數學本質概念 【 分數計算 】

1. 數學本質概念【分數計算】 TKU95A 02陳雅君 04李思萱

2. 壹、關於分數計算 • 在短時間內，分數計算的規則可以被很簡單地教導。 背誦記憶 • 將焦點注意在分數規則和答案的獲得時，會有兩種顯著的危險： 1.沒有一個規則幫助學生思考關於運算的意義和為何他們要如此做。 2.當分數計算規則變得相似或易混淆時，則學生的計算優勢很快就會失去。

3. 分數計算策略 指導方向： • 開始由簡單的情境問題著手 • 以全數的計算連結分數計算的意義 • 讓估算和非正式的方法在策略的發展上扮演重大的角色 • 利用模式探究每一種運算之使用

4. 一至九年級【分數計算】綱要結構 • 一年級 (無) • 二年級 2-n-07 能在具體情境中，進行分裝與平分的活動。 2-n-10 能在平分的情境中，認識分母在12以內的單位分數， 並比較不同單位分數的大小。 • 三年級 3-n-09 能在具體情境中，初步認識分數， 並解決同分母分數的比較與加減問題。 • 四年級 4-n-06 能在平分情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。 4-n-07 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數 的互換，並進行同分母分數的比較、加、減與非帶分數 的整數倍的計算。 4-n-08 能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較， 並用來做簡單分數與小數的互換。 • 五年級 5-n-04 能用約分、擴分處理等值分數的換算。 5-n-05 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。 5-n-06 能在測量情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。 5-n-07 能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。 5-n-11 能將分數、小數標記在數線上。 • 六年級 6-n-03 能理解除數為分數的意義及其計算方法，並解決生活中的問題。 6-n-05 能作分數的兩步驟四則混合計算。 • 七年級 7-n-11 能以最大公因數、最小公倍數熟練運用至 • 約分、擴分、最簡分數的計算。 • 八、九年級(無)

5. 分數的計算教學順序 依分數的型態整理如下： 單位分數真分數等值分數通分擴分&約分最簡分數 假分數帶分數 倒數(用於分數的除法)

6. 貳、分數大小的比較 教學策略：藉由具體物或圖示的方式讓學生了解等值分數之間的等價關係。 1.分母相同的兩個分數，分子大的分數比較大。 例題：＞ 2.分子相同的兩個分數，分母小的分數比較大。 例題： ＞

7. 叁、等值分數 教學策略：藉由具體物或圖示的方式讓學生了解等值分數之間的等價關係。 例題：

8. 擴分 教學策略：讓學生去歸納擴分時分子與分母需同乘一數，之後再出幾個題目請學生做擴分練習 。 例題： = 觀察得： 分子 4 是由 2 × 2而得， 分母 10 是由 5 × 2而得。

9. 約分 教學策略：將擴分的概念倒推回來，了解其間的關係之後，再帶入最簡分數的概念。 例題：= 是 2× 2、5× 2而得 而 = 即 4÷ 2、10÷ 2而得

10. 最簡分數 教學策略：找不到一個數可以同時去除一個分數的分子和分母時即為互質。 例題： = 為4÷ 2、10÷ 2而得， 但是找不到一個數 可以同時去除 的分子2與分母5 也就是2和5互質 因此我們說 是最簡分數。

11. 肆、分數的加減 一、同分母分數的加減：不需進(退)位 需進(退)位 二、異分母分數的加減：不需進(退)位 需進(退)位

12. 一、同分母分數的加減 教學策略：最好可以搭配圖示（畫圓形圖、線段圖，或是舉出生活中的實例）來做教學。 例題：不需進(退)位 需進(退)位

13. 二、異分母分數的加減 教學策略：以投影片為教具可讓學生清楚看見異分母之間的關係，是不錯的選擇。 例題：不需進(退)位 需進(退)位

14. 伍、分數的乘法 一、分數的整數倍：單位分數的整數倍、真分數的整數倍、帶分數的整數倍。 二、整數的分數倍：整數的單位分數倍、整數的真分數倍、整數的帶分數倍，其積數可能為整數或分數。 三、分數的分數倍：單位分數的單位分數倍、單位分數的真分數倍、真分數的單位分數倍、真分數的真分數倍。

15. 一、分數的整數倍 1.真分數的整數倍 ◎由連加導入： × 3 是 有 3 個 ×3＝ ＋ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ◎用單位分數說明： 是3個 3個 有3個，共是9個 ，9個 是 = 所以 ×3＝ = = ◎發現法則：分數乘以整數，用整數去乘分數的分子為積的分子，原分母為積的分母（ ×丙= ）

16. 一、分數的整數倍 2.帶分數的整數倍 ◎將帶分數視為整數和真分數的合成結果 例題：求 的3倍時，先將 視為 2 + 分別求2 × 3 = 6與 × 3 = 後， 再將結果合併成帶分數的形式，亦即6＋ = 6 ◎將帶分數轉換為假分數 例題：求 的3倍時，先將 視為 的三倍 為 × 3 = = 6

17. 二、整數的分數倍 1.整數的單位分數倍 2.整數的真分數倍 3.整數的帶分數倍 其積數可能為整數或分數。 教學策略：整數乘以分數，用整數乘以分數的分子為積的分子，原分母為積的分母 （甲 × = ）

18. 三、分數的分數倍 1.單位分數的單位分數倍 2.單位分數的真分數倍 3.真分數的單位分數倍、真分數的真分數倍。 教學策略：上面乘上面 、下面乘下面（ × ＝ ） 例題： × = = 教學策略：一般來說，我們會把兩個分數相乘的結果化成最簡單的分數，也就是說，如果發現相乘後分子與分母還有共同的因數時應將它們除掉(亦即約分)。 例題： × = = =

19. 陸、分數的除法 一、整數除以整數， 結果為分數的除法問題 二、整數除以分數 三、分數除以整數 四、分數除以分數

20. 佔 4公升 4公升 3公升 一、整數除以整數， 結果為分數的除法問題 教學策略：可以利用實物、畫圖等方式 讓學生更易建立概念。 例題：將3公升的水倒入容量4公升的水桶，水占水桶的幾分之幾？ 算式：3 ÷ 4 = 公升 圖解： 由圖來看，1公升的水佔水桶的 ，3公升的話就是佔了3個 ， 也就是3 × = ，得知3 ÷ 4 = ， 亦即整數除以整數，結果為分數的除法問題 乙 ÷ 甲 =

21. 二、整數除以分數 教學策略：整數除以分數，等於整數 × 此分數的倒數（甲÷ =甲× ）。 例題：個大餅要5元，一個大餅要多少錢？ 由圖知，一個大餅等於4個 大餅， 也就是5 × 4 = 20元 所以20 = 5 ÷ = 5 × 4 = 5 ×  5 ÷ = 5 × 5

22. 三、分數除以整數 教學策略：當學生不了解時可以先將分數改成整數讓學生了解題目的意義，之後再改回分數作計算。 例題：把 公尺的繩子，平分成兩段，每段長多少公尺？ 把 分成兩段，就是把4個 平均分成兩份， 1段就是( 4 ÷ 2 ) = 2個 ，亦即 。 聯繫前面學過的分數乘法的意義， 說明把 平分成兩段，也就是 公尺的 。 所以，可以用乘法計算 ÷ 2 = ×

23. 四、分數除以分數 教學策略：由被除數與除數同乘以一數， 其商不變的道理導入法則 （ ÷ = × ） 6÷3=（6×2）÷（3×2）=12÷6=2 6÷3=（6×2×4）÷（3×2×4）=48÷24=2 例題：÷ =（ × ）÷（ × ）=（ × ）÷1 = ×

24. 柒、資料來源 一、網路 1. http://www.naer.edu.tw:8080/林宜臻的數學園地 2. http://www.naer.edu.tw/study/math/ana/book3/國小數學教材分析 3. http://content.edu.tw/primary/math/jm_jh/math/s3high/s311.htm 分數的四則運算與等值分數的設計，呂玉琴。 4. http://rcs.wuchang-edu.com/Special/Subject/XXSX/DGJC/211/ 中教育星多媒體教育資源庫&平台 5. http://menet.math.ecnu.edu.cn/overseas/jshpx_j.htm教師培訓 6. http://www.wyjh.mlc.edu.tw/winpon/modules.php?name=MyMath 中小學數學學習教材 二、書籍 1.《中小學數學科教材教法》五南出版社 張英傑、周菊美／譯 2.《國小數學科教學研究》五南出版社 劉秋木／著

25. 報告完畢感謝聆聽