  47. 5.6 卜瓦松分配(續) 【例5.23】 台北市每天平均一小時內，發生一次搶案。若令Ｙ表示一小時內， 發生搶案次數。假設Ｙ符合卜瓦松分配，試問： (a) 一小時內，完全無搶案發生的機率。 (b) 一小時內，發生搶案超過兩次的機率。 (c) 兩小時內，恰巧只發生一次搶案的機率。

  48. 5.6 卜瓦松分配(續) 解： (a) 由題目可知，Ｙ符合卜瓦松分配，λ＝1 一小時內，完全無搶案發生，即 Ｙ＝0 P (Ｙ＝0)＝ (b) 一小時內，發生搶案超過兩次，即　Ｙ＞2 P (Ｙ＞2)＝1－P (Ｙ＝0)－P (Ｙ＝1)－P (Ｙ＝2)

  49. 5.6 卜瓦松分配(續) (c) 令卜瓦松隨機變數Ｘ表示兩小時內發生搶案的次數。根據特性 第二點，其平均搶案發生次數λ＝2。 兩小時內，恰巧只發生一次搶案，即　Ｘ＝1 P (Ｘ＝1)＝

  50. 5.6 卜瓦松分配(續)

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