Analisi delle serie storiche

1. Analisi delle serie storiche Metodi statistici per le decisioni economiche C.d.l.m. Economia e commercio a.a. 2013/2014 Prof. Francesco Campobasso

2. L’IMPORTANZA DELLA PREVISIONE A LIVELLO AZIENDALE Le condizioni economiche e del mercato cambiano continuamente nel corso del tempo. Gli operatori devono essere in grado di valutare e prevedere gli effetti di tali cambiamentisulla salute dell’aziendae quindi indirizzare l’attività di pianificazione e controllo. Le tecniche di previsione si basano sull’uso di dati storici, dai quali l’analista cerca di comprendere la struttura sottostante del fenomeno.

3. Cos’è una Serie Storica? Una serie storica è un insieme di dati numerici registrati ad intervalli regolari di tempo. Assunzione di base: i fattori che hanno influenzato l’andamento della serie nel passato e nel presente continuano ad esercitare effetti analoghi anche nel futuro. Primo obiettivo dell’analisi delle serie storiche è individuare e isolare tali fattori ovvero decomporre la serie storica in una serie di componenti facilmente interpretabili.

4. PRINCIPALI COMPONENTI DI UNA SERIE STORICA • Trend (Tt): tendenza di lungo termine all’incremento o al decremento dei valori della serie. • Stagionalità (St): scostamenti regolari intorno al trend con cadenza fissa inferiore ad un anno. • Ciclica (Ct): spiega gli scostamenti verso l’alto o verso il basso dei dati rispetto al trend di natura più o meno regolare, non stagionale, legati solitamente all’andamento generale dell’economia. • Irregolare o casuale (Et):legata a disturbi di natura accidentale che determina oscillazioni di breve periodo.

5. MODELLI DI COMPOSIZIONE • Modello additivo: Yt = Tt+Ct+ St+ Et • Modello moltiplicativo: Yt = Ttx CtxStx Et Ovvero Log( Yt)= Log(Tt)+Log(Ct)+ Log(St) + Log(Et) • Modello misto (con errore additivo): Yt = Ttx Ctx St+ Et

6. MODELLI DI COMPOSIZIONE • Modello additivo: le fluttuazioni della serie non variano con il suo livello

7. MODELLI DI COMPOSIZIONE • Modello moltiplicativo: le fluttuazioni della serie variano proporzionalmente con il suo livello

8. Analisi grafica • La rappresentazione grafica dei valori della serie permette di trarre le prime considerazioni di carattere qualitativo sulla serie. • Osservando un grafico è possibile individuare il modello di composizione della serie, intuire se i valori della serie manifestano un trend di lungo periodo oppure oscillano intorno a un’immaginaria linea orizzontale parallelaall’asse dei tempi, se esiste una stagionalità, ecc.

9. Esempio di una serie a componenti additive

10. Esempio di una serie a componenti moltiplicative

11. SERIE STORICA Analisi quantitativa Individuazione del modello e delle componenti Stima delle singole componenti Previsione Previsioni di breve o lungo periodo sull’andamento futuro della serie

12. Stima del trend (Tt) Esaminando il grafico è difficile stabilire se i valori della serie seguano un trend di lungo periodo, poiché le forti oscillazioni di breve periodo complicano l’impressione d’insieme. • Tecniche di livellamento: favoriscono una corretta visione delle tendenze di lungo periodo Medie mobili Livellamento esponenziale Tecniche altamente soggettive, in quanto dipendono dalla lunghezza del periodo ovvero dal peso scelto per la costruzione delle medie • Stima della funzione analitica f(t) Metodo dei minimi quadrati

13. Medie Mobili Una media mobile di periodo L consiste in una serie di medie aritmetiche calcolate su una sequenze Lvalori osservati. Indichiamo con una media mobile centrata di periodo dispari L. Supponiamo ad esempio di voler calcolare una media mobile centrata con un periodo L =5 anni su una serie di 11 anni. Le medie mobili centrate sono calcolate su sequenze consecutive di 5 osservazioni: …

14. Stima del trend (Tt) La stima del trend T(t) mediante medie mobili centrate di ordine L è definita nel seguente modo: t=(L-1)/2,…,n-[(L-1)/2] • Una media mobile centrata di lunghezza L sufficientemente elevata, individua un trend lineare. • Un valore troppo elevato di L tenderà a distorcere i risultati individuando artificiosamente un trend lineare. • In assenza di altre informazioni, si preferiscono medie mobili di basso ordine, ad esempio a 3 o a 5 termini.

15. Medie Mobili MM2(3)=(266,0+145,9+183,1)/3=198,3 MM3(5)=(266,0+145,9+183,1+119,3+180,3)/5=178,9 MM4(7)=(266,0+145,9+183,1+119,3+180,3+168,5+213,8)/7=163,3

16. Medie Mobili La lunghezza L scelta per la media mobile influenza il risultato della perequazione. All’aumentaredel numero di termini, la spezzata che unisce i punti perequati si fa sempre più smussata.

17. Medie Mobili • Le medie mobili sono filtri lineari che causano perdite di informazioni in corrispondenza dei primi e degli ultimi (L-1)/2 termini della serie per i quali non è possibile calcolare alcun valore stimato del trend. • La perdita dei primi termini è poco importante, mentre quella dei termini più recenti ha conseguenze rilevanti ai fini previsivi.

18. Livellamento esponenziale • Tecnica utilizzata per smussare una serie storica di dati al fine di individuare la tendenza di lungo periodo. • Consiste nell’applicazione alla serie dei dati una media mobile ponderata esponenzialmente: t= 2, …, n dove 0<w<1 è il peso o fattore di smorzamento assegnato soggettivamente. • Con valori bassi di winfatti vengono meglio evidenziate le tendenze di lungo periodo della serie, mentre valori elevati consentono più precisi previsioni di breve periodo.

19. Livellamento esponenziale T2(w=0,1)=145,9*0,1+266,0*(1-0,1)=254,0 T3(w=0,1)=183,1*0,1+254,0*(1-0,1)=246,9 T3(w=0,3)=183,1*0,3+230,0*(1-0,3)=215,9

20. Livellamento esponenziale Se lo scopo è unicamente quello di smussare la serie eliminando le variazioni cicliche e irregolari, conviene adottare un valore basso (prossimo a zero) di w; se invece si vuole anche effettuare una previsione di breve periodo, si rivela più conveniente la scelta di valori elevati (prossimi a uno) di w.

21. Livellamento esponenziale Ciascun valore della serie smussata dipende da tutti i valori osservati precedenti: I pesi assegnati a ciascun valore osservato in precedenza non sono costanti, ma decrescono passando dai più recenti a quelli più lontani nel tempo.

22. Metodo dei minimi quadrati Prima di effettuare l’analisi vera e propria della serie storica, farsi un’idea generale dell’andamento della serie con l’ausilio di rappresentazioni grafiche. • Trend lineare • Trend quadratico • Trend esponenziale -> = con Trend esponenziale in -> Trend lineare in

23. Metodo dei minimi quadrati Si stimano i coefficienti e in modo che =minimo La variabile indipendente è il tempo, con la convenzione di far partire l’asse delle ascisse (l’asse dei tempi) dal primo periodo per il quale sono disponibili i dati e quindi di considerare il primo anno o il primo trimestre o il primo mese come il periodo zero (X= 0). Se ad esempio stiamo lavorando con una serie di 24 anni, al primo verrà assegnato il valore 0, al secondo il valore 1 e così via fino al ventiquattresimo anno a cui sarà assegnato il valore 23.

24. Metodo dei minimi quadrati Le stime dei minimi quadrati possiedono un’importante proprietà, nota come decomposizione della varianza totale: dalla quale si può definire un indice che misura la bontà di adattamento della retta di regressione: = con 0 ≤ R2≤ 1. Un primo criterio per scegliere il grado del polinomio (lineare o quadratico) è confrontare i rispettivi corretti: = con p= 2trend lineare, p= 3 trend quadratico.

25. Scelta del trend attraverso lo strumento delle differenze prime, seconde e percentuali Quando le osservazioni sono interpolate perfettamente da un trend lineare, le differenze prime fra i valori della serie sono costanti: Quando le osservazioni sono interpolate perfettamente da un trend quadratico, le differenze seconde fra i valori della serie sono costanti: Quando le osservazioni sono interpolate perfettamente da un trend esponenziale, le differenze percentuali fra i valori della serie sono costanti:

26. Scelta del trend attraverso lo strumento delle differenze prime, seconde e percentuali Le differenze seconde mostrano un andamento più erratico, pertanto il trend quadratico può fornire una adeguata interpolazione della serie.

27. Stima del trend Stimiamo il trend quadratico con il metodo dei minimi quadrati. Si ha: (

28. Stima della componente stagionale (St) Valutare l’andamento della serie in punti differenti dall’anno, considerando la componente della serie come fenomeno puramente infrannuale. Eliminazione della componente stagionale (St) Studiare le altre componenti al netto dell’effetto della stagionalità eliminando la componente stagionale (destagionalizzazione). • Assunzioni: • la componente stagionale è una componente ciclica di periodo d (con d=12 per le serie mensili, d=4 per le serie trimestrali, ecc.) • =0

29. 1) Si determina inizialmente una prima stima del trend al netto della componente stagionale calcolando le medie mobili centrate di lunghezza L=d+1 • j=(L-1)/2,…,n-(L-1)/2 • La media mobile avrà anche l’effetto di attenuare le componenti a frequenza più alta (componente residua). • Quando d è pari dovrebbe essere utilizzata una media mobile non centrata affinché la stima della componente stagionale non venga viziata dal fatto che il primo e l’ultimo termine nella media si riferiscano allo stesso dato annuale. • Sarebbe più opportuno calcolare le medie mobili non centrate di periodo d. Tali medie non sono riferite a nessun dato grezzo poiché cadono tra il termine d/2 e il termine (d+1)/2 di ogni gruppo di d periodi. Una seconda media mobile deve essere calcolata tra questi due termini non centrati consecutivi, il che equivale a calcolare una media mobile centrata a d+1 termini ponderata, in cui si assegna peso 1 al primo e ultimo termine della media e peso 2 a gli altri termini centrali. Stima della componente stagionale (St)

30. Stima della componente stagionale (St) 2) Si calcolano le differenze tra i valori della serie e la media mobile : [] j=(L-1)/2,…,n-(L-1)/2 3) Si elimina la componente residua determinando la media aritmetica di tali differenze per il periodo k =1, ..., d: , 0 -1} k=1, …, d dove q=n/d è il numero di anni all’interno della serie di lunghezza n.

31. 4) Le quantità (indici di stagionalità) non possono essere assunte come stima della componente stagionale perché non rispettano il vincolo di somma a zero. Allora si calcolano le deviazioni stagionali: k=1, …, d Questa stima si riferisce ad un ciclo stagionale completo, ma si prolunga per continuità all’intero periodo di osservazione ponendo . Eliminazione della componente stagionale (St) La serie storica destagionalizzata è definita come: t=0, …, n-1 k=1, …, d

33. Destagionalizzazione L’andamento dei dati destagionalizzati attenua le oscillazioni della serie storica osservata

34. Stima della componente stagionale (St)

35. Stima della componente ciclica (Ct) Molti autori parlano di trend-ciclo come unica componente, date le difficoltà teoriche che spesso si incontrano nel separarle. Supponendo di voler individuare la componente ciclo, allora: • Si stima il trend Tt e la eventuale stagionalitàSt; allora la serie Yt- Tt- St sarà una stima di Ct+ Et • Si elimina la componente residua Et con una media mobile di breve periodo sulla serie Ct+ Et Eliminazione della componente ciclica Occorre determinare la durata media dei cicli all’interno della serie e sulla base di tale dato si procede al calcolo delle medie mobili. N.B.: Tecnica altamente soggettiva perché dipende dalla lunghezza del periodo scelto per la costruzione delle medie.

36. Stima della componente casuale (Et) Irregolare o casuale (Et):legata a disturbi di natura accidentale che determina oscillazioni di breve periodo. Generalmente si stima per differenza una volta individuate le altre componenti. • Modello additivo: Et = Yt-Tt-Ct- St • Modello moltiplicativo: Et = Yt /(Ttx Ctx St) ovvero Log( Et )= Log(Yt) - Log(Tt) - Log(Ct) - Log(St) • Modello misto (con errore additivo): Et =Yt – (Ttx CtxSt)

37. PREVISIONE SERIE STORICA Determinazione del trend su dati destagionalizzati • Si calcolano le medie mobili centrate di lunghezza L=d+1 • Si calcola il trend con il metodo dei minimi quadrati, sulle medie mobili • Si calcolano la deviazioni stagionali k=1, …, d La forma analitica della serie sarà t=0, …, n-1 k=1, …, d

39. Stima del trend t rispetto alle medie mobili

40. Serie storica stimata

41. PREVISIONE SERIE STORICA • Modello stimato: t=0, …, n-1 k=1, …, d con : • Allora la previsione per il mese di Maggio del 2005 (52.esimo mese dal primo dato disponibile della serie stimata), è: (52) + 2,5 = 52,26

42. PREVISIONE SERIE STORICAMetodo livellamento esponenziale(previsioni di breve periodo) La previsione al tempo t+1 modifica la previsione precedente La previsione tiene conto dell’errore di previsionecommesso nel prevedere ponderato secondo il valore del parametro di smussamento w, infatti: =