离 散 数 学

1. 离 散 数 学 计算机科学与工程学院 信息与软件工程学院 电子科技大学 2014年9月1日星期一

2. v1 v2 v5 v3 v4 11.5 平面图 • 11.5.1 平面图的定义 • 在一张纸上画几何模型时常常会发现，不仅需要允许各边在结点处相交，而且还应该允许各边在某些非结点处相交，这样的点称为交叉点(Cross Point)；而相交的边，称为交叉边(Cross Edge)。

3. v1 v1 v2 v2 v5 v5 v3 v4 v3 v4 定义11.5.1 • 如果能把一个无向图G的所有结点和边画在平面上，使得任何两边除公共结点外没有其他交叉点，则称G为平面图(Plane Graph)，否则称G为非平面图(Nonplanar Graph)。 • 当且仅当一个图的每个连通分支都是平面图时，这个图是平面图。 平面图的平面表示 应当注意，有些图从表面上看它的某些边是相交叉的，但是不能就此肯定它不是平面图。

4. v1 v2 v3 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v4 v5 v6 非平面图 • 有些图形不论如何改画，除去结点外，总有边相交叉。 • 即不管怎样改画，至少有一条边与其他边相交叉，故它是非平面图。

5. v1 P2 P1 P2 v2 v4 P1 v3 11.5.2 观察法 • 设G是画于平面上的图，并设 • C = v1…v2…v3…v4…v1 • 是G中的任何基本回路。此外，设P1 = v1…v3和P2 = v2…v4是G中的任意两条无公共结点的基本通路。 观察法

6. v1 v2 v3 v1 v6 v4 v4 v5 v6 v3 v2 v5 例11.5.1 • 用观察法来判定图K3,3为非平面图。

7. 11.5.3 欧拉公式 • 定义11.5.2在平面图G的一个平面表示中， • 由边所包围的其内部不包含图的结点和边的区域，称为G的一个面(Surface)， • 包围该面的诸边所构成的回路称为这个面的边界(Bound)， • 面r的边界的长度称为该面的次数(Degree)，记为D(r)。 • 区域面积有限的面称为有限面(Finite Surface)，区域面积无限的面称为无限面(Infinite Surface)。 • 平面图有且仅有一个无限面。

8. 面的形象描述： • 假设我们把一个平面图的平面表示画在平面上，然后用一把小刀，沿着图的边切开，那么平面就被切成许多块，每一块就是图的一个面。 • 更确切地说，平面图的一个面就是平面的一块，它用边作边界线，且不能再分成子块。

9. a r0 a r1 r0 c r1 b r2 h c b r3 r2 i k i h j r3 j k d e d e 例11.5.2 • 考察下图所示平面图的面、边界和次数。 解 平面图把平面分成4个面： r0，边界为abdeheca，D(r0)=7 r1，边界为abca，D(r1)=3 r2，边界为becb，D(r2)=9 r3，边界为bdeb，D(r3)=3 r1、r2和r3是有限面，r0是无限面。 注意：对于平面图的不同平面表示，虽然面的数目相同，但各面的边界和次数会不同。

10. 定理11.5.1 • 平面图中所有面的次数之和等于边数的二倍。 • 证明 因任何一条边，或者是两个面边界的公共边，或者是在一个面中作为边界被重复计算两次，故平面图所有面的次数之和等于其边数的二倍。 • 1750年，欧拉发现，任何一个凸多面体，若有n个顶点、m条棱和r个面，则有n-m+r = 2。这个公式可以推广到平面图上来，称之为欧拉公式。

11. 欧拉公式 • 定理11.5.2设G = <V, E>是连通平面图，若它有n个结点、m条边和r个面，则有 • n-m+r = 2 • 证明 我们对G的边数m进行归纳。 • 若m = 0，由于G是连通图，故必有n = 1，这时只有一个无限面，即r = 1。所以 • n-m+r = 1-0+1 = 2 • 定理成立。

12. 证明 • 若m=1，这时有两种情况： • （1）该边是自回路，则有n=1，r=2，这时 • n-m+r=1-1+2=2 • （2）该边不是自回路，则有n=2，r=1，这时 • n-m+r=2-1+1=2 • 所以m=1时，定理也成立。 • 假设对少于m条边的所有连通平面图，欧拉公式成立。现考虑m条边的连通平面图，设它有n个结点。分以下两种情况：

13. 证明(续) • （1）若G是树，那么m=n-1，这时r=1。所以 • n-m+r=n-(n-1)+1=2 • （2）若G不是树，则G中必有回路，因此有基本回路，设e是某基本回路的一条边，则G’=<V,E-{e}>仍是连通平面图，它有n个结点，m-1条边和r-1个面，按归纳假设知 • n-(m-1)+(r-1)=2 • 整理得 • n-m+r=2 • 所以对m条边时，欧拉公式也成立。

14. 推论11.5.1 • 设G是一个(n,m)简单连通平面图，若m＞1，则有 • m≤3n-6 • 证明 设G有k个面，因为G是简单图，所以G的每个面至少由3条边围成，所以G所有面的次数之和 由定理11.5.1知，2m≥3k，即k≤2m/3， 代入欧拉公式有 2＝n-m+k≤n-m+2m/3 即 2≤n-m/3 整理得 m≤3n-6

15. 说明 • 推论11.5.1本身可能用处不大，但它的逆否命题却非常有用，可以用它来判定某些图是非平面图。即 • 一个简单连通图，若不满足m≤3n-6，则一定是非平面图。 • 但需要注意，满足不等式m≤3n-6的简单连通图未必是平面图。

16. 例11.5.3 • 证明5个结点的完全图K5是非平面图。 • 分析 因为K5是简单连通图，我们可以验证m≤ 3n-6不成立，因此它不是平面图。 • 证明 因为K5是简单连通图，n=5，m=10，因此m＞3n-6=3×5-6=9，故不满足m≤3n-6，因此它不是平面图。 • 再看图K3,3，n=6，m=9，满足不等式m≤3n-6，但是我们已用观察法证明了它是一个非平面图。

17. 推论11.5.2 • 设G是一个(n, m)简单连通平面图，若每个面的次数至少为k(k≥3)，则有 证明 设G共有r个面，各面的次数之和为T， 由条件可知 T≥k×r 又由定理11.5.1知 T = 2×m 利用欧拉公式解出面数 r = 2-n+m 由此得出下式成立 2×m≥k×(2-n+m) 从而有 (k-2)×m ≤ k×(n-2) 由于k≥3，因而结论成立

18. 说明 • 推论11.5.2本身可能用处不大，但它的逆否命题却非常有用，可以用它来判定某些图是非平面图。即 • 一个简单连通图，若每个面的次数至少为k(k≥3)，若不满足 ，则一定是非平面图。

19. 例11.5.4 • 不使用观察法证明图K3,3是一个非平面图。 • 证明 利用推论11.5.2可以判断。事实上，假设K3,3是一个平面图，那么它的每个面的次数均不能小于等于3，即每个面的次数均大于等于k(k≥4)，由推论11.5.2，有 • 注意到 在k=4时取最大值2，因而9≤8，这是矛盾的。

20. 11.5.4 库拉托夫斯基定理 • 定理11.5.3(库拉托夫斯基定理)一个图是平面图的充分必要条件是它的任何子图都不可能收缩为K5或K3,3。 • 推论11.5.3一个图是非平面图的充分必要条件是它存在一个能收缩为K5或K3,3的子图。 • 我们将K5和K3,3称为库拉托夫斯基图(Kuratowski Graph)。

21. v1 w1 v1 v1 u1 u1 u1 v2 v5 w2 w5 v2 v5 w2 w5 u2 u2 u5 u5 u3 u3 u4 u4 w3 w4 v3 v4 w3 w4 v3 v4 例11.5.5 • 下图所示的彼得森图是一个非平面图。 方法二：找到子图， 收缩边(vi,ui)，用wi代替，i=2,3,4,5，得到图即为K3,3。 证明 方法一：收缩边(vi, ui)，用wi代替，i = 1, 2, 3, 4, 5，得到图即为K5。

22. 11.5.7 平面图的难点 • 平面图是能够画在平面上，除结点处外没有边的交叉。要注意把握“能够”，而不一定已经画成了无交叉的图； • 平面图的桥在计算面的边界有算2次； • 对于结点数较少的图，用观察法来判断它是否是平面图还是比较有效的，但结点数较多时就不行了； • 欧拉公式很重要，特别它的推论，我们可以利用其逆叙述来判断一个图不是平面图； • 判断一个图是否是平面图的库拉托夫斯基定理在用于判断比较复杂的图时还是很困难的，如何选择子图，如何进行收缩都很困难。

23. 11.5.8 平面图的应用 • 1、公共事业问题 • 假设有3幢房子，利用地下管道连接3种服务——供水、供电和供气。连接这些服务的条件是管子不能相互交叉。该问题称为三个公共事业问题。 • 分别用3个结点表示3幢房子和3个结点表示水源、电源和气源连接点，再在3幢房子结点和3个连接点结点连接表示管子的边，得到图G。这样问题就转化为判断G是否是平面图的问题。显然，G为K3,3，由平面图的知识知，G不是平面图，即三个公共事业问题的管子连接是不可能的。

24. 2 3 1 主要知识点汇集 习题类型 解题分析和方法 11.6 本章总结

25. 1、主要知识点汇集 • 基本概念：欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、桥、哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、偶图、匹配、平面图、对偶图、图的着色等； • 判定方法：欧拉图和偶图都有简单的方法，但哈密顿图和平面图的判定却很困难； • 在哈密顿图、平面图、偶图的匹配中都分别有定理仅是必要条件，注意，此必要条件正方面的叙述无法用来判断一个图是否是哈密顿图、平面图，是否有匹配，此时该定理是毫无用处的，但必要条件的等价逆叙述却非常的宠要，用此逆叙述可以判断一个图不是哈密尔图、是非平面图、无匹配；

26. 主要知识点汇集 • 在哈密顿图与匹配中，也有充分条件，充分条件也只能在这样的情况下有用。即如“条件”满足，一定可知该图是哈密顿图，有匹配，但“条件”不满足时，即无法判断图不是哈密顿图、无匹配，也无法判断该图是哈密顿图，有匹配； • 平面图中欧拉公式； • 特殊的应用：一笔画问题、计算机鼓轮设计、巡回售货员问题、中国邮路问题等。

27. 2、习题类型 • 基本概念题：主要观测点在于几个特殊图的基本概念； • 判断题：主要观测点在于判定图是否是几个特殊图之一、偶图是否存在匹配、是否k-可着色等； • 计算题：主要观测点在于结点的度数、欧拉通(回)路、哈密顿通(回)路、匹配方案、面边界及其次数、图的色数等； • 证明题：主要观测点在于几个特殊图的证明

28. 3、解题分析和方法 • 用定义分析和判断某个特殊图； • 利用各种问题的现有算法，可机械地计算求解； • 在哈密顿图、平面图、偶图的匹配中都分别有定理仅是必要条件，注意，此必要条件正方面的叙述无法用来判断一个图是否是哈密顿图、平面图，是否有匹配，此时该定理是毫无用处的，但必要条件的等价逆叙述却非常的宠要，用此逆叙述可以判断一个图不是哈密尔图、是非平面图、无匹配；

29. 3、解题分析和方法 • 在计算和证明与结点的度数有关的问题时，欧拉公式非常有用； • 在计算和证明与结点的度数有关的问题时，经常使用握手定理； • 反证法非常有用，特别是在证明惟一性和不存在的时候。

30. 习 题 • 第333-335页 16. 19. 21.(b),(d) 22.(a) 26.(b) 29

31. http://202.115.21.136:8080/lssx/ Thank You !